изделий I-го вида, b2 изделий II-го вида, b3 изделий III-го вида. Экономия от перевозки груза в вагоне типа А составляет руб., в вагоне типа В – руб.

Сколько вагонов каждого типа следует выделить для перевозки, чтобы суммарная экономия от перевозки груза была наибольшей?

Задачу решить симплекс и геометрическим методом.

331

20.Транспортная задача

20.1.Краткие сведения из теории

Транспортная задача – одна из наиболее распространенных задач линейного программирования, имеющая обширные практические приложения и не только к проблемам транспорта. Ее цель – разработка наиболее рациональных путей и способов перевозок однородного или взаимозаменяемого продукта из пунктов производства в пункты потребления, устранение чрезмерно дальних, встречных и повторных перевозок.

20.1.1. Математическая постановка задачи

Классическая транспортная задача линейного программирования формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов отправления: A1, A2 ,..., Am , в которых

сосредоточены запасы какого-то однородного груза (товара) в количестве соответственно a1 , a2 ,...,am единиц. Кроме того, имеется n

пунктов назначения: B1 , B2 ,..., Bn , подавших заявки на соответственно на b1 , b2 ,..., bn единиц товара.

Предполагается, что сумма всех заявок равна сумме всех запасов:

Известна стоимость cij перевозки единицы товара от каждого пункта отправления Ai до каждого пункта назначения B j . Стоимость перевозок задана матрицей С:

Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз был бы вывезен, все заявки были выполнены, и при этом общая стоимость всех перевозок была минимальна.

При такой постановке задачи показателем эффективности плана перевозок является стоимость, потому поставленную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

332

Дадим задаче математическую формулировку. Обозначим через xij – количество груза, отправляемого от i –го поставщика к j-му

потребителю. Неотрицательные переменные x11 , x12 ,..., xmn должны удовлетворять условиям:

1.Суммарное количество груза, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты назначения, должно быть равно запасу груза в данном пункте.

2.Суммарное количество груза, доставляемое в каждый пункт назначения изо всех пунктов отправления, должно быть равно заявке, поданной данным пунктом.

3.Суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальной.

И тогда под планом задачи подразумевается матрица

Допустимый план, имеющий не более m n 1 отличных от нуля компонентов xij , называется базисным, или опорным.

Тогда математическая постановка транспортной задачи состоит в нахождении неотрицательной матрицы Х, удовлетворяющую условиям

и доставляющую минимум целевой функции

и потребностями отсутствует.

Необходимым и достаточным условием разрешимости транспортной задачи является равенство суммарных запасов суммарным потребностям, т.е.

333

Прежде чем приступить к решению транспортной задачи, необходимо проверить условие (20.1). Если выполняется условие (20.1), то задача называется закрытой. Если же задача с неправильным балансом (открытая), то:

до «фиктивного» потребителя принимаются равными нулю: ci,n 1 0.

типа сводится к транспортной задаче закрытого типа.

Решение транспортной задачи разбивается на два этапа:

1.Определение начального допустимого базисного решения (первого опорного плана)– первоначальный план распределения поставок.

2.Построение последовательных итераций (шагов), улучшающих опорные планы (каждый новый план не должен увеличивать суммарные затраты). Шаги второго этапа проводятся до тех пор, пока не будет найдено оптимальное распределение поставок.

20.1.2. Построение первоначального плана

Начальный и последующие планы заносятся в распределительную таблицу, в которой заранее записываются исходные данные задачи. Таблица с внесенными пунктами

334

поставок xij в середине клетки. При этом клетки, в которые поместим

грузы, называются занятыми, им соответствуют базисные переменные опорного решения. Остальные клетки незанятые, или пустые, им соответствуют свободные переменные.

Рассмотрим два метода построения первого опорного плана. Метод северо–западного угла. В этом методе первой

заполняется клетка с номером (1,1) максимально возможной поставкой. При этом, если закрывается строка, то следующей заполняется клетка с номером (2,1); если же закрывается столбец, то следующей заполняется клетка (1,2) и т.д.. И так каждый раз загружается клетка, соседняя по строке или столбцу. Последней будет заполнена клетка с номером (m,n). В результате заполненные клетки расположатся как бы по диагонали (1,1)– (m,n).

Недостатком этого метода является то, что при заполнении он игнорирует значения стоимости cij , поэтому построенный исходный

335

опорный план, как правило, оказывается весьма далеким от оптимального.

Другим способом нахождения первоначального опорного плана является метод наименьшей стоимости. Согласно этому методу, грузы распределяются в первую очередь в те клетки, в которых

находится минимальный тариф перевозок cij . В клетке (i, j) этого

тарифа (в середине) записывается максимально возможная поставка с учетом ограничений этой строки и этого столбца: xij min ai ,bj .

Этой поставкой либо обеспечивается потребность одного потребителя, и тогда этот потребитель (столбец) исключается из дальнейшего рассмотрения, либо от одного поставщика забирается весь груз, и тогда этот поставщик ( строка) исключается из дальнейшего рассмотрения. Поэтому, не принимая более во внимание i–ую строку ( или j–ый столбец), снова ищем клетку с наименьшей стоимостью перевозок и заполняем ее с учетом изменившихся потребностей. Продолжаем этот процесс до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все потребности– удовлетворены.

Если имеются два или более одинаковых наименьших тарифов, то заполняемая клетка берется произвольно среди них.

Пример 1. Найти опорный план методом северо-западного угла. Исходные данные приведены в таблице 20.2.

Решение. Составим опорный план методом северо-западного угла. Здесь число пунктов отправления (поставщиков) m=3, а число пунктов назначения (потребителей) n=4. Следовательно, опорный план задачи должен содержать 4 3 1 6 заполненных клеток.

Заполнение таблицы начнем с клетки с номером (1,1), т.е. постараемся удовлетворить потребности первого потребителя за счет запасов первого поставщика. Так как запасы поставщика A1 больше, чем потребности пункта B1, то x11 min 160,120 120 , записываем

336

это значение в клетке с номером (1,1) таблицы 20.3 и исключаем из рассмотрения столбец B1, считая при этом запасы пункта A1 равными

40 ( где 160 120 40 ).

Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления A1 и назначения B2. Запасы пункта A1 меньше потребностей пункта B2. Тогда весь остаток запасов пункта A1 отправляем в пункт B2, то есть записываем значение 40 в клетку с номером (1,2) таблицы 20.3 и исключаем из рассмотрения строку A1, считая при этом потребности пункта B1 равными 10 (где 50 40 10 ). Снова рассмотрим первых из оставшихся пунктов поставщиков A2 и потребителей B2 (так как не хватает в этот пункт 10ед.). Запасы пункта A2 (равные 140) больше потребностей пункта B2 (потребность составляет 10), то берем минимальное значение ( min 140,10 10 ) и ставим его в клетку с

номером (2,2) таблицы 20.3, исключая из рассмотрения столбец B2, т.к. все потребности этого потребителя удовлетворены. Тогда запасы пункта A2 равны 140 10 130 . Смотрим ближайшего потребителя и

Значение x23 130 запишем в соответствующую клетку таблицы 20.3 и считаем потребности пункта B3 равными 60 (это 190 130 60 ).

Теперь перейдем к заполнению клетки для неизвестного x33 .

Значение x33 60 запишем в соответствующую клетку таблицы 20.3

и считаем остаток запасов пункта A3 170 60 110 . Что и совпадает с потребностью пункта B4. Пишем это значение в оставшуюся единственную клетку с номером (3,4) таблицы 20.3.

В результате получаем опорный план:

337

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

F 120 7 40 8 10 5 130 9 60 3 110 6 3220 .

Пример 2. Найти опорный план методом наименьшей стоимости. Исходные данные приведены в таблице 20.2.

Решение. Составим опорный план методом наименьшей

дальнейшего рассмотрения строку A1. Считаем потребности потребителя B3 190 160 30 .

