2. Последовательный колебательный контур

Рис.5. Последовательный колебательный контур

Последовательныйколебательный резонансный контур состоит из последовательно соединенных сопротивленияR, катушки индуктивностиLи конденсатораC(рис.5). Как правило, резисторRопределяет сопротивление омических потерь провода, из которого выполнена индуктивность, и представляет потери на переполяризацию в диэлектрике конденсатораС.

Предположим, что на входе действует гармоническое напряжение U(t).В комплексной форме, тогда.

Запишем закон Ома для такой цепи:

.

–полное входное сопротивление контура.

Так как через все элементы протекает один и тот же ток, можно вычислить падение напряжения на каждом элементе, а, следовательно, и коэффициенты передачи входного напряжения на каждый элемент:

,

,

.

При частоте реактивная часть комплексного сопротивления равна нулю, т. е.

или

,

и ток в цепи достигает максимального значения: , т.к.– минимальный активный импеданс контура.

При этом выражения для падений напряжения на катушке и конденсаторе примут следующий вид:

,

.

Таким образом,

,

т. е. напряжения на индуктивности и емкости при резонансе равны по величине и противофазны (сдвинуты по фазе друг относительно друга на ). Их сумма в любой момент времени равна нулю, но каждое из них может быть существенно больше, чем напряжение генератора. Это явлениерезонанса напряжений.

2.1. Условия резонанса в последовательном контуре

Рассмотрим последовательный контур, схема которого изображена на рис.5. Активное сопротивление R, показанное на рис.5, учитывает потери энергии в катушке и конденсаторе, и для удобства анализа и расчётов изображается на схеме в виде отдельного элемента. Под действием переменного напряжения генератора в цепи проходит переменный ток. Полное сопротивление последовательного контура равно геометрической (векторной) сумме емкостного, индуктивного и активного сопротивлений.

В общем случае оно содержит активную и реактивную составляющие, т. е.:

.

Реактивная составляющая X равна разности индуктивного и емкостного сопротивлений:

.

По характеру реактивное сопротивление X контура может быть емкостным или индуктивным в зависимости от того, какое из сопротивлений, индуктивное сопротивление катушки или емкостное сопротивление конденсатора, имеет большую величину.

Ток в контуре зависит от напряжения генератора и полного сопротивления контура:

.

Емкостное сопротивление конденсатора и индуктивное сопротивление катушкизависят от частоты питающего тока: первое с повышением частоты уменьшается, второе – увеличивается (рис.6). Как было показано выше, в последовательной цепи напряжение на емкости и индуктивности компенсируют друг друга. При этом емкостное и индуктивное сопротивления имеют разные знаки: индуктивное сопротивление считается положительным, а емкостное – отрицательным.

Рис.6.Зависимость реактивного сопротивления последовательного контура от частоты генератора

При частоте генератора равной резонансной частоте контура, эти сопротивления оказываются численно равными.

Режим, возникающий в цепи последовательного контура при равенстве емкостного и индуктивного сопротивлений, называют режимом резонанса напряжений.

Ранее была получена формула, связывающая резонансную частоту с величинами индуктивности и емкости колебательного контура:

,

или соответственно

.

Получилась такая же формула, как и для частоты свободных (собственных) колебаний контура.

Таким образом, условием резонанса является равенство (совпадение) частоты питающего генератора и собственной частоты контура (частоты свободных колебаний):

или.

где собственная частота контура (частота свободных колебаний).