На будущее:

тактика вычисления любых неопределённых интегралов должна сводиться к такому преобразованию подынтегральной функции, чтобы её структура была похожа на структуру только что приведённого примера.

Поскольку многообразие подынтегральных функций практически неограниченно, то ниже предлагаются несколько «стандартных» приёмов преобразования подынтегральных функций, чтобы вам не приходилось заново «изобретать велосипед».

Наиболее популярные методы решения неопределённых интегралов

1. Замена переменной интегрирования.

Пример 1.

Рецепт. Вводим замену . Отсюда:(вспомним формулу дифференциала). Тогда(обратная подстановка).

Пример 2. .

В таблице элементарных интегралов имеется формула аналогичного интеграла:

Однако чаще всего встречается более общий вариант этого интеграла:, где─ некая числовая константа.

Рецепт. Выносим из знаменателя (а значит, и из-под знака интеграла):

и делаем замену: . Тогда. А это уже знакомый табличный интеграл. Отсюда. Проводим обратную подстановкуи получаем в результате

Полученным интегралом рекомендуем пополнить уже имеющуюся таблицу.

2. Приведение к «табличному виду»

Пример 3. Здесь рассматривается вариант, при котором дискриминант знаменателя существенно отрицательный (остальные варианты исследуются ниже).

Рецепт. Преобразуем трёхчлен знаменателя к виду, похожему на квадратный двучлен табличного интеграла, рассмотренного в Примере 2. Последовательность действий должна быть следующей:

Очевидно, что этот интеграл по своей структуре полностью соответствует интегралу Примера 2: переменной этого интеграла соответствует переменная, а множителюсоответствует радикал. Далее. Отсюда решение интеграла:.

N.B.! Помните, что нельзя полностью доверять авторам любого учебного пособия (кто из нас не без греха?), в том числе и авторам данного пособия. Поэтому убедительная просьба: для проверки правильности взятия интеграла старайтесь почаще применять первое свойство интегралов!

3. Замена функции

Для этого приёма характерно многообразие вариантов замены какой-либо функции, входящей в подынтегральную функцию. Удача чаще всего приходит только в случае перебора нескольких вариантов.

Пример 4. .

Рецепт. Здесь безальтернативный вариант замены: . Это ─ табличный интеграл:. Обратная подстановкаприводит к конечному результату:.

Пример 5.

Рецепт. Опытный взгляд обнаружит интересную дробь ─ дифференциал функции, а в числителе дроби встречается именно такая функция. Отсюда должна появиться естественная мысль сделать замену:. Тогда. В результате этой подстановки имеем табличный интеграл:. Обратная подстановка приводит к конечному результату+.

К этой же группе интегралов, требующих замены функции, относятся такие, в составе которых имеются радикалы степени , т.е. компоненты типа. Очевидно, такой радикал надо заменить какой-либо переменной того же типа.

Пример 6. .

Рецепт. Здесь . Очевидна замена=тогда=. Тогда интеграл легко приводится к= =+С.

Обратная подстановка даёт конечный результат: =+С.