Математика Сизов 2011

24.Теория вероятностей

24.1.Краткие сведения из теории

24.1.1. Основные положения

Теория вероятностей – наука, изучающая закономерности в случайных событиях (явлениях),т.е. таких событиях, которые могут произойти или не произойти в неизменных условиях. Теория вероятностей исследует не все случайные события, а только те, которые обладают двумя признаками: массовостью и устойчивостью. Эти признаки неразрывно связаны друг с другом. Массовость предполагает наличие большого количества однородных опытов. Устойчивость проявляется в стабильности частоты (частости) случайного события в этом большом количестве однородных опытов.

Устанавливаемые теорией вероятностей закономерности не обязательно отражают причинно-следственные связи процессов и явлений. Поэтому теоретико-вероятностными выводами нельзя подменять исследования конкретных наук.

Из достаточно большого количества понятий и определений в теории вероятностей, которые должен изучить студент по рекомендованным учебникам и учебным пособиям, остановимся на важнейшем – вероятность случайного события – как мера возможности наступления события.

Если A –случайное событие, то p(A) –вероятность случайного события. Для достоверного события p(A)=1, для невозможного события p(A)=0. Это значит 0≤ p(A)≤1.

Общей формулы определения вероятности случайного события нет, но в зависимости от условий существует три способа ее вычисления.

Способ 1 – классическая формула определения вероятности

Формула (24.1) применяется для узкого круга задач, когда количество всех возможных попарно несовместных, равновозможных событий ограничено (их можно посчитать). Формулу применяют «априори» (до опыта).

В формуле (24.1):

N – общее число всех случаев (исходов),

M – число случаев (исходов), благоприятных событию A. Например, в партии из n=50 изделий имеется m=7 бракованных.

Вероятность случайно выбрать бракованное изделие p(A)= 507 .

402

Применение формулы (24.1) достаточно часто связано с использованием комбинаторики – раздела дискретной математики, изучающего различные комбинации групп элементов конечного множества.

Перечислим основные типы комбинаций.

Перестановки Pm – всевозможные множества, содержащие m различных элементов. Иными словами – это всевозможные группы из

Размещения Amn –всевозможные подмножества, содержащие n

элементов, составленные из m элементов основного множества (n≤ m). Количество размещений равно:

Сочетания Cmn неупорядоченные подмножества, содержащие по n элементов, составленные из m элементов основного множества. Иными словами – это группы, содержащие n элементов из m элементов основного множества, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Количество сочетаний равно:

Способ 2 – статистический. Вероятность определяется «апостериори» (после опыта), как среднее значение частоты события за большое количество опытов.

Способ 3 – геометрический, являющийся геометрической интерпретацией способа 1. При этом в формулу (24.1) подставляются линейные, плоскостные или объемные величины в зависимости от геометрической модели решаемой задачи.

24.1.2. Алгебра случайных событий и их вероятностей

Событие C=A+B называется суммой событий A и B , если оно заключается в том, что происходит или событие A ,или событие B , или оба вместе.

Событие D=AB называется произведением событий A и B

,если оно заключается в том, что происходит и событие A и событие B одновременно.

Алгебра вероятностей случайных событий: P(A+B)=P(A)+P(B)-для несовместных событий;

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)-в общем случае;

403

P(AB)=P(A)P(B)-для независимых событий;

P(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B)-для зависимых событий, где условная вероятность P(B/A)-есть вероятность события B при условии, что A произошло; P(A/B)-есть вероятность события A при условии, что B произошло.

P(A)=1-P( A ), или p=1-q,где P(A)=p-вероятность события A,

P( A )=q-вероятность противоположного события A .

Если событие A происходит при условии, что имеет место одно из попарнонесовместных событий H1, H2,…,Hn, называемых гипотезами и образующих полную группу событий ( одно, любое из событий обязательно произойдет), то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности:

n

P(A)=P(H1)P(A/H1)+P(H2)P(A/H2)+···+P(Hn)P(A/Hn)= P Hi P AHi . (24.5)

i 1

Если в перечисленных условиях событие A произошло, то по

i 1

24.1.3. Последовательные испытания

Если при проведении n независимых испытаний событие A может появиться с одной и той же вероятностью p и не появиться с вероятностью q , то вероятность того , что событие A из n испытаний появится ровно k раз определяется по формуле Бернулли:

локальная формула Муавра-Лапласа (при больших n формулу Бернулли использовать практически невозможно).

404

приложение, таблица 1).

Для вычисления P k1 k k2 используют интегральную формулу Муавра-Лапласа:

Pn k1 k k2 ,

(см. приложение, табл.2).

При условии n>30, p 0,1 (точнее np 10 ) применяется формула Пуассона ( формула малых вероятностей):

Функция k e табулирована (см. приложение, таблица 4). k!

24.1.4. Случайные величины и их законы распределения

Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение заранее не известное. Обозначают случайные величины: X,Y,Z ,V и др. Случайные величины бывают двух видов.

Дискретная случайная величина (ДСВ) – величина, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения. Например, число выпавших очков игрального кубика.

Непрерывная случайная величина (НСВ) – величина, значения которой нельзя отделить друг от друга. Например, время наработки на отказ какого-либо устройства.

Случайные величины (СВ) характеризуются законом распределения, устанавливающим связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения может задаваться формулами, таблицами и графиками.

Существует три вида закона распределения СВ.

Для ДСВ – ряд распределения и функция распределения.

Для НСВ – функция распределения и плотность распределения. Ряд распределения ДСВ – таблица, в которой перечислены все возможные значения ДСВ и соответствующие им вероятности.

405

Свойство ряда распределения – сумма всех вероятностей равна единице.

Функция распределения ДСВ и НСВ – вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше, чем x. Обозначается –

F(x).

F(x) = P X x .

Плотность распределения НСВ – есть производная функции распределения в точке x. Обозначается – f(x).

f(x)=F (x)= lim F x x F x .

x 0 x

Отметим два важных свойства плотности распределения.

1. f x dx 1.

2. Вероятность попадания НСВ X в интервал между a и b равна:

b

P{a X b} f (x)dx .

a

Остальные свойства всех видов законов распределения СВ нужно усвоить по рекомендованной литературе.

На практике для ДСВ в качестве закона распределения пользуются рядом распределения (соответствующие законы приведены ниже). Переход от ряда распределения к функции распределения рассмотрен также ниже. Для НСВ в качестве закона распределения пользуются плотностью распределения, а переход к функции распределения можно произвести по формуле:

x

F x f x dx .

24.1.5. Числовые характеристики СВ

Законы распределения СВ полностью характеризуют их, но на практике они громоздки и очень часто информативно избыточны. Нужно иметь существенную, но краткую информацию об СВ. Для этого служат числовые характеристики СВ.

Из достаточно большого разнообразия числовых характеристик, которые изложены в литературе, отметим только три.

Математическое ожидание (МОЖ) есть неслучайная,

детерминированная величина (число), определяемая по формулам:

где xi – значения СВ,

pi –соответствующие этим значениям вероятности,

406

n – количество СВ.

Для НСВ: mx M X xf x dx .

МОЖ есть вычисленное среднее значение СВ, вокруг которого разбросаны сами значения СВ. Единицы измерения МОЖ совпадают с единицами СВ.

Свойства МОЖ:

1. Если C – const, то M C C , в частности M M X M X .

2. M CX CM X .

3. M X C M X C , в частности M x M X 0. 4. M X Y M X M Y .

5. M XY M X M Y , если X,Y- независимые СВ.

Дисперсия СВ – есть детерминированная величина, равная математическому ожиданию квадрата случайного отклонения СВ от его МОЖ. и определяемая по формуле:

D X M x M X 2 , или D X M X 2 M 2 X .

n

Для ДСВ: D X xi M X 2 pi , или

i 1

n

D X xi2 pi M 2 X .

i 1

Для НСВ: D X x M X 2 f x dx , или

D X x2 f x dx M 2 X .

Дисперсия СВ определяет разброс (рассеяние) значений СВ от МОЖ в среднем.

Свойства дисперсии СВ.

1.Если C – const , тоD C 0 .

2.D CX C 2 D X .

3.D X C D X .

4.D X Y D X D Y , если X,Y – независимые СВ.

Единицы измерения дисперсии СВ являются квадраты единиц измерения самой СВ (кг2,А2 и т.д.). Этот недостаток устраняет следующая числовая характеристика СВ.

407

Свойства СКО: 1. x 0 .

2. cx C x .

3. x y x2 y2 .

4. x nx – среднеквадратическое отклонение

среднеарифметического ( x ) в n раз меньше среднеквадратического отклонения СВ.

24.1.6. Частные законы распределения СВ

Взависимости от различных условий существует достаточно большое количество законов распределения СВ. Остановимся только на пяти из них(два для ДСВ и три для НСВ).

Если при n последовательных испытаний в условиях формулы Бернулли случайной величиной X является число наступления события A , то она распределена по биномиальному закону и имеет ряд распределения:

бином Ньютона, поэтому закон называется биномиальным. Числовые характеристики СВ, распределенной по

биномиальному закону:

M X np, D X npq, x npq .

Если при n последовательных испытаний в условиях формулы Пуассона случайной величиной X является число наступления события A, то она распределена по закону Пуассона и имеет ряд распределения: