1) , .

2) , .

3) , .

Если - непрерывная функция,

- площадь криволинейного сектора.

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

1. Вычисление площадей плоских фигур

1.2. Вычисление площадей фигур, заданных в прямоугольных координатах

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №1

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х², прямыми х = -1 и х = 2 и осью абсцисс .

Решение:

S = = = 3.

3

ПП 22 №2

Вычислите площадь сегмента, отсекаемого прямой у = -х от параболы у = 2х  х^2.

Решение:

Преобразуем уравнение параболы:

у = 2х  х² =  (х²  2х + 1) + 1,

(у  1) =  (х  1) ².

Находим абсциссы точек пересечения параболы и прямой :

(0,0) и (3,-3)

S = = = ==.

ПП 22 №3

Вычислите площадь эллипса .

Решение:

,

,.

ПП 22 №4

Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций: х = 4  (у  1)² и х = у²  4у + 3.

РЕШЕНИЕ:

Найдем точки пересечения графиков функций х = 4  (у  1)² и х = у²  4у + 3:

4  (у  1)² = у²  4у + 3  2у (у  3) = 0  у = 0; 3.

== == = 9.

9

1.2. Вычисление площадей фигур, заданных кривыми в параметрическом виде

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №5

Вычислите площадь эллипса.

Решение:

Уравнения эллипса в параметрической форме имеют вид:

, .

ПП 22 №6

Найдите площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = а (t  sin t); у = а (1  cos t) и отрезком оси абсцисс

Решение:

Точкам О и А соответствуют значения параметра t_О = 0 и t_А = 2, искомая площадь равна S===

==

=а² = 3a².

3a²

ПП 22 №7

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями,

заданными уравнениями ,

х = (х  ).

РЕШЕНИЕ:

Найдем точки пересечения астроиды

и прямой х = :

= 32cos³t  cos³t =

 cos t =  t₁ = , t₂ = .

ПП 22 №8

Вычислите площадь фигуры,

ограниченной линиями

РЕШЕНИЕ:

Точки пересечения линий:

2  2сos t = 3; сos t = ,

t 

a = x =   , b = x =  + .

Площадь заштрихованной области:

S==

=

= =

= =

= =

= =

= =

= 4 =

4 = 3 5,196152.

5,196152

1.3. Площадь фигур, заданных в полярной системе координат

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №9

Вычислите площадь круга .

Решение:

В силу симметрии достаточно вычислить

половину искомой площади.

ПП 22 №10

Найдите площадь, заключённую внутри лемнискаты Бернулли ² = а² сos2 .

Решение:

В силу симметрии достаточно вычислить одну четверть искомой площади:

= = = .

а²

ПП 22 №11

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 6 sin , r = 4 sin .

РЕШЕНИЕ:

Линии в полярных координатах r = 6 sin  и r = 4 sin  представляют собой окружности, смещенные вверх по оси Оy, с радиусами 3 и 2 соответственно.

S = - площадь фигуры, ограниченной линией  =  ().

Площадь фигуры, заключенной между окружностями:

S = S₁  S₂ = ==

==== = = 5   15,708.

15,708

ПП 22 №12

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

₁ = cos 

₂ = , .

РЕШЕНИЕ:

₁: ² =  х² + у² = х



- окружность с центром в точке О₁

и радиусом R₁ = ;

₂ = – окружность с радиусом R₂ = , центром в точке О₂

(получается поворотом  = cos  на

и увеличением радиуса в раз).

Площадь заштрихованной фигуры:

S = + =

= + =

=+ =

=+ =

=+= =  0,535598.

0,535598

ПП 22 №13

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией

• = 1 + сos .

РЕШЕНИЕ:

 0  1 +  0 

сos   , тогда

  . сos  - четная функция, фигура симметрична относительно оси Ох.

S = == = = == = = ( + 1)  6,212389.

6,212389

ПП 22 №14

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями

₁ = 4 sin 3,

₂ = 2 (  2).

РЕШЕНИЕ:

sin 3  0  2n  3   + 2n,

n  z,

   .

На интервале (0, 2) укладывается три периода функции sin 3.

Составим таблицу для   и учтем периодичность:

Найдем угол , соответствующий точке пересечения линий :

4sin 3 = 2; sin 3 = ; 3 = ;  = .

Половина площади одной "луночки":

S_л = = = = =

= ==

== =2 = 2 ==  + .

Площадь всех заштрихованных областей:

S = 6 S_л =  7,652892.

7,652892

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

2. Вычисление длины дуги кривой

2.1. Длина плоской кривой в прямоугольных координатах

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №15

Вычислите длину кривой между точками .

Решение:

ПП 22 №16

Вычислите длину дуги кривой, заданной в прямоугольной системе координат уравнением

у = , 0  х  3.

РЕШЕНИЕ:

у = =  chх , у = shх.

l = = = = = (т.к. ch²х  sh²х = 1)= = = sh 3  sh 0 = sh3  10,0179.

2.2. Длина плоской и пространственной кривой, заданной в параметрическом виде

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №17

Вычислите длину винтовой линии

.

Решение:

ПП 22 №18

Вычислите длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями:

,

0  t  .

l = .

l = = =  10,0179.

2.2. Длина кривой, заданной в полярных координатах

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №19

Вычислите длину окружности.

Решение:

ПП 22 №20

Вычислите длину дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах  = 6 sin , 0    .

l = .

Линия представляет собой часть дуги окружности,

с центром в точке (0; 3) и радиусом, равным 3.

l = = = 2  6,28319.

