6.3. Интегралы типа
Поверхностный
взгляд на подынтегральные функции
данной группы вызывает очевидные
ассоциации с формулами
и
.
Вспомним, что
Рассмотрим для
примера решение интеграла
.
Для него подходит первая из этих формул.
В результате такого преобразования
решением этого интеграла будет
.
Аналогично решаются и остальные интегралы.
Пример
17.
Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:
.
6.4. Интегралы
типа
Такого рода
интегралы сводятся к табличным интегралам
простой подстановкой:
для первого интеграла и
─ для второго.
Пример
18.
Рецепт.
Используем замену
и получаем решение
=
.
После обратной подстановки получаем
решение:
.
Пример
19.
Рецепт.
Ранее был рассмотрен интеграл
,
поэтому данный интеграл решаем
рассмотренным ранее методом «по частям»:
Нетрудно заметить,
что мы снова имеем рекурсию. Отсюда
искомый интеграл
6.5. Интегралы
типа
.
К таким интегралам
наиболее эффективно (а зачастую –
единственным образом) применение
описанной выше «универсальной
подстановки»:
Вспомним, что
,
,
и (см. стр. 16)
.
Тогда интеграл примет вид
=
=
=
.
В зависимости от
конкретного сочетания значений
коэффициентов
получаем два основных исхода (с
вариациями):
см.
Пример 4.
.
Этот
случай, в свою очередь, распадается в
зависимости от знака дискриминанта
знаменателя
=
на два варианта:
2а:
─ см.
Пример
3;
2б:
─ см.Пример
9.
Рассмотрим конкретный пример:
Пример
20.
.
Рецепт.
Здесь
,
,
,
=
.
Согласно
вышеприведённой формуле с использованием
универсальной подстановки
данный
интеграл получает вид
=
=
.Значение
дискриминанта
.
Тогда корни трёхчлена знаменателя
вычисляем по формуле
=
.
В соответствии с методом «неопределённых
коэффициентов»
=
=
.
Отсюда имеем систему двух линейных
уравнений для коэффициентов
и
:
.
Тогда
и
,
а
=
.
Обратная подстановка
даёт конечный ответ
+С.
7. Тригонометрические подстановки
Часто в состав
подынтегральных функций входят радикалы
трёх видов:
,
и
.
В этих случаях применяются соответствующие
так называемые «тригонометрические»
подстановки:
Для
─
соответственно.
Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.
Пример
21.
Рецепт.
Преобразуем подынтегральную функцию
=
и замещаем аргумент
по одному из двух вариантов (см. выше),
например
,
тогда
.
В итоге
=
=
=
=
.
Обратная постановка
,
=
и
даёт конечный результат
=
=
=
+
.
2. Для
─
.
Дальше следует решение примера на эту
тему.
Пример
22.
.
Рецепт.
Здесь
,
поэтому применим вариант замены из
двух предложенных выше, например
.
=
=
.
Это уже знакомый интеграл (см. Пример
11), тогда
+С.
Нетрудно показать, что
=
=
.
После обратной подстановки
=
=
.
Итак, имеем конечный
результат:
+С.
Для
.
Решим соответствующий пример.
Пример
23.
.
Рецепт.
Здесь
.
Согласно рекомендациям выберем, например,
вариант
.
Тогда искомый интеграл
=
=
.
Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда
промежуточное решение имеет вид:
+С.
Обратная подстановка даёт окончательное
решение:
+С.
8. Интегралы с иррациональностью типа
Рассмотрим один
из вариантов таких интегралов на примере
интеграла
=
.,
гдеk,
m,
… – любые целые числа,
=1,2,…,
.
Алгоритм решения интегралов такого типа:
необходимо найти целое число М – наименьшее общее кратное (НОК) чисел
;дроби
заменить соответствующими им дробями
где
─
целые числа;тогда знаменатель подынтегральной функции принимает вид
+
;теперь следует очевидная замена:
=
,
отсюда
=
и
=
.
Далее,
=
,
а этот интеграл решается по образцу
Примера 9
или
Примера
10
Пример
24.
=
.
Рецепт. При
сопоставлении данного примера с
вышеприведённым получаем (
):
,
,
,
,
.НОК (
,
)
= М=12;замена
=
,
=
,
=
;
,
Интеграл
преобразуется:
=
=
=
.
Здесь полная аналогия Примера 9:
=
=12
-
=
+С.
