ПП_27_Диф_Ур 4

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 27

1. Метод исключения неизвестных

Ответ

№ 1

Решите задачу Коши для системы дифференциальных уравнений

.

Решение:

Метод исключения неизвестных позволяет свести систему дифференциальных уравнений для двух неизвестных функций и к одному дифференциальному уравнению 2-го порядка для одной из этих функций.

Дифференцируя первое уравнение системы и заменяя у с помощью второго уравнения системы, получим

Выразим у из первого уравнения системы ,

подставим в предыдущее уравнение, получим

- НЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решим НЛДУ методом неопределенных коэффициентов.

1) Находим общее решение соответствующего однородного уравнения: .

Характеристическое уравнение с корнями , .

.

2) Находим частное решение уравнения.

. Подставляя это решение в уравнение, находим неопределенный коэффициент А: , т.е. .

3) Общее решение уравнения имеет вид:

.

Вторую неизвестную функцию получаем из формулы .

Общее решение системы имеет вид:

Для решения задачи Коши подставим начальные условия в систему. При этом возникает система линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов и

, .

Решение задачи Коши:

№ 2

Найдите решение системы

Решение: Продифференцируем первое уравнение: ; подставим из второго уравнения: ; получим НЛДУ второго порядка для : .

Его решение

, , , , , , , .

.

№ 3

Решите систему

Решение: Дважды продифференцируем первое уравнение ,

подставим во второе , , , , .

№ 4

Найдите решение системы:

Решение: Перепишем систему в других обозначениях:

где , .

Продифференцируем первое уравнение , подставим значение из второго уравнения, тогда , , откуда и .

Из первого уравнения найдем

.

№ 5

Найдите решение системы

Решение:

. Корни действительные, разные: , , , .

2. Метод интегрируемых комбинаций

№ 6

Решите систему: .

Решение: Складывая почленно уравнения системы, получаем

, .

Вычитая уравнения, получаем

, , , .

Из системы получаем решение в виде:

№ 7

Решите систему: .

Решение: Составим интегрируемые комбинации:

Решением системы является линия пересечения поверхностей: