Математика Сизов 2011

относительных частот fi phi .

Полигон частот – строится для дискретных и интервальных рядов и является ломанной, соединяющей последовательно точки с

координатами xi , mi или xi , mi . В последнем случае (для интервальных рядов) добавляют две точки с нулевыми ординатами, лежащими на расстоянии одного интервала: слева до x1 , справа за xk .

Полигон относительных частот – ломанная, соединяющая последовательно точки xi , pi или xi , pi .

Полигон плотности относительных частот –ломанная,

соединяющая последовательно точки xi , fi или xi , fi .

Для интервальных рядов во всех полигонах добавляются две точки с нулевыми ординатами, лежащими на расстоянии одного

интервала: первая точка до x1 , вторая – за xk .

Гистограмма частот – строится только для интервальных рядов и представляет ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы h, а

высоты – плотность частоты mhi .

Площадь гистограммы частот равна сумме всех частот,т.е. объему выборки n.

Гистограмма относительных частот- ступенчатая фигура,

плотностями относительных частот. Площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

Кумулята – график частот нарастающим итогом. Для ее построения предварительно рассчитывают для каждой варианты значения υi частоты нарастающим итогом по формулам:

1 m1, 2 1 m2 , 3 2 m3 ,..., k n.

25.1.4. Точечные оценки

Согласно идее выборочного метода вычисленные при обработке числовые характеристики выборки, называемые

статическими характеристиками, могут приближенно оценивать истинные значения числовых характеристик генеральной совокупности или являться их оценками. При этом оценка неизвестного параметра генеральной совокупности выражается одним

429

числом, поэтому она называется точечной оценкой и часто

x точечная оценка среднеквадратического значения. Числовые характеристики генеральной совокупности являются

постоянными, детерминированными числами, а их точечные оценки случайными величинами, т.к. сама выборка формируется случайным образом.

Поэтому к точечным оценкам предъявляются следующие требования:

-состоятельность- заключается в приближении точечной оценки к истинному значению величины при увеличении объема выборки n ;

-несмещенность- математическое ожидание точечной оценки должно быть равно оцениваемой величине;

-эффективность- дисперсия точечной оценки должна быть минимальной.

Ниже приведены расчетные формулы для точечных оценок

M X , D X , x .

M X mx x 1 r xi mi для дискретного ряда,

n i 1

где r –число вариант, mi –частота i-той варианты.

M X mx x 1 k xi mi для интервального ряда,

n i 1

где k-число интервалов, mi –количество вариант в i-том интервале.

интервального ряда.

Формулы для дисперсии применяются при условии n >30. Если n 30, то для обеспечения несмещенности оценки

дисперсии в указанных формулах вместо множителя 1n нужно применять множитель n1 1.

430

25.1.5. Интервальные оценки

Точечные оценки числовых характеристик генеральной совокупности не являются точными, особенно при малом объеме выборки n, к тому же все они являются случайными величинами.

Поэтому точечные оценки нужно «уточнять». Для этой цели применяют интервальные оценки, которые определяются двумя параметрами (характеристиками): доверительным интервалом и доверительной вероятностью.

Доверительный интервал характеризует точность оценки, а доверительная вероятность – ее надежность.

Доверительная вероятность задается исследователем самостоятельно, исходя из требований стандарта (ГОСТ 8.207-76), который предусматривает следующие значения доверительных вероятностей pд :

pд 0,95 в обычных случаях (измерениях);

pд 0,99 в измерениях, которые повторить нельзя;

pд 0,9999 в измерениях, связанных со здоровьем людей.

Пусть H -числовая характеристика генеральной совокупности – истинное значение величины (это может быть МОЖ

точностью статистической оценки, а сам доверительный интервал есть интервал h , h .

Теперь уместно поставить вопрос о вероятности нахождения истинного значения величины H в интервале h , h . Это и будет

доверительная вероятность, задаваемая исследователем:

pд p h H h p H h .

Отличие существует только в постановке вопроса: если обычно определяют вероятность нахождения случайной величины в

431

интервале, ограниченном числами – детерминированными величинами, то теперь определяют вероятность нахождения

Сущность и определение доверительной информации не изменились. Чтобы найти доверительный интервал для истинного значения H по заданной доверительной вероятности и высчитанной точечной оценке h , нужно знать закон распределения случайной

величины h.

Рассмотрим наиболее востребованные примеры.

Пример 1. По доверительной вероятности pд определить доверительный интервал для МОЖ генеральной совокупности M X ,

если оценка МОЖ mx распределена по нормальному закону с известным среднеквадратическим отклонением x n , где n –объем

выборки, x - известное истинное значение среднеквадратического

отклонения вариант генеральной совокупности.

Решение. Согласно формулы (24.11) вероятности попадания нормально распределенной СВ в симметричный интервал имеем:

Пример 2. По доверительной вероятности pд определить доверительный интервал для МОЖ генеральной совокупности M X , если оценка МОЖ mx распределена по нормальному закону, а значение среднеквадратического отклонения nx для оценки МОЖ

неизвестно.

нужно использовать его оценку по выборочным данным:

При этом среднеквадратическое отклонение будет не вполне достоверным, что должно сказаться на расширении доверительного

432

интервала. Это обстоятельство учитывают с помощью замены нормального распределения mx на распределение Стъюдента.

Расчетные формулы имеют вид:

из-за его отсутствия пренебрегают и тогда пример 2 решают по методике примера 1. При этом за истинное значение x берут его

оценку x .

25.1.6. Элементы дисперсионного анализа

Вряде случаев истинные значения параметров какого-либо числового признака генеральной совокупности, определяемые по точечным и интервальным оценкам, не удовлетворяют исследователя. Нужны более полные сведения о числовом признаке, который меняется от элемента к элементу случайным образом и поэтому является случайной величиной. Возникает необходимость определить закон распределения числового признака (закон распределения вариант).

Всвязи с этим возникают две основные задачи дисперсионного

анализа:

1. Вывести конкретный вид закона распределения значений признака в генеральной совокупности по данным выборки.

2. Выяснить, насколько согласуется распределение выборочных данных с предположением (гипотезой) о распределении значений признака в генеральной совокупности по выведенному в п.1. закону распределения, т. е. установить, насколько состоятельна гипотеза.

Чтобы решить задачи дисперсионного анализа необходимо выполнить следующие этапы исследований.

1. Построение эмпирической кривой распределения.

Для этого по данным интервального ряда строят гистограмму относительных частот. Проведя плавную кривую по средним точкам верхних оснований прямоугольников, получают эмпирическую

433

кривую распределения, по которой можно составить примерное представление о виде плотности распределения признака.

2. Определение параметров эмпирического распределения. Такими параметрами являются точечные оценки параметров

генеральной совокупности, рассчитанные по выборке по известным формулам.

3. Выбор теоретического закона распределения для эмпирического распределения.

Из большого количества существующих законов распределения нужно выбрать такой, чтобы он наилучшим образом представлял эмпирическую кривую. При этом надо учитывать вид эмпирической кривой распределения , значения параметров эмпирического распределения, степень точности произведенных наблюдений, физический смысл решаемой задачи, условия и признаки , при которых следует ожидать появление того или иного закона распределения.

Результат выбора – аналитическое выражение (формула) кривой распределения.

4.Выравнивание эмпирического распределения по гипотетическим теоретическим кривым.

Выравниванием (сглаживанием) эмпирического распределения называется подбор теоретической кривой распределения так, чтобы она выражала существенные черты статистического материала,

функции должны быть равны соответствующим оценкам.

5. Проверка о виде закона распределения.

После выполнения четырех этапов исследования выдвигается основная нулевая гипотеза H0 : генеральная совокупность

Для поверки гипотезы H0 нужно выбрать критерий проверки

или критерий согласия. Таких критериев достаточно много. Наиболее распространены критерии 2 Пирсона, Колмогорова, 2 .

Рассмотрим только критерий 2 Пирсона.

В этом критерии сравниваются эмпирические (наблюдаемые, опытные) частоты mi и теоретические частоты mi0 , вычисленные в

предположении какого-либо закона.

Частоты mi находятся из выборки. Это есть число вариант, попавших в i-й интервал интервального вариационного ряда.

434

Частоты mi0 есть частоты, попадающие в те же интервалы, но

они находятся по формулам соответствующих предполагаемых законов распределения.

Например, если предполагаемый закон нормальный, то

гипотезы, а только устанавливает на принятом уровне значимости

еесогласие или несогласие с данными наблюдений.

Вкачестве критерия согласия принимают случайную величину

Чем меньше разность эмпирических mi и теоретических mi0 частот, тем меньше критерий 2 Пирсона, тем ближе эмпирический

закон распределения к теоретическому.

По данным выборки находят эмпирические и теоретические частоты и вычисляют наблюдаемое значение критерия:

В случае малого объема выборки следует сливать интервалы, имеющие малые частоты так, чтобы в каждом интервале суммарная

k число интервалов с учетом укрупнения,

q число параметров предполагаемого закона распределения (для нормального закона q 2, т.к. закон имеет два параметра mx и ).

Для критерия 2 Пирсона уровень значимости, при котором гипотеза может считаться истинной, составляет 0,05.

Для уровня значимости , числу степеней свободы r по таблице распределения 2 (таблица 3 приложения) находят

критическое значение кр2 .

Если набл2 кр2 гипотеза H0 принимается.

435

Если набл2 кр2 гипотеза H0 отвергается.

25.1.7. Элементы теории корреляции

При изучении систем случайных величин X и Y возникает

когда каждому значению одной величины соответствует точное значение другой.

Эта связь может быть статистической, когда кроме однозначной функциональной связи между величинами существует связь, зависящая от случайных факторов. В этом случае изменение одной величины влечет за собой изменение распределения другой.

уравнения регрессии x на y .

Обратим внимание, что слева стоят условные МОЖ одной величины при условии другой.

Функции f x и g y могут иметь различный вид: линейный,

параболический, кубический, логарифмический, экспоненциальный и др. Уравнения регрессии определяют вид корреляционной связи.

Существуют числовые характеристики системы СВ, характеризующие тесноту их статистической связи.

Ковариация (корреляционный момент) kxy двух случайных

величин есть математическое ожидание произведения их случайных отклонений:

kxy M X mx Y my M XY M X M Y .

ковариации СВ самой на себя.

Ковариация характеризует степень линейной зависимости случайных величин между собой и их рассеяние вокруг точки mx , my .

Единицы измерения ковариации есть произведение единиц измерения X и Y , что весьма неудобно.

436

Для устранения последнего недостатка применяют

может иметь место, но эта связь не будет линейной.

Для определения степени любой корреляционной связи между

X и Y применяют корреляционное отношение yx .

Случайные изменения значений величины Y определяются двумя факторами: с одной стороны – изменениями средних значений Y при изменениях значений случайной величины X (корреляционная связь), с другой стороны – случайным изменением (случайным рассеянием) Y вокруг своего МОЖ при каждом фиксированном X .

Первый фактор можно охарактеризовать межгрупповым среднеквадратическим отклонением y x рассеянием групповой

средней yx относительно математического ожидания Y в зависимости

от изменения X . При каждом значении X формируется своя группа случайных значений Y со своим среднегрупповым значением yx . Эти

среднегрупповые случайным образом изменяются от группы к группе (при изменении X ), т.е. рассеяны относительно my .

растет и yx .

При 100%-й (функциональной) связи между X и Y стохастические (случайные) свойства Y будут сохраняться неизменными в каждой группе при любых значениях X в том числе и при любом фиксированном X . Иначе говоря, при функциональной связи между X и Y «случайность» Y определяется только вторым фактором, который характеризуется общим среднеквадратическим отклонением y , т.е. yx y .

437

Втаблицу переносят интервальные вариационные ряды для X

иY со своими серединами интервалов. Заполняется таблица

частотами mij количество одновременно попавших вариант по X в

i й интервал и по Y в j й интервал. Эти частоты определяются при

анализе исходного массива пар XY (выборка, содержащая попарно два вида вариант X и Y объемом n ).

Справа от таблицы приведены подготовительные формулы для определения оценки межгруппового среднеквадратического отклонения.

438