Таблица 2
Дополнительная таблица интегралов, полученных
в результате промежуточных расчётов
|
|
|
Примечания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или
=
+С
Образец решения расчётно-графической работы
Решение любого варианта РГР рассмотрим на примере «нулевого» варианта
Таблица 3
«Нулевой» вариант РГР
|
Номер задания |
Интегралы |
|
0
|
1.
|
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
- решение данного
интеграла сопроводить совмещённым
графиком функций
и
Примечания
1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.
2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должно сопровождаться проверкой решения (см. образец).
1.
=
.
Согласно свойствам 3 и 4 («константу
желательно выносить за знак интеграла»
и «интеграл суммы функций равен сумме
интегралов от каждой функции») получаем:
=
,
а это – табличные интегралы, поэтому
решение:
=
.
ПРОВЕРКА
=
+
─
+
=
+
+
.
Полученополное
совпадение
с подынтегральной функцией решаемого
интеграла, значит, решение - верное.
Ответ
=
.
2.
=
=
=
.
Для решения обоих интегралов используем
приём «замены переменных»:
=
для интеграла
и
=
для интеграла
.
Тогда
=
=
.
Получаем
=
(табличный интеграл)=
.
С помощью обратной подстановки получаем
=
=
.
Аналогичные
преобразования для интеграла
:
=
=
приводят к результату
=
=
=
.
Таким образом, общее решение
=
+С.
ПРОВЕРКА
(
+С)
=
=
─ очевидное совпадение.
Ответ:
=
+
+С.
3.
=
.
Если присмотреться к числителю дроби,
то без труда можно увидеть элементы
производной выражения в знаменателе.
Поэтому логично было бы использовать
приём «замена функции»:
=
.
Тогда дифференциал
=
=
и интеграл принимает вид
,
т.е. снова табличный интеграл
=
.
После обратной замены получаем
=
.
ПРОВЕРКА:
=
=
=
=
-
снова имеем полное совпадение выражения
производной результата и подынтегральной
функции решённого интеграла.
Ответ
=
+С.
4.
=
.
Подынтегральная функция данной задачи
при сравнении с той же функцией Примера
7
наводит
на мысль использовать метод «по частям»:
=
.
ПРОВЕРКА
=
=
=
=
─ интеграл взят верно.
Ответ
=
.
5.
=
.
Сравнение этого интеграла с интегралом
Примера 8
снова
вызывает ассоциации с тем же методом
«по частям»:
=
=
,
т.е.
=
.
Тогда вводим
=
.
Снова применим метод «по частям», но
уже к вторичному интегралу:
.
Продолжим интегрирование:
=
=
=
.
Но последний интеграл совпадает с
исходным интегралом, отсюда получаем
следующее равенство:
=
.
Тогда 5
=
,
=
,
а искомый интеграл ─
=
+С.
Согласно тексту
задания в данном пункте необходимо
построить вместе
графики подынтегральной
и первообразной
функции
и
,
чтобы визуально убедиться в выполнении
основного свойства неопределённого
интеграла:
.
Выбор интервала значений аргумента
в общем случае – любой, хотя определённый
интерес, например, может представлять
анализ поведения этих функций вблизи
точек экстремума первообразной функции,
т.е. вблизи корней уравнения
=0.
Из текста решения данного интеграла
следует, что подынтегральная функция
,
а первообразная функция (решение
интеграла)
=
+С.
Решаем уравнение
=0.
Нетрудно убедиться, что это уравнение
имеет бесконечное множество решений:
.
При
значения обеих функций быстро уменьшаются
из-за множителя
,
а при
наоборот устремляются к
.
Поэтому имеет смысл выбрать, например,
интервал
.
Найдём корни, принадлежащие этому
интервалу:
.
Поскольку
─ целое число, то эта величина в данном
интервале может принять только четыре
разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует
четырём корням:
.
Построить совмещённый график вы можете
двумя способами:вручную
или средствами
Excel.
Но в любом случае необходимо иметь
таблицу, содержащую исходные данные и
поэтому состоящую из трёх колонок.
Первая ─ набор значений аргумента
,
две остальных ─ значения подынтегральной
функции
и первообразной функции
для соответствующих значений
.
Алгоритм создания этой таблицы приведён
в Приложении 2. Там же показано, как можно
построить необходимый график на базе
этой таблицы средствамиExcel.
В последнем случае построенный в Excel
график можно распечатать на принтере
и вклеить в отчёт (рис.1).
Рис.1. Графики
подынтегральной
и первообразной
функций, соответственно, построенные
средствамиExcel.
Эти графики построены с использованием табл.4.
Таблица 4
Значения
подынтегральной
и первообразной функций
|
|
|
|
|
0 |
-7,00 |
-0,65 |
|
0,16 |
-1,15 |
-1,30 |
|
0,31 |
1,61 |
-1,20 |
|
0,47 |
0,86 |
-0,98 |
|
0,63 |
-0,18 |
-0,94 |
|
0,79 |
-0,30 |
-0,98 |
|
0,94 |
-0,05 |
-1,01 |
|
1,10 |
0,07 |
-1,01 |
|
1,26 |
0,04 |
-1,00 |
|
1,41 |
-0,01 |
-1,00 |
|
1,57 |
-0,01 |
-1,00 |
Исходные данные:
,
подынтегральная функция
и первообразная функция
.
.
Рис.2. Графики
подынтегральной
и первообразной
функций, соответственно, построенные
вручную.
Хорошо видно, что
на обоих рисунках нулям подынтегральной
функции
в точности соответствуют точки экстремумовпервообразной
функции
,
т.е. имеет место наглядное подтверждение
свойства
.
Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.
ПРОВЕРКА:
=
=
=
=
ч.т.д.
Ответ:
=.
+С.
6.
=
.
Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим
замену функции
на функцию
=
=
.
Тогда искомый интеграл получит вид
=
=
=
.
Поэтому в соответствии со свойством 4
с.8 («интеграл суммы функций» равен
«сумме интегралов») с использованием
табличного интеграла
получаем
=
─
+
=
(
+
-
).
После обратной подстановки
получаем:
=
(
+
)
+ С. Кстати сказать, с аналогичным
интегралом можно познакомиться в
Примере 14.
ПРОВЕРКА
(
(
─
+
)+С)
=
+
(
+
))=
(
─
+
─
─
─
+
─
)=
(1─
).
Используя основное тригонометрическое
тождество
,
переписываем полученное выражение:
(1─3
+3
).
Дальнейшие преобразования в скобках
дают конечный результат:
,
подтверждающий правильность решённого
интеграла.
Ответ:
=
(
+
)+С.
7.
=
.
Воспользовавшись известными
тригонометрическими формулами
и
,
преобразуем подынтегральную функцию
и получаем:
=
=
=
+С,
где
=
,
а
=
.
Сначала с помощью
формулы
решаем первый
интеграл
=
=
,
где
=
=
;
=
=(снова
замена аргумента)=
;
=
=(удвоение
аргумента)=
=
+
+
;
=
=
==
=(уже
знакомым приёмом
=
)=
=
.
После обратной
замены
=
.
Возвращаемся к
первому интегралу:
=
+
+
.
Второй интеграл
решаем с помощью аналогичной замены:
=
=
=
.
=
=
.
После обратной замены
=
.
Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:
=
+С.
Авторы приносят извинения, но ввиду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.
Ответ
=
+С.
8.
=
. В этом интеграле подынтегральная
функция (см. с. 23) последовательно
преобразуется к форме, содержащей только
степени функции
и её дифференциал:
.
Воспользовавшись формулой
=
+
и
введя замену
,
получаем интеграл
=
.Этот
интеграл легко решается:
=
+С=
+С.
После обратной
подстановки получаем
=
+С.
N.B.!
Этот алгоритм, естественно, не единственный:
можно было бы сделать
замену
или
и др.
ПРОВЕРКА
=
─
+
=
=
=
=
=
─ правильность решения подтверждена.
Ответ:
+С.
9.
.
Как было предложено в Примере 18,
вводим
замену
=
.
Тогда
=
=
,
а интеграл
=
=
+
+
+
+С. Обратная подстановка даёт окончательное решение
+С.
ПРОВЕРКА
=
=
,
что свидетельствует о правильности
решения.
Ответ:
=
+С.
10.
. Интеграл этого типа
был
рассмотрен
ранее (см.
с.29). Согласно приведённым там рекомендациям
воспользуемся формулой
.
Тогда
=
.
Разбив этот интеграл на сумму двух
«почти что табличных» интегралов и
дважды воспользовавшись приёмом «замены
аргумента» (см.Пример
1), получим
решение
+С.
ПРОВЕРКА
=
=
=
=
=
желаемый
результат!
Ответ
+С.
11.
Этот интеграл по рекомендациям с. 31
сводится к интегралу
,для которого
=9,
=-8
и
=-7.
Получаем
интеграл
.
Поскольку дискриминант знаменателя
=32
,
то для решения данного интеграла подходит
метод «неопределённых коэффициентов»
(см. с. 17 и 18). Для этого вычислим корни
трёхчлена знаменателя:
=
и
=
и перепишем наш интеграл в виде
.
После рутинных преобразований (см.
Пример 20) получаем значения коэффициентов:
=
и
=
,
а интеграл принимает свой промежуточный
вид:
+С.
После обратной подстановки окончательное
решение
+С.
ПРОВЕРКА
=
=
=
=
=
─ очевидное свидетельство правильности
взятия этого интеграла.
Ответ:
=
+С.
12.
I=
.
Если из-под радикала знаменателя вынести
(см. с.34), то интеграл примет видI=
.
Согласно рекомендациям на тех же
страницах необходимо ввести замену
=
.
После этого получаем интеграл I=
.
Вспомнив, что
,
получимI=
=
и, согласно дополнительной таблице
интегралов,I=
.
Если вспомнить, что
,
тоI=
+С.
ПРОВЕРКА:
=
=
=
=
=
- мы убедились, что решение было верным.
Ответ:
=
+С.
13.
I=
. Такой тип интеграла уже рассматривался
на странице 35. По рецепту, предложенному
там, вводим новую переменную
=
(6
─ наименьшее общее кратное чисел 2 и 3
– показателей радикалов знаменателя)
=
=
=
.
Тогда интеграл примет видI=
=
.
Выделяем целую часть и остаток:I=
.
А это уже табличные интегралы:I=
+С.
После обратной подстановки и соответствующих
преобразований решение интеграла
получит следующий вид:I=
+С.
ПРОВЕРКА:
Сначала приведём
решение к виду, более удобному для
дифференцирования:
=
+
─
+С.
Тогда
=
+
=
+
=
=
=
─ полное совпадение с подынтегральной
функцией.
Ответ:
=
+С.
14.
I=
.
При взгляде на подынтегральную функцию
возникает естественное желание сделать
замену аргумента
на какую-либо переменную, например
=
=
=
.
Исходный интеграл преобразуется в
=
.
Об интеграле этого типа речь шла на с.
23. Согласно предлагаемому на этой
странице алгоритму подынтегральная
функция сначала расщепляется на
произведение
,
затем преобразуется в
,
откуда со всей очевидностью напрашивается
замена:
=
=
=
.
Интеграл принимает вполне табличный
вид
=
=
=
+С.
После первой обратной замены
=
+С,
а после второй и окончательной замены
получаем
=
+С.
ПРОВЕРКА
=
+
=
=
+
=
=
.
Прекрасный результат!!!
Ответ:
=
+С.
Библиографический список
Натансон И.П. Краткий курс высшей математики./ И.П.Натансон, СПб.: Лань, 2001.
2. Высшая математика в упражнениях и задачах/. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова.– М.:ООО Издательский дом ОНИКС 21век: ООО «Издательство "Мир и образование"», 2003. Ч.1.
3. Соболь Б.В Практикум по высшей математике / Б.В. Соболь, Н.Т. Мишняков., В.М. Поршкеян/ Ростов н/Д: Феникс, 2004.
4. Справочное пособие по математике./ И.И. Ляшко., А.К.Боярчук., Я.Г.Гай. , Г.П. Головач. – М.: Едиториал УРСС, 2003. Т1.
5. Л.А. Кузнецов. Сборник заданий по высшей математике. Типовые расчёты. /– СПб.: Лань, 2005
Таблица 5
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. 25 вариантов заданий расчётно-графической работы
Интегралы, отмеченные
слева значком
,
сопроводить совмещённым графиком
функций
и
.
|
Номер задания |
Интегралы |
|
1 |
1.
6.
8.
13.
|
2.
3.
4.
5.
7.
9.
10.
11.
12.
14.
|
2 |
1.
6.
9.
11.
13.
|
|
3 |
1. |
|
4 |
1. |
|
5 |
1. |
|
6 |
1. |
2.
3.
4.
5.
7.
8.
10.
12.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
7 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
8 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
9 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
10 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
11 |
1. |
|
12 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
13 |
1. |
|
14 |
1. |
|
15 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
16 |
1. |
|
17 |
1. |
|
18 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
19 |
1. 13.
|
|
20 |
1. |
|
21 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
|
22 |
1. |
|
23 |
1. |
|
24 |
1. |
|
25 |
1. |
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.