ПП_24_Диф_Ур 1

№ п/п

ЗАДАЧИ ПП 24

1. ДУ с разделяющимися переменными

Ответ

№ 1

Найдите решение ДУ .

Решение: , , , , , .

Решение ДУ: ,.

,

№ 2

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение: Группируем члены, содержащие dx и dy:

,

,

- уравнение с разделенными переменными.

Интегрируя, находим:

,

, .

Общий интеграл ДУ: .

2. Однородные ДУ первого порядка

№ 3

Найдите общий интеграл дифференциального уравнения .

Решение: Поделив числитель и знаменатель правой части на , получаем однородное уравнение .

Подставим: ; , .

Получим для : ,

- уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получаем .

С учетом подстановки находим: .

Общий интеграл ДУ:

=С.

№ 4

Найдите решение ДУ .

Решение: , , , , , , , , .

Решение ДУ: .

№ 5

Найдите решение ДУ .

Решение: ДУ – обобщенное однородное.

Найдем и при преобразовании координат: , . , , . ДУ принимает вид:

Решим однородное ДУ

при .

.

при , .

Подстановкой в предыдущее уравнение убеждаемся, что значения и являются частными решениями уравнения.

Кроме того .

Общий интеграл:

.

В старых переменных общее решение имеет вид:

,

, .

Частные решения , и получаются из общего при и .

3. Линейные ДУ первого порядка

№ 6

Найдите решение ДУ ,.

Решение: ДУ – линейное по .

Ищем решение в виде:, , , .

ДУ для : , , , .

ДУ для : , , .

Общее решение: .

№ 7

Найдите решение задачи Коши для ДУ

, .

Решение: ДУ – линейное по , .

Ищем решение в виде: ; при этом . Уравнение примет вид:

,

.

Найдем любое нетривиальное частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : .

Его общее решение:

.

Выберем С = 0, тогда .

Подставим в уравнение, первое слагаемое обратится в ноль, получим уравнение с разделяющимися переменными для :

.

Интегрируя, получаем

.

Общее решение уравнения имеет вид

.

Учитывая начальное условие , получаем , .

Решение задачи Коши имеет вид .

№ 8

Решите задачу Коши

.

Решение: ДУ – линейное по х (у):

,

Ищем решение в виде:;

.

Уравнение принимает вид

,

.

Находим любое нетривиальное частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : , например, .

Подставим в уравнение, первое слагаемое обратится в ноль, получим уравнение с разделяющимися переменными для :

.

.

Вычислим

;

, откуда .

Аналогично, .

,

Общее решение уравнения имеет вид:

.

Учитывая начальное условие , имеем

, .

Решение задачи Коши имеет вид:

или

.

4. ДУ Бернулли

№ 9

Найдите решение ДУ .

Решение: Умножим на : .

Сделаем замену переменной: ,

тогда , .

Ищем решение в виде: , , , .

ДУ для : , ,

, .

ДУ для : , ,

,

, .

Общее решение: .

№ 10

Найдите решение задачи Коши

, .

Решение: Сразу ищем решение в виде: ; .

Имеем

,

. (1)

Найдем любое частное решение уравнения с разделяющимися переменными для : .

Его общее решение: .

Выберем С = 0, получим, , .

Подставляем в уравнение, первое слагаемое обращается в ноль, получаем уравнение с разделяющимися переменными для :

. (2)

, т.е. .

Общее решение уравнения:

. (3)

Учитывая начальное условие, получаем

, .

При разделении переменных в уравнении для

было потеряно решение , кроме общего решения имеется частное решение , но оно не удовлетворяет начальному условию.

Заметим, что решение следует из общего решения при .

Значит, - единственное решение задачи.

5. ДУ в полных дифференциалах

№ 11

Решите ДУ .

Решение:

Уравнение имеет вид ,

, .

1) Вычислим , , , .

2) ,

3) ,

4) .

5) , , ,

6) .

Общий интеграл ДУ: .

№ 12

Найдите общий интеграл уравнения

.

Решение: Уравнение имеет вид , причем

,

.

Представим Р и Q в виде , ,

, решение будет иметь вид .

Для определения u имеем систему уравнений

.

Интегрируя первое уравнение системы, получаем

,

.

Для определения неизвестной функции подставляем найденное решение во второе уравнение системы:

.

Интегрируя это уравнение с разделяющимися переменными, получаем

.

Подставим полученную функцию в решение для :

.

Общий интеграл уравнения:

.

№ 13

Решите ДУ .

Решение: (поиск особого решения ДУ) , , .

.

, .

, , , , .

– огибающие, которые удовлетворяют ДУ и являются особыми решениями.