25. Теорема о существовании обратной функции.

Пусть дана функция . Она отображает множествонамножество, т. е.. Это означает, что для любогомножество. Обратное соответствиеопределено на любом элементе, однако обратное соответствие может не быть функцией, т. е.однозначнымсоответствием. Выясним некоторые достаточные условия существования обратной функции.

Функция называетсястрого возрастающей на множестве , если для всехи. Аналогично определяетсястрого убывающая функция. Строго убывающие и строго возрастающие функции называютсястрого монотонными.

Теорема. Если функция и строго монотонная на множестве, то обратное соответствиеоднозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.

Доказательство.Положим, для определенности, что функциястрого монотонно возрастает на. Возьмем любое. Так как по условию теоремы прямая функция отображаетна, то полный прообраз элементане пуст, т. е.. Если предположить, чтосостоит более чем из одного элемента, то получим противоречие. Действительно, пусть. Тогда, если, то по условию строгого монотонного возрастания функциисправедливо неравенство, но это противоречит тому, что. Если, получим аналогичное противоречие. Следовательно,состоит только из одного элемента, и поэтому соответствиеесть обратная функция. Функция-- строго монотонно возрастающая наДействительно, пустьи,, тогда если, то, а у нас; если, то, а у нас. Следовательно,, т. е. функциястрого монотонно возрастает на.

26. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции.

Теорема.Пусть функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке. Тогда, и обратная функцияопределена, непрерывна и строго возрастает на отрезке.

Доказательство.Докажем сначала, что.Пусть. Еслиили, то. Если, то по теореме (Если функция непрерывна на отрезке, причем, и-- произвольное число такое, что, то на интерваленайдется по крайней мере одна точка, в которой(т. е. непрерывная на отрезке функция принимает все промежуточные значения между ее значениями на концах отрезка).)найдетсятакая, что, т. е.. Пусть, тогда найдетсятакая, что. Следовательно, в силу строгого возрастания функциина отрезкеимеем:. Таким образом,. Итак,и строго возрастает, следовательно, по теореме (Если функция и строго монотонная на множестве, то обратное соответствиеоднозначное, т. е. будет обратной функцией, и тоже строго монотонное.) существует обратная функция, и она строго возрастает на. Докажем теперь непрерывность функциина отрезке. Рассмотрим любоеи любую последовательность, сходящуюся к. Обозначим. Надо доказать, что. Предположим противное. Тогда из условияследует, что существует ее подпоследовательностьи. Из непрерывности функциив точкеследует сходимостьк. Но, а это дает противоречие.

Незначительно изменяя приведенные выше рассуждения, можно доказать следующий аналог предыдущей теоремы.

Теорема.Пусть функция непрерывна и строго монотонно возрастает на интервалеи. Тогда образ интервалаесть интервал, и обратная функциясуществует, непрерывна и строго монотонно возрастает на интервале.Теорема справедлива на.

Пример.Известно, что функциястрого монотонна и непрерывна на отрезке. Тогда потеореме(1)существует обратная к ней функция на отрезке, и она непрерывна и строго монотонно возрастает; это известная функция.

Пример.. Эта функция определена, непрерывна и строго возрастает на луче. По теореме(2) для нее существует обратная функцияи она непрерывна и строго возрастает.