6,28319

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

3. Площадь поверхности вращения

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №21

Найдите площадь поверхности, образованной вращением астроиды

х^2/3 + у^2/3 = а^2/3 вокруг оси Ох.

Решение:

у = (а^2/3  х^2/3)^3/2,

у = (а^2/3  х^2/3)^½( х^1/3) = , = .

Q_х = 22 =

= = =4а^1/3=а².

а²

ПП 22 №22

Найдите площадь поверхности,

образованной вращением одной арки циклоиды

х = а (t  sin t), у = а (1 cos t) вокруг оси Ох.

Решение:

х = а (1  cos t), у = а (sin t),

= =

= а = 2а sin.

Q_х = 2 =

=8а² =

=  16а² = а².

а²

ПП 22 №23

Найдите площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды  = 2а (1+ cos) вокруг полярной оси.

Решение:

 = 2а sin ,

= = 4а сos.

Q_х =2 =

= 64 а² =.

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

4. Вычисление объемов тел

4.1. Вычисление объемов по заданным площадям поперечных сечений

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №24

Найдите объём тела, основанием которого является круг с радиусом а, а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга, представляет собой равнобедренный треугольник высотой h.

Решение:

Выберем систему координат, начало которой совпадает с центром круга.

Сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох,

- равнобедренный треугольник с основанием 2у = 2 и высотой h;

S(х) = = ,

V = = == = .

ПП 22 №25

Найдите объем эллипсоида .

Решение:

.

.

ПП 22 №26

Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями

, z = 7, z = 0.

Первая поверхность представляет собой эллипсоид с полуосями 4, 13, 14 соответственно, вторая и третья поверхности – плоскости, параллельные координатной плоскости Оxy.

S = .

Найдем S (z)

= 1   = 1.

,  S (z) =  а b = 12  .

V = = = = 12  241,903.

241,903

4.2. Вычисление объемов тел вращения

ПП 22 №27

Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривой у² = (х  1)³ и прямой х = 2

Решение:

V_х = = = .

ПП 22 №28

Найдите объем конуса с высотой Н и радиусом основания R.

Решение:

,

.

ПП 22№29

Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оy фигуры, ограниченной графиками функций

РЕШЕНИЕ:

Перепишем уравнения линий в виде

V = + 

V = + =

= +=

= + =

= =

=  0,896602.

0,896602

ПП 22. Геометрические приложения определенного интеграла

5. Приложеия определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

5.1. Моменты и центры масс плоских кривых

№ п/п

Задача

Ответ

ПП 22 №30

Найдите координаты центра масс дуги окружности

,

0  t   /2, .

РЕШЕНИЕ:

l = .

(,)

ПП 22 №31

Найдите координаты центра масс полуокружности

.

РЕШЕНИЕ:

Вследствие симметрии . При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна , а длина полуокружности равна .

По теореме Гульдена имеем

.

Отсюда , т.е. центр масс имеет координаты .

5.2. Физические задачи

ПП 22 №32

Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой (м/сек). Найдите путь, пройденный телом, за 5 сек от начала движения.

РЕШЕНИЕ:

м.

150 м

ПП 22 №33

Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?

РЕШЕНИЕ:

Работа переменной силы, действующей вдоль оси Ох на отрезке , выражается интегралом

.

Закон Ньютона: , М – масса Земли, r – расстояние массы m от центра Земли, k – гравитационная постоянная.

На поверхности r=R, F=mg, mg=k

, .

При

ПП 22 №34

С какой силой жидкость плотности давит на вертикальную треугольную пластину с основанием а и высотой h, погруженную в жидкость вершиной вниз так, что основание находится на ее поверхности?

РЕШЕНИЕ:

По закону Паскаля сила Р, с которой жидкость плотности давит на площадку S при глубине погружения Н, равна .

Рассмотрим элементарную прямоугольную площадку, находящуюся на глубине x, имеющую основание b и высоту dx.

Из подобия треугольников CAB и CDE:

.

Сила давления жидкости на всю пластинку равна:

ПП 22 №35

Два электрических заряда и находятся в воздухе на расстоянии 10 см. Сначала оба заряда закреплены, затем освобождается. Какую работу совершит сила отталкивания, если заряд

а) удалится на расстояние 30 см;

б) удалится в бесконечность?

РЕШЕНИЕ:

Закон Кулона: .

а) ;

б) .

,

ПП 22 №36

Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой и радиусом на его стенки, если плотность .

РЕШЕНИЕ:

Элемент давления на поверхность стенки в выделенной полоске выразится так: , откуда .

ПП 22 №37

Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 Н она растягивается на 1 см?

РЕШЕНИЕ:

По закону Гука растягивающая сила . Коэффициент пропорциональности находим из условия: если , то , следовательно, , . .

ПП 22 №38

Определить работу, необходимую для запуска ракеты для запуска ракеты весом с поверхности Земли на высоту .

РЕШЕНИЕ:

Сила притяжения тела Землей или вес тела зависит от расстояния до центра Земли: , – постоянная. Если – вес тела на поверхности Земли, т.е., , откуда и сила, преодолеваемая двигателем ракеты на высоте от поверхности Земли: . , . .

ПП 22 №39

Прямоугольный сосуд наполнен равными по объему частями воды и масла, причем масло вдвое легче воды. Показать, что сила давления на каждую стенку сосуда уменьшится на одну пятую, если вместо смеси взять одно масло.

РЕШЕНИЕ:

Удельный вес воды , удельный вес масла . Сила давления масла на верхнюю половину стенки: . Давление на глубине складывается из давления столба масла высотой и столба воды высотой : , . Полное давление смеси на стенку: . Если сосуд наполнить только маслом: , .