В оставшейся части таблицы с двумя строками A2 и A3 и

соответствующую клетку таблицы 20.4. исключаем из дальнейшего рассмотрения столбец B2 (т.к. потребности его полностью удовлетворены), а запасы пункта A3 будут равны: 170 50 120 .

Таблица 20.4

После этого рассматриваем оставшуюся часть таблицы с двумя строками A2 и A3 и тремя столбцами B1, B3 и B4. В ней находим минимальный тариф равный 3, который находится на пересечении

строки A3 и столбца B3. Столбец B3 уже заполнен и не хватает 190 160 30, а запасы в A3 равны 170 50 120, следовательно,

находим x33 min 120,30 30 и заполняем эту клетку. Тогда

остаток запасов в пункте A3 равен 120 30 90 ед. и исключаем из дальнейшего рассмотрения столбец B3.

338

Теперь рассмотрим оставшуюся часть таблицы с двумя строками A2 и A3 и двумя столбцами B1 и B4. В этой оставшейся части таблицы находим минимальный тариф равный 4, который находится

соответствующую клетку таблицы 4. Столбец B1 исключаем из рассмотрения, и находим остаток запасов в пункте A2: 140 120 20 .

Нам остается рассмотреть клетки с номерами (2,4) и (3,4). Так как остаток запасов в пункте A2 составляет 20ед., то вносим это значение в клетку с номером (2,4), а остаток запасов в пункте A3 равен 90 и это значение записываем в клетку с номером (3,4) таблицы 20.4. В результате получим опорный план:

При данном плане общая стоимость перевозок всего груза составляет

F 160 1 120 4 20 8 50 2 30 3 90 6 1530 .

Что составляет меньшую сумму, чем при составлении плана методом северо-западного угла (см. пример 1).

20.1.3.Определение оптимального плана транспортной задачи

Для определения оптимального плана транспортной задачи разработано несколько методов. Однако наиболее часто используется метод потенциалов.

Если опорное решение транспортной задачи является

потенциалы поставщиков (строк), j – потенциалы потребителей

(столбцов), а ij – оценка свободных клеток.

Для определения оптимальности первоначального плана необходимо составить систему уравнений из условия (20.2) для заполненных клеток и решить ее.

339

Так как число заполненных клеток равно m n 1, то система из условия (20.2) с m n неизвестными содержит m n 1 уравнений. Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, одно из неизвестных можно принять равным

уравнений условия (20.2) значения остальных неизвестных потенциалов.

После того как все потенциалы найдены, для каждой из пустых клеток проверяют выполнение условий оптимальности (20.3).

Если хотя бы одна из оценок ij 0 , то план не является

оптимальным и его можно улучшить методом перераспределения поставок по циклу. Отметим клетку с наименьшей отрицательной оценкой и построим цикл с начальной вершиной в этой клетке.

Циклом с начальной вершиной в данной клетке называется многоугольник, у которого:

1.все стороны лежат в строках и столбцах;

2.все углы прямые;

3.все вершины, кроме начальной, лежат в заполненных клетках, а начальная вершина – в свободной неоптимальной клетке»

4.на сторонах цикла могут быть занятые клетки, но они не являются вершинами цикла;

Циклы пересчета могут иметь следующую форму:

Примем некоторые обозначения: – свободная клетка (начало цикла), – занятая клетка (вершина цикла), а возможные места

расположения занятых клеток обозначим .

Число вершин цикла обязательно четно. «Неоптимальная» клетка может находиться в любой вершине цикла (на примерах рассмотрены один из вариантов).

По циклу будем перемещать поставку. Для нахождения величины этой поставки сначала проставим знаки в вершинах цикла: в «неоптимальную» клетку ставим знак «+» (плюс) (всегда), а далее, совершая обход по циклу, чередуем знаки «–» (минус) и «+» (плюс) в вершинах цикла. Найдем наименьшую из величин поставок в отрицательных вершинах. Эту величину прибавим к вершинам со знаком «+» (плюс) и вычтем из вершин со знаком «–»

340