Математика Сизов 2011

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

pд p ( mx < M X < mx )= p (

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4846 47 48 > Следующая >>>

Таблица 25.7

xi 1 xi

xi 13, 29

xi 1 13, 29

13, 29

xi 1

13, 29

mi mi0 2

2,95

–

–1,02

–0,3461

–

–0,5

0,1539

15,39

0,01

10,28

10,28–

–0,29

–1,02

–0,1141

–0,3461

0,232

23,2

0,028

12,42

12,42–

0,43

–0,29

0,1664

–0,1141

0,2805

28,05

0,15

14,56

14,56–

1,16

0,43

0,377

0,1664

0,2106

21,06

0,41

16,7

16,7–

1,16

0,5

0,377

0,123

12,3

0,137

100

0,735

набл2 .

0, 735.

кр2

. определяем по таблице значений

2 (приложение,

таблица 3).

числа степеней свободы

С учетом уровня значимости 0,05,

r k q 1,

где

k количество

укрупненных

интервалов

( k 5 ),

q число параметров закона распределения ( q 2

для нормального

закона) имеем:

r 5 2 1 2 ;

кр2

. 5,991.

Т.к.

0,735< 5,991,

т.е. набл2

. <

кр2

. , то выдвинутая гипотеза о

нормальном

законе

распределения

случайной

величины

подтверждается.

Аналогичным образом проведем исследования гипотезы о том,

что случайная величина Y то же распределена по нормальному закону

с параметрами

my 38,31, y 8,03.

Все расчетные формулы и особенности расчета сохраняются,

только здесь приходится в вариационном ряду

укрупнять

один

первый

j 1

интервал, имеющий частоту

m1 1. Сливаем его со

вторым интервалом. Количество интервалов становится равным k 6. Таблица вычислений примет вид:

449

Таблица 25.8

			y j 38,31		y j 1 38,3	y			38,31		y			38,31				0	0	0		2
y j 1 y j	mj							j					j 1					p j	mj	mj mj
			8,03	8,03				j
									8,03				8,03
									8,03				8,03							m0j
																				m0j

- 26,86	5		–1,426		–		–0,4229					–0,5						0,0771	7,71	0,9525
26,86-33,29	22		–0,625		–1,426		–0,2341				–0,4229							0,1888	18,88	0,5156
33,29-39,72	34		0,176		–0,625	0,0698					–0,2341							0,3039	30,39	0,4288
39,72-46,15	23		0,976	0,176		0,3356					0,0698							0,2658	26,58	0,4822
46,15-52,58	10		1,777	0,976		0,4623					0,3356							0,1267	12,67	0,5627
52,58-	6			1,777					0,5		0,4623							0,0377	3,77	1,3191

	100																	1	100	4,2609

								набл2 .		4, 2 6 0 9 .
имеем	При		0,05, r k q 1 6 2 1 3													по		табл.3	приложения
имеем	кр2	. 7,815.		4, 2609 < 7,815 , т.е.							набл2				. < кр2		. ,	значит, гипотеза			о
нормальном распределении случайной величины Y подтверждается.
	Задача 5. При условии нормального распределения случайных
величин		X	и Y и доверительной вероятности															p 0,95 построить

доверительные интервалы для математических ожиданий M X , M Y

генеральной совокупности.

Решение. При объеме выборки n >50 воспользуемся примером 1, изложенным в 25.1.5. Оценка МОЖ генеральной совокупности mx является случайной величиной , распределенной по нормальному закону со среднеквадратическим отклонением, определенным по

выборке, и равным nx .

Математическое ожидание генеральной совокупности M X находится в доверительном интервале ( mx < M X < mx ).

Симметричные случайные отклонения определяются по заданной доверительной вероятности pд и заданному нормальному закону

распределения.

Если	n , то	его можно определить по таблице 2
	x
приложения, учитывая, что		pд	. Определив γ, находим	x ,
приложения, учитывая, что		2	. Определив γ, находим	x ,
		2		n

а, значит, и сам доверительный интервал.

В нашем случае для интервальной оценки M X имеем:

450

pд 0,95 ;	pд		0,95 0, 475 .
pд 0,95 ;	2		0,95 0, 475 .
	2		2
По таблице 2 приложения находим					1,96.
			x	1,96 2,95 0,578.
			n	100
(mx < M X < mx ) ;
(13, 29 0,578 < M X <13, 29 0,578) ;
		(12,71< M X <13,87),			pд 0,95.
Математическое ожидание				M X	генеральной совокупности

находится в интервале от 12,71 до 13,87 с доверительной вероятностью

pд 0,95.							M Y имеем:
	Для интервальной оценки						M Y имеем:
	pд ,95;			pд	0,95 0, 475		;	1,96,
	pд ,95;		2		0,95 0, 475		;	1,96,
			2			2
	y	1,96 8,03	1,57.
	n	100
	(my < M Y < my ) ;						(38,31 1,57 < M Y <38,31 1,57) ;
					(36,74 < M Y <39,88),			pд 0,95.
	Математическое					ожидание M Y		генеральной совокупности

находится в интервале от 36,74 до 39,88 с доверительной вероятностью pд 0,95.

Задача 6. Исследовать корреляционную связь между X и Y. Для чего: а) построить корреляционную таблицу;

б) определить оценки числовых характеристик корреляционной связи (выборочную ковариацию, выборочный коэффициент корреляции, выборочное корреляционное отношение); в) определить параметры и формулу уравнения регрессии. Дать графическую интерпретацию этого уравнения

(начертить график).

Решение. а) Как уже отмечено в 25.1.7, в корреляционную таблицу переносят интервальные вариационные ряды для X и Y со своими серединами интервалов. Клетки таблицы заполняют частотами

mij количество	одновременно	попавших вариант по X в	i й
интервал и по Y	в j й интервал. Эти частоты определяются при
анализе исходного массива пар		XY выборки, содержащейn 100	пар
случайных величин X и Y.

Для нашего случая имеем следующую корреляционную таблицу

(таблица 25.9).

451

Таблица 25.9.

		y j 1 y j						14	20, 43		26,86		33, 29		39,72		46,15		52,58
								20, 43	26,86		33, 29		39,72		46,15		52,58			59
xi 1 xi
							j	17, 215	23,65		30,08		36,51		42,94		49,37		55,80
						y	j	17, 215	23,65		30,08		36,51		42,94		49,37		55,80
					i
				x	i
6 8,14			7,07													1		2		1

8,14 10, 28			9, 21									2		4		2		1		2

10, 28 12, 42			11,35							1		1		7		9		5		1

12, 42 14,56			13, 49							2		7		9		5		1		2

14,56 16,7			15,63					1				7		10		5		1

16,7 18,84			17,77									4		4

18,84 21			19,91							1		1				1

								my	my		my		my		my		my		my
								1		2		3		4		5		6		7
		k						7		7		7		7		7		7		7
m		j mij						mi1 mi2			mi3		mi4		mi5		mi6		mi7
m	y	j mij						i 1	i 1		i 1		i 1		i 1		i 1		i 1
		i 1						1	4		22		34		23		10		6

mxi mij i 1

mx1 m1 j 4

j 1

mx2 m2 j 11

j 1

mx3 m3 j 24

j 1

mx4 m4 j 26

j 1

mx5 m5 j 24

j 1

mx6 m6 j 8

j 1

mx7 m7 j 3

j 1

7 7

mij 100

i 1 j 1

б) Прежде чем приступить к определению оценок числовых характеристик корреляционной связи X и Y , в конце каждой строки

истолбца корреляционной таблицы приведены необходимые

подготовительные формулы			и их расчет.	Речь	идет	о			частотах:
m		i частотах интервальных	середин по	X	и	m		j	частотах
	x						y
интервальных середин по Y.

Оценку ковариации (корреляционного момента) произведем по формуле:

k k

k xy

j mij mx my.

n j 1 i 1

k k

Для определения слагаемого

j mij

составим таблицу

j 1 i 1

25.10, в которую перенесем середины интервалов

i и

j , а в клетках

поставим их произведение на соответствующую частоту mij , взятую из

корреляционной таблицы 25.9. Для контроля результата произведем сложение как по строкам, так и по столбцам.

452

Таблица 25.10

				j
			y	j	17, 215	23,65					30,08	36,51		42,94	49,37	55,79
		i
	x	i
7,07														7,07 42,94 1	7,07 49,37 2	7,07 55,791	1396,11
9, 21											9,2130,08 2	9,2136,514		9,21 42,94 2	9,2149,371	9,2155,79 2	4172,41
11,35						11,3523,651					11,3530,081	11,3536,517		11,35 42,94 9	11,3549,375	11,3555,791	11331,8
13, 49						13,4923,652					13,4930,087	13,4936,519		13,49 42,94 5	13,4949,371	13,4955,792	12978,7
15,63					15,6317,2151						15,6330,087	15,6336,5110		15,63 42,94 5	15,6349,371		13394,1
17,77											17,7730,084	17,7736,514					4733,22
19,91						19,9123,651					19,9130,081			19,91 42,94 1			1924,7
					269,07	1377,376					9763,968	16980,07		12587,861	5392,1914	3560,5178	49931,04
					k	k
					Итак,			i		j mij 49931; значения			mx 13, 29; my 38,31
					Итак,		x	i	y	j mij 49931; значения			mx 13, 29; my 38,31
					j 1	i 1

вычислены ранее; тогда выборочная ковариация

k xy 49931100 13, 29 38,31 9,83.

Выборочный коэффициент корреляции

r xy			k xy							9,83		0, 415.
r xy			x y			2,95 8,03						0, 415.
			Оценка корреляционного отношения производится по формуле
			yx								, где	yx выборочное межгрупповое
								yx
					y
																											k
среднеквадратическое отклонение:																									1					i my 2m					i .
																												y
																				yx
																													x
																													x					x
																									n i 1
			Здесь								i условное среднее значение Y при условии																													i :
							y																																x
							y		x																														x
																		1						k
																	i										j mij .
														y												y
														y		x		m								y
																						i		j 1
																					x	i		j 1
			Вычисления сведем в таблицу 25.11.																															Таблица 25.11
																																		Таблица 25.11
	y	j	17,215	23,65						30,08		36,51	42,94		49,37				55,79																						yxi my	2
mxi			17,215	23,65						30,08		36,51	42,94		49,37				55,79							y j mij						y	xi				y	xi my			yxi my		mxi
																											k
																											j 1



4													1		2								1		197, 47						49,37					11,06					489, 29
11										2		4	2		1								2		453						41,18					2,87					90,61
24				1						1		7	9		5								1		998, 4						41,6					3, 29					259,78
26				2						7		9	5		1								2		962,1						37						1,31				44,62
24			1							7		10	5		1										856,95						35,71							2,6			162, 24
8										4		4													266,36						33, 29						5,02				201,6
3				1						1			1												96,67						32, 22						6,09				111, 26
														453

											1359, 4
							yx	1359, 4		3,69.
							yx		100	3,69.
									100
			Оценка			корреляционного				отношения	равна:
				3,69
		yx		3,69
yx				8,03	0,459.
yx	y			8,03	0,459.

в) Воспользуемся готовыми формулами уравнений линейной регрессии, выраженные через оценки числовых характеристик корреляционной связи X и Y .

Уравнение регрессии Y на X :

my r xy

i mx ;

38,31 0, 415

8,03

i 13, 29 .

2,95

53,32 1,13

i .

Уравнение регрессии X на Y :

2,95

mx rxy

y j my ;

13, 29 0, 415

y j 38,31 .

8,03

xy 19,13 0,15y j .

Графики уравнений регрессии имеют вид:

ух	i			xy	j
	i				j
	у	хi	53,32 1,13x		xy	19,13 0,15y j
		хi	i			j

x	уj
i
Рис.25. 5.	Рис.25. 6.

25.3. Задание на контрольную работу «Математическая статистика»

Контрольная работа состоит из 6-ти задач. Каждому варианту соответствует таблица, состоящая из 100 пар выборки случайных величин X и Y из некоторой генеральной совокупности.

Выполнить следующие задачи:

Задача №1. Построить дискретные и интервальные вариационные ряды для СВ X и Y .

Задача №2. Построить полигоны и гистограммы распределения относительных частот для СВ X и Y .

454

Задача №3. Вычислить точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности X иY : выборочные среднюю, дисперсию и среднеквадратическое отклонение.

Задача №4. Проверить гипотезу о нормальном распределении X и Y с использованием критерия 2 Пирсона на уровне значимости

0,05.

Задача №5. При условии нормального распределения и

доверительной		вероятности	pд 0,95	построить	доверительные
интервалы	для	математических ожиданий X и			Y генеральной
совокупности.
Задача №6. Исследовать корреляционную связь между X и Y .
Для чего:
а) построить корреляционную таблицу;
б)	определить		оценки	числовых	характеристик

корреляционной связи (выборочную ковариацию, выборочный коэффициент корреляции, выборочное корреляционное отношение); в) определить параметры и вывести формулу уравнений регрессии. Дать геометрическую интерпретацию этих уравнений

(начертить график).

Варианты заданий

В вариантах заданий приведены экспериментальные исследования-измерения двух случайных величин, имеющих корреляционную связь.

