Математика Сизов 2011

Числовые характеристики СВ, распределенной по закону Пуассона:

M X D X np; x np.

Распределением Пуассона описывается простейший поток случайных однородных событий.

Непрерывная СВ имеет равномерное распределение на отрезке

Такое распределение имеют ошибки измерения стрелочным прибором, когда за результат измерения берется ближайшее целое деление шкалы. Таким же образом распределены ошибки округления данных при расчете на калькуляторах и компьютерах.

Непрерывная СВ имеет показательное распределение, если

Марковских процессов, теории массового обслуживания и теории надежности – существенных разделах прикладной теории вероятности.

Непрерывная СВ с математическим ожиданием mx , среднеквадратическим отклонением σ имеет нормальное распределение, если

табулированная функция (приложение таблица 2).

409

Тогда X mx 3 1 2 3 0, 0027.

Имеем «правило 3 »: для нормально распределенной СВ только 3 значения СВ из 1000 могут « выйти» из интервала

mx 3 , mx 3 .

СВ распределена по нормальному закону, если причиной «случайности» является результирующее воздействие большого количества различных, равноценных, случайных, независимых факторов, каждый из которых незначительно влияет на результат воздействия.

Примеры нормально распределенных СВ : ошибки измерения, ошибки артиллерийской и ракетной стрельбы, ошибки вывода космического аппарата в заданную точку пространства, «дробовой» эффект, «тепловой» шум и др.

24.1.7. Закон больших чисел

Под «законом» больших чисел понимают ряд математических теорем , доказывающих устойчивость массовых случайных явлений, относящихся к стремлению частоты случайного события к вероятности этого события, среднего арифметического значения к математическому ожиданию СВ, закона распределения суммы независимых СВ, имеющих одинаковые распределения, матожидания и дисперсии, к нормальному закону.

Доказательство этих теорем опирается на неравенство Чебышева, которое является для них леммой.

Первая форма неравенства Чебышева:

p X mx D X .

2

410

Вероятность отклонения СВ от ее математического ожидания превзойдет по абсолютной величине положительное число ά не более отношения дисперсии СВ к квадрату ά.

Это форма вероятности больших отклонений.

Для оценки вероятности малых отклонений применяется вторая форма неравенства Чебышева:

24.2. Решение типовых заданий

24.2.1. Задание 1

Три линии выпускают одно и то же изделие так, что на первой линии выпускается 65% общего объема выпуска, на второй – 20%, на третьей – 15%. Вероятность брака в изделии составляет: 0,0025 – для первой линии, 0,006 – для второй, 0,007 – для третьей. Все изделия поступают на склад готовой продукции.

Далее следуют 11 задач, каждое из которых будем решать отдельно. Каждый ответ нужно прокомментировать.

Предварительное замечание.

Условие задачи можно сформулировать следующим образом. Имеются следующие гипотезы случайного события:

H1 – изделие изготовлено на I линии;

H2 – изделие изготовлено на II линии;

H3 – изделие изготовлено на III линии. Тогда вероятности гипотез равны:

p H1 0,65; p H2 0, 2; p H3 0,15.

Случайное событие A –изготовлено бракованное изделие. Вероятность брака в изделии, если известно, на какой линии оно

изготовлено, есть условные вероятности:

p A H1 0, 0025; p A H2 0, 006; p A H3 0, 007.

Задача 1. Составлена партия из 12 изделий, в которой 8 изготовлено на I линии. Из этой партии отбирается произвольно 5 изделий. Какова вероятность p1 того, что в числе отобранных окажется ровно 3 изделия, изготовленных на I линии?

Решение. Воспользуемся «классической» формулой определения вероятности: p1 mn , где n – общее число всех исходов, m – число исходов, благоприятных требованиям к отбору.

411

n C125 – различные группы по 5 изделий, отличающиеся хотя

бы одним любым изделием, сформированные из партии в 12 изделий, есть сочетания из 12 по 5.

m C83C42 .

Согласно условию задачи в партии из 5 отобранных изделий должно находиться 3 изделия, изготовленных на I линии. Всего изделий I линии равно 8. Количество вариантов отбора 3-х изделий из

8 равно количеству сочетаний из8 по 3, т. е. C83 . Остальные 2 изделия

изготовлены на других линиях. Всего в партии из 12 изделий таких изделий будет 4 (12-8=4). На каждую группу изделий, содержащих 5 штук, из которых 3 конкретных изделия изготовлены на I линии, можно подобрать столько групп, содержащих по 2 изделия других

линий, сколько находится сочетаний из 4 по 2. т.е. C42 . Т.о. число исходов, благоприятных требованиям к отбору равно произведению

соответствующих сочетаний, т. е. C83C42 .

несовместных событий, поэтому применима формула полной вероятности:

полная группа несовместных гипотез. Значит, для решения задачи применима формула Байеса.

412

вероятность p4 того, что среди них будет не менее пяти изделий, изготовленных на второй линии?

изделий, отпущенных со склада, ровно 35 изготовлены на II линии? Решение. В данном случае имеет место схема последовательных

испытаний p5 p150 35 при условии:

n 150, k 35, p p H2 0, 2,q 1 p 0,8,npq 150 0,2 0,8 24 15.

При этих условиях формула Бернулли неэффективна. Вместо нее применяют локальную формулу Муавра-Лапласа:

изделий, отпущенных со склада, количество изделий, изготовленных

В нашем случае:

изделий число бракованных не превзойдет 3?

Решение. Вероятность брака в каждом из изделий, находящихся на складе, равна p=p2=0,0038 (см. задачу 2). В соответствии со схемой последовательных испытаний p7=p1000(k≤3).

Событие k≤3 –число бракованных изделий не превзойдет 3 – является событием, когда бракованных изделий нет совсем k=0 ,или

При n=1000, p=0,0038, np=3,8<10 применяем формулу Пуассона:

pn k kk! e , где λ=np.

414

Эти вероятности можно определить в приложении по таблице 4 значений функции Пуассона при λ=3,8.

p1000 0 0, 6844; p1000 1 0, 2589; p1000 2 0, 0495; p1000 3 0, 0064.

p7 0, 6844 0, 2589 0, 0495 0, 0064 0, 9992.

Ответ: с вероятностью p7=0,9992 в партии из тысячи деталей будут не более трех бракованных.

Продолжение условия. Из изделий, имеющихся на складе, формируются две выборки по следующему правилу: сначала произвольно отбираются изделия по одному до тех пор, пока не появится изделие, изготовленное на первой линии, или количество отобранных деталей не достигнет четырех. Затем таким же образом формируется вторая выборка, но вместо изделий первой линии фигурируют изделия второй линии. Обозначим через X,Y,Z случайные величины, равные количеству изделий в первой и во второй выборках и суммарное количество в обеих.

Задача 8. Построить ряды распределения случайных величин

X,Y,Z.

Решение 8.1. Построим ряд распределения случайной величины

X.

По условию, X принимает значение x1=1, если первая отобранная деталь изготовлена на I линии. СВ X принимает значение x2=2, если при последовательном отборе деталей первая деталь изготовлена не на I линии, а вторая изготовлена на I линии. СВ X

415

Решение 8.2. Для случайной величины Y вычисления аналогичны, только событие H1 меняется на событие H2.

y1 1; p1 p H2 0, 2.

z1 2, z2 3, z3 4, z4 5, z5 6, z6 7, z7 8.

Событие z1=2 наступает, когда и x=1 и y=1. Значит : p1 p z1 2 p x 1 p y 1 0, 65 0, 2 0,13.

Событие z2=3 наступает, когда и x=1 и y=2, или x=2 и y=1. Значит:

p2 p z2 3 p x 1 p y 2 p x 2 p y 1 0,65 0,16 0,227 0,20,1494.

Событие z3=4 наступает, когда и x=1 и y=3, или и x=2 и y=2, или и x=3 и y=1. Значит:

p3 p z3 4 p x 1 p y 3 p x 2 p y 2 p x 3 p y 1

0,65 0,128 0,227 0,16 0,079 0, 2 0,135.

p4 p z4 5 p x 1 p y 4 p x 2 p y 3 p x 3 p y 2

p x 4 p y 1 0,65 0,512 0,227 0,128 0,079 0,16 0,044 0,2 0,383.

Событие z5=6 наступает, когда и x=2 и y=4, или x=3 и y=3, или x=4 и y=2. Значит:

p5 p z5 6 p x 2 p y 4 p x 3 p y 3 p x 4 p y 2

0,227 0,512 0,079 0,128 0,044 0,16 0,133.

Событие z6=7 наступает, когда и x=3 и y=4, или и x=4 и y=3. Значит:

416

p6 p z6 7 p x 3 p y 4 p x 4 p y 3

0,079 0,512 0,044 0,128 0,046.

событие Z<zi является событием или z1, или z2, или … zi-1, т.е. суммой несовместных событий.

Функция распределения F(zn) в точке zn, где zn – максимально возможное значение СВ Z ,согласно определения является:

F zn p Z zn p z1 p z2 p zn 1 .

Обратим внимание, не смотря на то, что функция распределения определяется в точке zn (последней точке значений СВ), само значение СВ Z=zn и вероятность появления этого значения здесь не учитываются. Значит, должна существовать еще одна точка функции распределения, которая учитывала бы данное обстоятельство.

Не трудно видеть, что в этой предполагаемой точке значение функции распределения становится максимальным и равным единице:

p z1 p z2 p zn 1 (свойство ряда распределения).

Согласно определению обозначить функцию распределения в этом случае можно, как:

F zn 1 p Z zn 1 p z1 p z2 p zn 1,

а еще лучше

F p Z p z1 p z2 p zn 1.

Используя ряд распределения СВ Z , получаем следующие значения функции распределения:

417

Ответ: функция F(z) распределения СВ Z имеет следующий график:

F(z)

1

0,93

0,8

0,7

0,6

0,5

0,414

0,3

0,2

0,1

Рисунок 24.1

418