В.А. Чернышев

Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы

Подготовлено кафедрой

компьютерной физики

Рассматриваются методы нахождения минимума (максимума) функции, интерполяционные полиномы Ньютона, интерполяция кубическими сплайнами, решение ОДУ методами Адамса

Екатеринбург

2011

Вариант № 1

1. Интеграл можно вычислить методами:

   1. левых прямоугольников

   2. правых прямоугольников

   3. трапеций

   4. средних прямоугольников

   5. Симпсона

2. Первая и вторая производная функции f (x) должны сохранять свой знак для уточнения корня уравненияf(x)= 0 методами:

   1. бисекции

   2. хорд

   3. итераций

   4. Ньютона

3. Последовательность решения системы линейных уравнений методом итераций (перечислите действия в нужном порядке):

   1. Приведение системы

   2. к виду

   3. Выбор метрики

   4. Расчет определителя системы

   5. Выбор начального приближения

   6. Проверка условий сходимости

   7. Процесс итераций

4. Завышенное значение интеграла будет получено методом ………прямоугольников.

5. Чтобы построить полином Лагранжа 6-ой степени необходимо ………узлов интерполяции.

6. При уточнении корня уравнения на отрезке [a;b] методом хорд в качестве начального приближения следует взятьb, если………..

7. Какой из концов отрезка [a;b] следует выбрать в качестве начального приближения в методе Ньютона, если, и? __________________________________________________

8. Сформулируйте достаточные условия сходимости итерационного процесса при нахождении корня уравнения. ___________________________________________________________

9. При каких значениях условием прекращения итераций для нахождения корня с точностьюможно считать условие?_______________________________________________

10. Докажите, что если определить функцию по формуле, где, знаксовпадает со знакомна отрезке [a;b], то уравнениеэквивалентно уравнениюи функцияудовлетворяет достаточному условию сходимости.________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________

11. Напишите достаточное условие сходимости метода итераций для метрики _________________________________

12. Решение системы линейных уравнений найдено с точностью , если выполняется условие (напишите): _____________________________

13. Скорость сходимости метода Зейделя выше, чем метода простых итераций, когда выполняется условие сходимости:

    1. 

    2. 

    3. 

14. В каких случаях метод Ньютона не определен? __________________

15. Погрешность численного дифференцирования по «центральной» формуле оценивается из неравенства:

    1. 

    2. 

    3. 

16. Если значения функции y (x) рассчитываются с погрешностью, то оптимальный шаг численного дифференцирования по «центральной» формуле следует определять из соотношения:

    1. 

    2. 

    3. 

17. Необходимо определить производную …….-го порядка от функции f (x), чтобы оценить погрешность интерполяции этой функции полиномом Лагранжа 5-ой степени.

18. Как изменится оптимальный шаг численного дифференцирования, если погрешность , с которой рассчитываются значения функцииy (x), уменьшится втрое? _____________________________________

19. Погрешность по методу Рунге для квадратурной формулы Симпсона оценивается из приближенного равенства:

    1. 

    2. 

    3. 

    4. 

20. Квадратурная формула Чебышева с nузлами дает точный результат для полинома …..-ой степени.

Вариант №2

1. Завышенное значение интеграла будет получено методом ……………прямоугольников.

2. Напишите формулу для вычисления второй производной «в центре». ___________________________________________________________

3. Необходимо сделать не менее …………. итераций, чтобы найти корень уравнения с точностьюметодом бисекции на отрезке[0; 1].

4. Чтобы построить полином Лагранжа 4-ой степени необходимо ………узлов интерполяции.

5. При уточнении корня уравнения на отрезке [a;b] методом хорд в качестве начального приближения следует взятьa, если………..

6. Какой из концов отрезка [a;b] следует выбрать в качестве начального приближения в методе Ньютона, если, и? __________________________________________________

7. Почему итерационные методы являются самоисправляющимися? ___________________________________________________________

8. Напишите достаточное условие сходимости метода итераций для метрики __________________________________

9. Скорость сходимости метода Зейделя выше, чем метода простых итераций, когда выполняется условие сходимости:

   1. 

   2. 

   3. 

10. Напишите формулу для оценки погрешности численного дифференцирования «назад». _________________________________

11. Квадратурная формула Гаусса с nузлами дает точный результат для полинома …...-ой степени.

12. Если четвертая производная подынтегральной функции f (x) неизвестна, то погрешность численного интегрирования методом Симпсона можно оценить по формуле (приведите формулу): ___________________________________________________________

13. Найдите минимальное число частей n, на которое необходимо разбить отрезок интегрирования, чтобы найти интегралс точностьюпо формуле средних прямоугольников. ___________________________________________________________ ___________________________________________________________

14. Найдите минимальное число частей n, на которое необходимо разбить отрезок интегрирования, чтобы найти интегралс точностьюпо формуле правых прямоугольников. ______________________________________________________________________________________________________________________

15. В каких случаях метод Ньютона не определен? __________________

16. Необходимо найти корень уравнения на отрезке [0,2; 0,5] методом итераций. Можно ли выразить функциюкак? (Ответ обосновать.)__________________________ ______________________________________________________________________________________________________________________

17. Если значения функции y (x) рассчитываются с погрешностью, то оптимальный шаг численного дифференцирования по «центральной» формуле следует определять из соотношения:

    1. 

    2. 

    3. 

18. Дана таблица значений функции

x	1,5	1,6	1,7
exp (x)	4,48	4,95	5,47

Оценитe погрешность интерполяции этой функции полиномом Лагранжа второй степени в точке x= 1,57.

19. Какие ограничения накладываются на распределение узлов интерполяции по отрезку интерполирования при построении полинома Лагранжа? ________________________________________

20. Система уравнений называется плохо обусловленной, если ………