Математика Сизов 2011

максимумом целевой функции max F .

Этот пример показывает, что общепринятая постановка задачи математического программирования, связанная с экстремумами целевой функции min F и max F не всегда корректна. Здесь более уместна постановка задачи на отыскание точек, обеспечивающих наименьшее и наибольшее значение целевой функции F при заданных ограничениях, а не min F и max F .

Таким образом, обе точки N и D, лежащих на соответствующих двух прямых (ОС и АВ), то есть принадлежащих своим соответствующим условиям ограничения, могут быть подвергнуты аналитическим исследованиям с помощью метода множителей Лагранжа.

Остальные прямые и соответствующие им условия (ОА: x1 0 и ВС: 3x1 2x2 24 ), как не имеющие точек касания с параболами-

линиями уровня F , а значит не имеющие условных экстремумов функции F , принимать участие в исследованиях с помощью метода множителей Лагранжа не должны.

На рисунке 21.3 геометрическим методом в трехмерном пространстве решен пример 2 квадратичного программирования. На рис.21.4 геометрическое решение той же задачи на плоскости. Решение задачи есть точка О, где min F 0 и точка С, где max F SC .

Обе точки не являются условными экстремумами, т.к. не являются точками касания проекций линий уровня и прямыхусловий ограничения. Точки О и С находятся геометрически, а min F и max F определяется как задача на определение наибольшего и наименьшего значения функции. Исследовать точки О и С методом множителей Лагранжа нет никакого смысла.

Проводя из точки О окружности разных радиусов с целью

отыскания max F (напомним, что радиус окружностей равен F ), мы имеем три точки касания L, T, N проекцией линий уровня поверхности F (окружностей) с границами области допустимых решений ( стороны АВ, ВС, СА и соответствующие им условия ограничения 3x1 x2 15 , 4x1 7x2 71, 2x1 5x2 7 ). Эти точки касания являются условными экстремумами функции F . В сечении поверхности F плоскостью 3x1 x2 15 имеем параболу, которая в

точке L имеет минимум F равный отрезку KL. При пересечении плоскости 4x1 7x2 71 той же поверхности F имеем в точке T

361

min F , равный отрезку РТ. При сечении поверхности F плоскостью 2x1 5x2 7 имеем в точке N min F , равный отрезку MN.

Но значения всех трех условных экстремумов функции F находятся между наименьшим min F 0 и наибольшим max F SC значениями целевой функции. Поэтому применение метода множителей Лагранжа в данном примере приведет к решению, которое не будет востребовано в данной задаче. Таким образом, здесь остается только геометрический метод решения задачи квадратичного программирования. Аналитический метод, пожалуй, можно свести к задаче определения наибольшего и наименьшего значения функции F в точках О,A, B, C без применения метода множителей Лагранжа.

На рис. 21.5, 21.6 решен пример 3. Результаты решения: точка D

значение min F равное отрезку TD. Этот условный минимум совпадает с минимумом целевой функции нашей задачи.

Обратим внимание, что точка D на рисунке 21.6 была найдена в результате касания окружности с центром (0,5) (проекция линии уровня поверхности F ) с прямой АВ (геометрическая интерпретация одного из ограничений задачи квадратичного программирования). Это дает нам основание включить точку D в аналитическое исследование с помощью множителей Лагранжа.

На рисунке 21.5, 21.6 можно наблюдать точку N (точку касания окружности с центром (0,5) и прямой ВС ) и условный экстремум min F MN . Но не смотря на это, включать точку N в исследования с помощью метода множителей Лагранжа нет смысла, т.к. это решение не будет востребовано: TD MN SC

Система (21.12) является необходимым условием существования локального условного экстремума, но не достаточным

Каждое решение, подозрительное на экстремум, надо проверить с помощью достаточного условия условного экстремума. Его

362

минимум.

Замечание. Если модель (21.7), (21.8) имеет две переменные x1 и x2 , то задачу отыскания точек, подозрительных на условный экстремум можно решить проще. В каждом из условий (21.8) определяют любую переменную, выраженную через другую переменную, и подставляют в целевую функцию F (21.7), преобразуя ее в функцию одной переменной. Дальнейшие исследования этой функции на экстремум приводят к желаемым точкам.

21.2. Решение типовых задач и примеров

Задача 1. Найти значения переменных x1, x2 , при которых

обеспечивается максимум (минимум) целевой функции F при заданных ограничительных условиях.

Задачу решить методами: графическим и методом множителей Лагранжа.

F x2 x12 6x1 ,

при условии

x1 2x2 15,3x1 2x2 24,

x1 0, x2 0.

Графический метод решения.

Строим область допустимых решений, определяемую соотношениями неравенств задачи (рисунок 21.2). Такой областью является четырехугольник ОАВС.

Проекции линий уровня определяются формулой для целевой

произвольное постоянное число. Геометрически получаем семейство парабол, которые в зависимости от значения числа С перемещается параллельно друг другу по прямой x1 3 в направлении оси Ox2 . Чем

больше С, тем выше размещена парабола, тем больше значение целевой функции F и наоборот.

Строим эти линии (параболы) так, чтобы они касались четырехугольника ОАВС. В нашем случае получились две точки касания: точка N ‒ точка касания параболы с отрезком OC и точка D ‒точка касания параболы с отрезком AB. Тогда нижняя парабола (точка N) обеспечит min F , верхняя (точка D) ‒ max F .

Осталось только найти эти точки.

Точка N- вершина параболы, касающаяся прямой x2 0.

363

Для определения точки касания надо решить систему уравнений

Но значение С неизвестно. x2 0- уравнение касательной к

параболе с угловым коэффициентом равным нулю.

Если x2 x1 3 2 C 9- парабола, то x2/ 2 x1 3 - угловой коэффициент всех касательных к параболе в том числе и касательной

x2 0, т.е. 2 x1 3 0 , откуда x1 3. Координаты точки N: x1N 3, x2 N 0 .

Подставляя эти значения в формулу для F , имеем min F 0 32 6 3 9.

Решение задачи методом множителей Лагранжа.

Геометрический метод подсказывает: точки N и D подозрительны на условный экстремум. Последовательно проверим каждую точку.

Для точки N задача условного экстремума формулируется так.

364

их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

Проверим подозрительную на экстремум точку N (3,0), 1 1 с

помощью достаточного условия условного экстремума. Для этого вычислим необходимые частные производные в этой точке и подставим их в определитель третьего порядка.

их к нулю и решаем полученную систему уравнений.

365