2. 3. Матеріальний баланс процесів розподілу
Поділу підлягає неоднорідна система, що складається з речовини а (дисперсій н ная фаза) і зважених часток b (Дисперсна фаза). G c - Кількість вихідної суміші, кг; х з - Вміст речовини b у вихідній суміші, мас. %; G n - Кількість продукту, кг; х п - З о тримання речовини b в очищеному продукті, мас. %; G o - Кількість осаду, кг; x о - з о тримання речовини b в осаді, мас. %; про і - Щільності речовин a і b.
При відсутності втрат речовин матеріальний баланс поділу можна представити так:
за загальною кількістю речовин G c = G п + G о;
за кількістю зважених речовин (дисперсної фазі)
Спільне рішення цих рівнянь дозволяє визначити кількість очищеного продукту
(2. 1)
і кількість осаду
(2. 2)
Зміст зважених часток у очищеному продукті і в осаді вибирається в з а висимости від технологічних вимог і залежить від методу поділу.
Ефективність поділу характеризується ефектом поділу
Рівняннями (2. 1) і (2. 2) описується також п роцесс змішання. З рівняння (2. 1) може бути знайдена концентрація зваженої речовини в отриманій суміші
де: G п і G про - кількості змішаних продуктів; х п і х о - масові концентрації в цих продуктах зважених часток; G с - кількість кінцевої суміші.
2. 4. Кінетика розподілу неоднорідних систем
Кінетика осадження. Розглянемо рух частинки під дією гравітаційної сили у в'язко й середовищі (рис. 2. 1). На частку будуть діяти сила тяжіння G, архимедова сила А і сила тертя Т.
Рис. 2. 1. Сили, що діють на частинку у в'язкому середовищі
Обсяг частинки довільної форми пропорційно нален лінійного розміру в третьому ступені: V = k 1 l 3, де - Коефіцієнт, що залежить від форми частинки; l - типовий е ський розмір частки (діаметр).
Якщо щільність твердої частинки т т, а рідини (газу, пари) ж ж, то на частку де й ствуют сила тяжіння G = k 1 l 3 T g і підйомна сила А = k 1 l 3 жg g, спрямована в бік, пр про протилежний до напрямку сили тяжіння. Під дією різниці цих сил частинка пров е міщується в рідині.
На одиницю поверхні частки з боку рідини дей ствуют сили тертя T = dv / dn, де - Коефіцієнт дінамічес кой в'язкості рідини; dv / dn - Зміна швид про сти руху жид кістки в напрямку, нормальному до поверхні частинки. Сума сил тр е ня Т залежить від площі поверхні частки k 2 l 2 (Де k г - Коефіцієнт, що враховує форму част і ці) і становить T = k 2 l 2 dv / dn
Згідно з другим законом механіки рівнодіюча сил тяжкості, підйомної та тр е ня дорівнює масі частинки, помноженої на прискорення:
(2. 3)
Це рівність є диференціальним рівнянням осадження ня частинок під Дейсі т Вієм сили тяжіння.
Рівняння (2. 3) не може бути вирішено в загальному вигляді, тому для визначення ск про рости осадження частинок необхідно його прео бразовать в критеріальне рівняння.
Наведемо рівняння (2. 3) до безрозмірного виду, поділивши всі його члени на
(2. 4)
де: - Константа, що залежить від форми частинки і звана коефіцієнтом н тому форми частинки.
Сел ле множення членів рівняння (2. 4) на параметричний критерій (відношення щільності твердої частинки до щільності рідини ) Рівняння прийме вид
(2. 5)
З рівняння (2. 5) можна отримати критерії подібності для процесу осадження част і ці.
З першого члена рівняння (2. 5) за допомогою методів теорії подібності отримаємо
(2. 6)
з другого члена -
(2. 7)
де: Re = - Критерій Рейнольдса, що характеризує гидродинамич е ське подобу при обтіканні частинки рідиною.
Після множення виразу (2. 6) на Re 2 отримаємо
(2. 8)
де: Ar - критерій Архімеда, який характеризує відношення різниці сил тяж е сти і підйомної до підйомної силі; v - кінематична в'язкість.
Таким чином, і з диференціального рівняння (2. 3) отримуємо критеріальне ура в нання, що описує процес осадження:
(2. 9)
де: А - коефіцієнт; h - показник ступеня, який визначається експериментальним п у тем.
На підставі експериментальних даних встановлено такі режими обложена е ня частки в рідини: ламінарний (Re перехідний (0; 2 і турбулен т ний (Re Для кожного режиму експери ного знайдена залежність виду (2. 9):
для ламінарного режиму
при Re <1,85 або <0,33; (2. 10)
для перехідного режиму
при
або (2. 11)
для турбулентного режиму
при Re> 500 або (2. 12)
За значенням критерію Рейнольдса визначається швидкість осадження частинки в жи д кістки під дією сили тяжіння
(2. 3)
яка у разі ламінарного руху може бути визначена за рівнянням Ст про кса, п про Лучано п віслюку перетворення рівняння (2. 10):
(2. 14)
де: d - діаметр частинки.
Формула (2. 14) справедлива для твердих частинок правильної сфе рической форми. Ск про рость осадження частинок неправильної форми менше.
У разі осадження крапель рідини в рідкому середовищі процес ускладнюється тим, що форма крапель безперервно змінюється. Для визначення швидкості осадження крапель можна р е комі н довать формулу
v 0 = ,
де: d - Усереднений діаметр краплі; - Поверхневий натяг на кордонах обр а зующих фаз; - Щільність середовища; ж - щільність рідини, що утворює краплі; c - в'язкість ср е ди.
