TVzachet

1. На один ряд из 7 мест, случайным образом садятся 7 учеников. Найти вероятность того, что три определенных ученика окажутся рядом

На один ряд из 7 мест рассаживают 7 учеников. Какова вероятность,  что 3 определенных ученика будут сидеть вместе. Решение. Упростим мысленно задачу. Пусть эти 3 ученика садятся на одно место, тогда у нас становится 5 мест. На которые могут рассесться 5 учеников, а это 5!, наши 3 ученика, сидящие вместе на одном месте могут между собой сесть 3! способами, следовательно:

2. В магазине имеется в продаже 20 пар обуви, из которых 7 пар 42 размера. Найти вероятность того, что из 8 -ми покупателей 3 выберут обувь 42 размера.

(3/7)/(7/20+3/8)=480/812

C37 =7! 7-3!3! = 4!5674!123=35 C513=13!13-5!5!=8!9101112138!12345 = 1287 C820 = 20! 20-8!8! = 12!131415161718192012!12345678 =126000

A= C37 C513 C820 =351287 126000 = 0,36

3. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,2% брака; второй - 0,3% и третий - 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 500, со второго - 1000 и с третьего - 1500 деталей.

1) 500*0,2/100 = 1%

2) 1000*0,3/100=3%

3) 1500*0,4/100=6%

1/100 + 3/100 + 6/100 = 10/100

4. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность, что их произведение будет не больше 1, а частное y/x не больше двух.

В начале задается область всех возможных вариантов (0 < x, y < 2, т.е. квадрат 2*2). Первое условие (xy< 1) отсекает одну область (ниже правой ветви гиперболы y=1/x). Второе условие (y/x<2) отсекает другую область (ниже прямой y=2x). В пересечении получается искомая область, все значения из которой удовлетворяют обоим условиям.  И, по определению вероятности, нам требуется найти отношение площадей  этой искомой области к области всех возможных вариантов (4 - площадь квадрата). У меня получилось P=(1+3ln2)/8 PS там где знак <, там меньше либо равно. Но в данном случае это не играет никакой роли, т.к. площадь любого отрезка равна 0.

5. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в количественном отношении 1:2:3, причем вероятности брака для этих заводов соответственно равны 3%; 2%; 1%. Прибор, приобретенный НИИ, оказался бракованным. Какова вероятность того, что этот прибор произведен первым заводом (марка завода на приборе отсутствовала)

Формула Байеса

6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, каждое из которых не превышает 1. Найти вероятность того, что их сумма не превышает 1, а произведение не меньше 0,09.

7. В прямоугольник с вершинами K(-1,0), L(-1,5),M(2,5), N(2,0) брошена точка. Какова вероятность того,что её координаты будут удовлетворять неравенствам

8. В семье 5 детей. Считая вероятность рождения мальчика и девочки одинаковыми, найти вероятность того, что среди этих детей: а) 2 мальчика; б) не более 2-х мальчиков; в) более 2-х мальчиков.

2. В общем это схема Бернулли, где n=5, n=2, p=0,50, q=0,50. 

а) простая формула Бернулли: Р₅(2) = C₅² * 0,50² * 0,50³ = 5!/3!2! * 0,50² * 0,50³ ≈… . 

9. Внутри квадрата построен равносторонний треугольник со стороной, равной стороне квадрата. В квадрат бросается точка. С какой вероятностью она попадёт в треугольник?

10. Найти вероятность того, что абонент наберет правильный двузначный номер, если он знает, что данный номер не делится на 5.

1/72, так как всего двузначных номеров 90, а из них на 5 делятся 18, а не делятся 72.

11. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти:

1. Значение a,

2. Математическое ожидание,

3. P(1,2)

Построить графики функций распределения.

12. ДСВ X задана законом распределения

X	1	3	5	7	9
P	0,2	0,25	0,3	0,15	0,1

Построить многоугольник распределения, найти функцию распределения, построить график, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X.

13. На спортивных соревнованиях вероятность показать спортивный рекорд для первого спортсмена равна 0,5; для второго - 0,3; для третьего - 0,1. Какова вероятность того что: а) рекорд будет установлен одним спортсменом; б) рекорд будет установлен хотя бы одним спортсменом; в) рекорд не будет установлен.

а PA1 —A2—A3 = PA P—A2P—A3 0,50,70,9 = 0,315

—A1A2—A3 = P—A1PA2P—A3 = 0,50,30,9 = 0,135

—A1—A2A3 = P—A1P—A2PA3 = 0,50,70,1 = 0,035

—A1—A2A3 + P—A1A2—A3 + P—A1—A2A3=0,315+0,135+0,035=0,485 в P—A1—A2—A3 = P—A1 P—A2 P—A3= 0,50,70,9=0,315 б 1- P—A1—A2—A3 = 1- 0,315 = 0б685

14. Совокупность семей имеет следующее распределение по числу детей:

Определить x1, x2, p2, если известно, что M(X)=2, D(X)=0,9.

15. Партия электролампочек на 25% изготовлена первым заводом; на 35% - вторым; на 40% - третьим. Вероятности выпуска бракованных лампочек соответственно равны: 0,03; 0,02; 0,01. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампочка окажется бракованной?

Р(А)= 0.25*0.03+0.35*0.02+0.4*0.01= 0,0075+ 0,007+ 0,04=0,0545

16. ДСВ X задана законом распределения

X	1	3	5	7	9
P	0,05	0,15	0,2	0,4	0,2

Построить многоугольник распределения, найти функцию распределения, построить график, найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение ДСВ X.

17. ДСВ X задана законом распределения:

Определить x2, x3, p2, если известно, что M(X)=4, M(X²)=20,2.

