§12. Затухающие колебания в затухающем контуре

В колебательном контуре имеется C, L, R.

При протекании тока через сопротивление на нем выделяется тепло, которое можно рассчитать по закону Джоуля-Ленца.

Решением дифференциального уравнения является выражение:

Вследствие этого свободная энергия с течением времени уменьшается, по закону сохранения энергии.

§13. Характеристики затухающих электромагнитных колебаний.

1. Коэффициент затухания .

2. Частота затухающих колебаний

3. Период затухающих колебаний

4. Декремент затухания – это отношение двух соседних амплитуд

5. Логарифмический декремент затухания (λ)

6. Время релаксации;

7. Число колебаний(N_) – это количество колебаний, которое совершает система за время релаксации

8. Добротность системы

В колебательном контуре, содержащем C, L, R возможны следующие режимы работы:

1. . Будет происходить периодическое изменение заряда на обкладках конденсатора, такой режим работы называется периодическим.

2. . Колебания заряда не происходит, частота таких колебаний называется мнимой, режим такой работы называется апериодический (сильное затухание). Смотри на рисунке кривая1.

3. . Режим работы критический. Смотри на рисунке кривая 2.

,

§14. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней, периодически изменяющейся силы. В отличие от свободных (собственных колебаний) при вынужденных колебаниях необходимо подкачка энергии.

Частота установившихся вынужденных колебаний должна быть равна частоте изменения внешней силы

Внешняя сила пополняет энергию системы и расходуется на работу против силы сопротивления. С течением времени устанавливаются колебания с постоянной амплитудой. Кроме внешней силы в системе действует сила упругости и сила сопротивления.

Решением уравнения (*) ищем в виде

Знак «-» так как трение тормозит колебания, которые отстают по фазе от колебаний вынуждающей силы.

В данном уравнении неизвестна A,  – фазовый сдвиг, найдем xи x.

Выпишем все в правой части в уравнение (*) и ее правую часть.

данные выражения можно рассматривать как принцип связанных векторов, которые вращаются вокруг точки O с угловой частотой и имеющих длины,,и сдвинутых по фазе по отношению к векторуна,,.

Остановим вращение этих векторов в момент, когда .

Тогда

Возможны два случая:

В обоих случаях сложим векторы x и .

По уравнению (*) сумма

Из рисунка видно, что вектор опережает векторна угол. Найдем величину фазового сдвига.

1:

2:

Итак, – угол, определяющий сдвиг по фазе между установившимися вынужденными колебаниями и внешней силой.

Проанализируем данное выражение:

1. Если

2. Если

3. Если

Изобразим на графике:





Найдем амплитуду вынужденных колебаний А.

Для обоих случаев



Амплитуда зависит от f₀(амплитуда внешней вынуждающей силы) от m,, n, соотношения, n, . Исследуем зависимость А().

1. =0;–амплитуда постоянно в состоянии статической нагрузки.

F_{вынужд.}= F₀cost=F₀

 – закон Гука.

2. , А0, т.е. система не успевает за изменениями.

3. В системе совершающей вынужденные колебания происходит резонанс.

§15. Резонанс

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний по мере их приближения  к ₀ или ₀ к  называется резонансом.

Найдем резонансную частоту:



ПриA_рез (острее резонансная кривая).

Если =0,А_рез=

Если 2², то _рез=0 или мнимое  резонанса нет.

При малом затухании, ₀,

(добротность)

Q острее резонанс.

Полезное использование резонанса:

Радиотехника. Наличие резонанса позволяет обнаружить даже очень слабые колебания, если их частота совпадает с собственной частотой прибора.

Вредное использование резонанса:

Разнос турбин в воздухе, «рота солдат».

Почему происходит резонанс?

F_вынужд=F₀cost

x=Acos(t–)

V=x= –Asin(t–); =

Т_к при резонансе₀=,V=–Asin(t–);

V=–A₀sin(₀t–); =A₀cos(₀t)=–Acost.

Скорость совпадает по фазе с F_{вынужд.}, идет раскачка колебаний в такт  резонанс.