					ВАРИАНТ 1
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

0,57	23	0,83	37	0,58	21	0,75	33	0,71	54	1,10	60
0,73	51	0,61	34	1,05	68	0,92	55	0,58	29	0,81	42
0,88	31	0,91	53	0,83	43	0,59	30	0,72	35	0,90	31
0,61	21	0,82	24	0,93	60	0,82	45	0,32	23	0,69	60
0,56	32	0,76	40	0,70	25	0,73	33	0,85	44	0,90	42
0,88	55	0,38	43	1,06	70	0,89	33	0,80	42	0,95	40
0,78	50	0,63	20	0,82	44	0,94	53	0,71	33	0,60	20
0,77	40	0,98	54	0,96	26	0,95	52	0,92	51	0,80	46
0,86	52	0,79	50	0,69	51	0,89	51	0,84	35	0,80	30
0,63	28	0,55	20	0,78	25	0,70	22	0,58	41	0,96	63
0,86	43	0,92	39	0,96	51	0,79	30	0,85	52	0,84	45
0,78	40	0,82	51	0,95	62	1,04	67	0,72	30	1,10	66
0,83	52	0,69	42	0,83	41	0,75	32	1,02	35	0,97	60
0,56	15	0,80	25	1,09	55	1,03	43	0,81	42	0,57	28
0,98	46	0,65	32	0,65	29	0,87	39	1,01	64	0,97	45
0,87	43	0,74	38	1,03	63	0,63	38	0,90	42
0,67	27	0,55	26	0,93	34	1,02	70	0,76	31

455

					ВАРИАНТ 2
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

0,67	27	0,55	26	0,58	19	0,75	33	0,71	64	0,87	39
0,87	43	0,74	38	1,05	68	0,92	55	0,58	42	1,03	43
0,98	46	0,83	37	0,83	43	0,59	30	0,72	35	0,75	32
0,56	25	0,61	34	0,93	60	0,82	45	0,62	25	1,04	67
0,83	52	0,65	32	0,70	25	0,73	33	0,85	52	0,79	30
0,78	40	0,80	25	1,06	70	0,89	33	0,80	41	0,70	22
0,86	43	0,91	53	0,82	44	0,94	53	0,71	35	0,89	51
0,63	28	0,82	24	0,96	26	0,95	52	0,92	51	0,95	52
0,85	52	0,69	42	0,69	51	0,89	51	0,84	33	0,94	53
0,77	40	0,82	51	0,78	28	0,70	22	0,58	42	0,89	43
0,73	50	0,76	40	0,96	51	0,79	30	0,85	44	0,73	33
1,08	50	0,88	42	0,95	62	1,04	67	0,72	23	0,82	45
0,56	32	0,92	33	0,83	41	0,75	32	1,02	30	0,59	30
0,61	21	0,55	16	1,09	55	1,03	43	0,81	39	0,92	55
0,88	31	0,63	20	0,65	29	0,87	39	1,01	54	0,75	33
0,73	51	0,98	54	1,03	63	0,63	38	0,90	70
0,57	23	0,79	50	0,93	34	1,02	70	0,76	38

					ВАРИАНТ 3
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

15	53	22	37	17	41	24	29	32	11	20	50
24	16	16	45	20	39	26	15	21	38	18	51
21	30	22	39	22	21	18	31	19	34	22	22
20	44	21	38	9	68	20	41	22	42	20	23
25	23	19	29	20	36	26	36	11	51	22	39
16	38	24	30	23	31	11	37	17	51	31	21
19	40	11	52	19	33	9	60	17	22	15	49
29	30	32	12	25	20	13	48	15	52	22	32
29	20	13	55	13	43	16	38	25	32	21	41
27	20	19	46	19	36	25	15	14	35	15	50
26	14	20	25	19	29	14	47	15	53	22	23
13	38	22	26	4	63	20	27	15	42	22	35
20	27	19	47	33	24	23	20	22	33	25	36
17	42	10	47	28	23	15	33	20	34	13	48
21	36	31	21	22	26	15	58	16	43	14	27
13	50	16	42	18	37	18	29	24	32
16	44	26	39	17	34	19	28	20	29
					456

					ВАРИАНТ 4
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

19	36	12	44	21	23	18	24	23	17	16	37
16	39	10	28	17	24	15	27	15	34	15	32
20	26	16	28	16	38	17	40	15	47	19	33
26	19	16	28	18	31	17	20	15	43	12	55
10	50	18	31	19	28	17	32	10	48	16	36
15	36	21	24	21	26	18	29	19	20	15	47
20	40	19	34	13	27	8	36	18	23	19	45
8	42	19	29	12	43	12	44	20	26	25	31
16	13	15	40	22	8	9	38	25	19	17	23
13	33	23	31	12	38	14	41	19	37	24	20
21	29	16	39	10	44	15	19	15	34	13	48
14	35	19	29	15	28	20	33	13	36	20	33
15	18	14	33	13	40	14	29	12	31	14	35
17	40	13	42	12	52	15	46	19	34	15	40
22	35	9	47	23	27	7	48	19	28	15	42
19	34	9	56	18	23	18	25	17	25
22	35	8	47	19	24	15	35	14	31