18. Расследуются причины неудачного запуска космической ракеты, о котором можно высказать четыре гипотезы Hi,H2,Hj,H4. По данным статистики P(Hi)=0,2, Р(Н₂)=0,4, Р(Н₃)=0,3, Р(Н₄)=0,1. В ходе расследования обнаружено, что произошла утечка топлива (событие А). Условные вероятности события А согласно той же статистике равны: Р(А/ Н=0,9, Р(А/ Н₂)= 0,4, Р(А/ Н₃)=0,2, Р(А/ Н₄)=0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

19. Найти вероятность того, что при четырех подбрасываниях игральной кости 5 очков появится: а)2 раза, б) хотя бы 1 раз.

20. На участке А-В для мотоциклиста-гонщика имеется 3 препятствия, вероятность остановки на каждом из них равна 0.1. Вероятность того, что от пункта В до конечного пункта С мотоциклист проедет без остановки равна 0.7. Найти вероятность того, что на участке А-С не будет ни одной остановки.

21. Числа I, 2, 3, 4, 5 написаны на 5 карточках. Наудачу последовательно выбираются 3 карточки, и вынутые таким образом цифры ставятся слева направо. Найти вероятность того, что полученное при этом трехзначное будет четным..

22. Устройство состоит из 5 элементов, среди которых 2 изношенных. При включении устройства случайным образом включаются 2 элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся изношенные элементы.

Сочетания из 3 по 2\Сочетания из 5 по 2 = 3\10

23. Принимаем вероятность рождения мальчика и девочки равными. Найти вероятность того, что среди 10 новорожденных 6 окажутся мальчиками.

всего комбинаций рождений мальчиков и девочек в 10-ти случаях  2 в степени 10 = 1024  из них сочетаний 6 по 10 С(6,10) = 10!/(6!*4!) = 210  210/1024 = 20,5%

24. В ящике находятся 12 деталей, изготовленных на заводе 1, 20 деталей на заводе 2 и 18 деталей на заводе 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная на заводе 1, отличного качества равна 0,9; для деталей изготовленных на заводах 2 и 3 эти вероятности равны 0,6 и 0,9. Наудачу берется деталь. Найти вероятность того, что она окажется отличного качества.

Р(А)= 12*0,9+20*0,6+18*0,9= 10,8+ 12+ 16,2=39/50

25. Какова вероятность того, что наудачу вырванный листок из нового календаря соответствует первому числу месяца? (Год считается не високосным)

событие A - на листке календаря число 1. Количество всех возможных исходов n = 365. Количество благоприятных исходов m=12. Тогда вероятность P(A) = 12/365 = 0,0328767...  Ответ: вероятность того, что вырванный наудачу листок из календаря, который соответствует первому числу, равна P(А) = 0,03.

26. Вероятность попадания в цель 1-м стрелком равна 0,7; вторым-0,5; третьим - 0,4. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель.

найди вероятность того, что все промажут, и отними ее от единицы

P = 1-(1*0,3+1*0,5+1*0,6)=1-1,4=-0,4

Вероятность попадания 140 %

27. На фабрике, изготавливающей болты, первая машина производит 30%, вторая - 25%, третья - 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%; 1%; 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт окажется стандартным.

P = 1-(0.3*0.02 + 0.25*0.01 + 0.45*0.03) = 1-(0,006+0,0025+0,0135)=1-0,022=0,978

28. Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов группы на удачу вызываются три студента. Определить вероятность всех возможных значений числа отличников, которые могут оказаться среди вызванных 3-х студентов.

Примените формулу Бернулли

29. Из ящика, в котором содержится 5 белых и 7 красных шаров, вынимают наугад три шара без возвращения. Какова вероятность, что среди вынутых шаров будет 2 белых и один красный?

30. В первом ряду аудитории 6 парт. За эти парты всегда садятся 6 друзей - студентов. Какова вероятность того, что при случайной посадке за эти парты Саша и Марина окажутся рядом?

31. Три стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероят­ность попадания в мишень первым стрелком равна 0.7, вторым - 0.8, третьим -0.9. Найти вероятность того, что мишень будет поражена (а) одной пулей, (б) двумя пулями, (в) хотя бы одной пулей.

"…вероятность того, что при одном выстреле попадут в цель: а) все три стрелка"  = 0,6*0,7*0,8 = …  "…вероятность того, что при одном выстреле… б) попадёт хотя бы один из них" равна единице минус вероятность того, что все трое промажут =  = 1 - (1 - 0,6)*(1 - 0,7)*(1 - 0,8) = …

32. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность поражения мишени при выстреле из винтовки с оптическим прицелом равна 0.95, без оптического прицела - 0.7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки.

33. Детали изготавливаются на 3 станках, причем на первом станке изготавливается 50 % всех деталей, на втором 20%, остальные на третьем. Вероятность брака на первом станке - 0.03, на втором - 0.025, на третьем -0.01. Взятая наугад деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

34. Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.4. Найти вероятность того, что в серии из 500 опытов событие наступит (а) 250 раз, (б) менее 200 раз. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х- числа появлений события А в серии.

35. Два студента условились встретиться в определенном месте во время перерыва в между 13ч и 13ч 50 мин. Пришедший первым ждет другого в течение 10 мин., после чего уходит. Чему равна вероятность их встречи, если приход каждого из них в течение указанных 50 мин. Может произойти наудачу и моменты прихода независимы?

36. Случайная величина X задана интегральной функцией:

Найти:

1. Плотность распределения f(x),

2. Математическое ожидание,

Построить графики функций распределения