Отримані кінетичні закономірності процесу осадження свідчать про те, що швидкість осадження збільшується з збільшенням розмірів і щільності частинок і розумний ь шается із збільшенням щільності і в'язкості середовища, в якій відбувається осадження.
Максимальний розмір твердих часток, осадження яких відбувається за законом Стокса, можна визна еліть, підставити в рівняння (2. 14) вираз швидкості з (2. 13) при Re , Тоді
(2. 15)
Наведені розрахунки відносяться до вільного відстоювання, при якому осідають ча з тіци практично не роблять взаємного впливу на рух. На практиці доводиться мати справу з так званим обмеженим відстоюванням при значних концент раціях твердих частинок в середовищі. При обмеженому відстоюванні ско рость осідання частинок нижче, ніж при вільному, внаслідок тертя і зіткнень частинок між собою. Для визначення ск про рости приобмеженому відстоюванні в рівняння вводять поправочні коефіцієнти ціент, вчить и вающие концентрацію частинок в середовищі.
Кінетика фільтрування. При фільтруванні потік рідини проходить через пори з тую перегородку з твердого або волокна стого матеріалу, яка може бути представл е на як шар зерни стого матеріалу (рис. 2. 2). Пори між частинками утворюють канали н е пр а вільной форми, по яких рухається потік V філь труемой рідини.
Для опису кінетики фільтрування скористаємося диференціальним рівнянням Н а Вйо-Стокса для усталеного одне мірного руху потоку
Так як це рівняння не може бути вирішено в загальному вигляді, отримаємо з нього крит е риальное рівняння, застосувавши методи тео рії подоби.
Розділивши всі члени рівняння на , Пів у чім
Доданки лівої частини рівняння безрозмірні. Отримаємо з них критерії подібності.
З першого члена, замінивши х на l, отримують критерій Ейлера, що характеризує о т носіння сил тиску до інерційним силам:
(2. 16)
З другого члена отримує величину, зворотну критерієм Рейнольдса:
(2. 17)
З третього члена, викресливши символи диференціювання та напрямки, отримують критерії Фруда, що характеризує відношення сил тяжкості до інерційним силам:
(2. 18)
Рис. 2. 2. Схема руху рідини через фільтру ющую перег про містечок
Так як при фільтруванні сили тяжіння малі в порівнянні з силами тиску і тр е ня, ними можна знехтувати. Тому в кри териальное рівняння не вводиться критерій Фр у так. Для характери стіки геометричних особливостей розглянутої системи в критер і альное рівняння вводиться параметричний критерій l / d ек.
Критеріальне рівняння, що описує рух потоку фільтрованої рідини через пористий шар, записують у наступному вигляді:
(2. 19)
де: l - товщина осаду або фільтруючої перегородки: d ек - еквівалентний діаметр каналів.
Коефіцієнт А і показники ступенів піт визначаються екс експериментально.
При малому діаметрі каналів фільтрувальної перегородки або каналів в осаді на філь т рующей перегородці ламінарний режим фільтрування має місце при Re ≤ 35.
Для ламінарного ре жиму фільтрування залежність (2. 19) має вигляд
(2. 20)
Для турбулентної області при
(2. 21)
У рівняннях (2. 20) і (2. 21) визначальним розміром є еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу, а ско рость потоку v віднесена до вільного перетину к а налов.
Еквівалентний діаметр каналів в шарі зернистого матеріалу де - Д о ля пустот в шарі зернистого матеріалу, або коефіцієнт вільного об'єму; - Питома площа поверхні зерен, тобто площа поверхні зерен, що знаходяться в одиниці об'єму шару (в м 2 / м 3):
(2. 22)
де: V - загальний обсяг, займаний зернистим шаром; V o - обсяг, зан і травнем
частинками, що утворюють шар, тобто V - V o = V св - вільний об'єм (обсяг каналів в шарі); F з - поверхня зерна; V з - обсяг зерна.
Еквівалентний діаметр каналів в шарі може бути виражений через діаметр частинок (зерен) d з.
Еквівалентний діаметр каналів в шарі може бути виражений через діаметр частинок (з е рен) d 3.
Для частинок неправильної форми
(2. 23)
де: Ф - фактор форми частинок; Ф = F ш / F; F ш - площа поверхні кулі, що має той же об'єм, що і розглянута частка площею поверхні F. Наприклад, для куба Ф = 0,806, для циліндра Ф = 0,69, для диска Ф = 0,32. Значення фактора форми частинок пр і водячи т ся в довідниках.
Фактор форми частинок пов'язаний з коефіцієнтом форми частинок Співвідн і ем .
Рух потоку рідини при фільтруванні зазвичай ламінар ве. Це обстоятельс т в п про зв оляет користуватися рівнянням (2. 20).
Перепишемо рівняння (2. 20) в явній формі
(2. 24)
і введемо в нього замість еквівалентного діаметра d ек значення його з рівняння (2. 23), а замість швидкості в каналах v - швидкість v f, віднесену до загальної площі фільтру і опред е ляем співвідношенням Провівши в зрівняні еніі (2. 24) зазначені заміни, отримаємо
(2. 25)
тобто швидкість фільтрування через шар пористого матеріалу прямо пропорційно квадрату діаметра частинок зернисто го матеріалу, що утворює фільтрувальний шар, і про б ратно пр про пропорційна в'язкості фільтрованої рідини.
З іншого боку, швидкість фільтрування
(2. 26)
Зіставивши рівність (2. 26) з рівнянням (2. 25), знайдемо
звідки
Питомий опір фільтруючого шару
,
тобто питомий опір фільтруючого шару прямо пропорційно нально в'язкості рідини і обернено пропорційно квадрату діаметра частинок, що утворюють шар.
Основне кінетичне рівняння фільтрування можна запи сать в наступному вигляді:
dV / (Fd ) = p / (l r).