2. Вынужденные электрические колебания в колебательном контуре.

Д

Рис.4. Схема для получения вынужденных колебаний.

ля возбуждения вынужденных колебаний в цепи колебательного контура подключим его к внешней эдс, изменяющейся по гармоническому закону (рис.4). ,

где -амплитудное значение внешней эдс; ω –ее круговая частота.

Ток в цепи по второму закону Кирхгофа удовлетворяет уравнению

или

Член в левой части можно рассматривать как падение напряжения на индуктивности, т.е. . Поделив уравнение на L и учитывая (5) и (6), получим:

.

Уравнение (39) есть неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Решение его может быть представлено в виде (в чем можно убедиться подстановкой)

,

где q₁(t) –это решение (19) однородного уравнения (7); q₂(t) –частное решение уравнения (39)

.

Таким образом

,

где δ и ω’ определяются из (5) и (20), а ω –частота внешней эдс.

Первое слагаемое вносит вклад в решение (42) лишь в начальный момент времени, так как со временем оно стремиться к нулю. Таким образом, q₁(t) –можно пренебречь и за решение уравнения (39) принять установившиеся колебания, описываемые уравнением (41).

Подставляя (41) в уравнение (39), определим q₀ и φ:

;

где ω₀ –частота собственных колебаний. Подставляя в формулы для q₀ и tg(φ) значения и , после несложных преобразований получим:

,

.

Зная зависимость от времени заряда конденсатора q(t), можно найти зависимость от времени силы тока i(t), напряжения на катушке индуктивности U_L, падения напряжения на емкости U_c и на сопротивлении U_R. Действительно,

,

,

.

Отсюда видно, что хотя частота колебаний всех электрических величин совпадает с частотой внешней эдс, фазы напряжений на R, L и C не совпадают.

Из рассмотрения соотношений (47) видно, что как ток i(t), так и U_R(t), опережает по фазе напряжение на емкости на и отстает на от напряжения на индуктивности. Напряжения на индуктивности и на емкости изменяются в противофазах (сдвиг π).

Это обстоятельство отражено на векторной диаграмме (рис.5.). В качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, взята ось тока и по ней откладывается амплитудной значение

U

Рис.5. Векторная диаграмма напряжений в последовательном контуре.

_0R, поскольку ток и напряжение на активном сопротивлении изменяются без сдвига фаз. С опережением или отставанием в по фазе согласно (47) откладываются соответственно амплитудные напряжения U_0L и U_0C. Откладывая векторно эти напряжения, получаем амплитудное значение результирующего напряжения, которое и является амплитудой внешней эдс. Из диаграммы (рис.5) легко получить значение tg(φ). Учитывая, что

получаем закон Ома для цепи переменного тока

.

Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, которое заключается в возрастании амплитуды вынужденных колебаний (i_c,U_oc,U_oL,U_oR) при приближении частоты внешней эдс к резонансной частоте, зависящей от параметров L,C и R. Рассмотрим подробнее резонанс для U_c и i.

3. Резонансные кривые для напряжения на конденсаторе.

Из (43) следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна

Как и следовало ожидать, U_oc прямо пропорционально амплитуде эдс ε₀. Кроме того, U_oc сложным образом зависит от ω. При постоянной амплитуде источника ε₀ и заданных параметрах контура L и C зависимость U_oc=f(ω) для трех различных сопротивлений R представлена на рис. 6(а).

Рис.6. Резонансные кривые напряжения на конденсаторе (а) и тока в контуре (б) при разных сопротивлениях.

При ω→0 все резонансные кривые сходятся в одной точке с ординатой U_oc= ε₀. Частота ω_p, при которой U_oc достигает максимума, называется резонансной частотой.

Резонансная частота для напряжения на конденсаторе ω_p находится из условия экстремума функции (49)

.

В результате несложных вычислений находим

.

Из формулы (51) видно, что резонансная частота для напряжения на конденсаторе меньше частоты свободных затухающих колебаний(сравните с (20)), но при R=0 резонансная частота совпадает с частотой собственных колебаний ω₀.

Таким образом, при небольших сопротивлениях контура R амплитуда вынужденных колебаний заряда q и напряжения на конденсаторе U_c достигает максимального значения при частоте эдс, приблизительно равной частоте собственных колебаний контура. С увеличением сопротивления R резонансные кривые понижаются, а максимум сдвигается в сторону меньших частот.

Резонансные кривые для тока.

Из закона Ома (48) видно, что при ω→0 и ω→∞ i₀→0.

При

амплитуда тока достигает своего максимального значения

.

Итак, (52) и есть условие резонанса для тока, откуда для резонансной частоты ω_ip получаем

.

Резонансные кривые для тока i₀(ω) при постоянной амплитуде эдс источника ε₀ и заданных параметрах L и C приведены на рис. 6(б). Видно, что при увеличении R амплитуда тока уменьшается и резонанс выражен менее отчетливо. Однако резонансная частота не зависит от активного сопротивления и равна ω₀.

При вынужденных колебаниях в контуре кроме рассмотренного нами резонанса напряжения на конденсаторе и резонанса тока имеет место резонанс и других изменяющихся со временем величин q(t), ε_L(t),U_R(t). Но все эти явления резонанса, происходящие в последовательном контуре, т.е. когда источник напряжения и все элементы контура соединены последовательно, называются резонансом напряжений, в отличие от случаев, когда источник эдс подключается к контуру параллельно. В этих случаях наблюдается резонанс токов, который в данной работе не рассматривается.