					ВАРИАНТ 5
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

21,1	76	16,7	75	18,9	72	14,7	99	18,9	41	20,9	61
9,5	85	25,8	114	15,0	48	25,5	62	23,6	60	32,2	60
24,9	87	25,7	80	22,5	65	16,1	79	15,6	99	20,5	76
21,9	70	18,2	77	15,2	63	16,8	67	21,4	64	19,9	90
14,3	44	27,7	66	18,3	69	15,6	53	15,0	60	25,5	73
10,2	51	23,8	59	13,2	80	8,8	53	15,8	81	19,5	66
14,8	48	22,4	83	19,4	66	23,0	81	23,1	78	16,5	74
16,5	67	20,2	49	20,2	65	29,1	73	24,7	50	19,7	56
24,6	31	20,9	88	25,1	45	13,4	64	10,1	69	13,6	68
18,3	76	17,9	99	18,9	57	23,0	72	12,1	82	27,5	55
16,8	77	23,6	68	31,2	83	23,3	103	7,5	80	14,3	42
28,0	62	4,6	85	15,5	111	11,0	87	25,6	73	17,7	75
21,0	79	21,9	53	21,7	112	12,5	83	18,4	57	19,4	66
17,4	79	15,6	101	10,9	77	23,8	73	30,6	58	25,0	64
15,0	71	15,0	68	23,6	49	26,1	72	18,0	87	21,3	51
20,8	82	20,0	60	18,1	92	21,5	75	26,7	76
20,1	63	17,7	85	15,6	72	24,5	48	12,4	95

457

					ВАРИАНТ 6
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

60	37	55	50	50	41	44	51	47	34	34	68
35	71	47	50	68	44	78	38	30	58	39	80
45	63	39	36	53	41	44	41	50	58	62	35
67	25	45	83	54	42	56	46	35	59	53	37
39	57	47	26	34	50	43	57	44	61	47	48
49	37	57	19	60	40	50	55	41	40	36	57
63	50	47	69	74	40	57	36	52	59	61	43
55	55	50	54	53	28	28	60	52	33	48	59
46	33	40	65	61	43	59	45	46	65	50	24
39	58	45	34	48	41	47	73	80	20	61	49
40	62	52	47	48	49	56	51	60	60	62	59
40	48	30	43	75	36	31	72	40	60	36	68
59	41	36	63	64	45	25	67	40	54	75	18
51	43	40	80	45	41	42	54	50	52	52	39
43	66	53	45	44	62	74	47	46	36	70	32
60	25	52	49	71	20	34	46	49	49
61	25	37	55	65	34	57	24	66	44

					ВАРИАНТ 7
х	у	х	у	х	у	х	у	х	у	х	у

20,0	50	20,5	45	21,0	33	22,0	85	21,5	50	21,0	50
21,5	44	21,0	47	21,5	61	21,0	51	21,0	65	21,0	61
20,0	26	19,5	30	22,0	72	22,5	75	21,0	72	21,5	78
20,0	46	22,0	65	21,0	52	21,5	58	21,0	59	21,5	55
19,0	29	20,5	28	21,5	53	21,0	70	21,0	62	20,0	40
19,0	27	20,5	42	21,0	43	21,5	46	21,0	43	22,5	42
22,5	63	20,5	63	23,0	74	23,0	90	20,0	50	18,0	26
22,5	75	20,5	40	21,5	56	24,0	37	20,0	25	25,0	91
21,0	55	21,5	53	21,0	56	21,5	54	19,0	35	22,5	78
24,5	85	24,5	93	22,5	52	22,0	55	21,0	69	22,5	83
21,0	63	21,5	65	20,5	53	23,5	85	20,5	31	18,5	37
23,5	87	19,0	30	21,5	53	21,0	54	21,0	55	21,5	58
22,0	61	20,5	48	22,0	72	23,0	80	18,5	33	20,5	27
19,5	40	22,5	74	21,5	60	21,0	57	19,5	26	21,5	60
21,5	59	21,0	60	20,0	50	21,5	70	22,5	61	20,5	41
22,0	48	19,5	26	21,0	68	23,0	84	20,0	32	23,5	82
19,5	40	20,0	52	20,5	60	22,5	64

458

<<< < Предыдущая 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 4546 / 4846 47 48 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf