Математика Сизов 2011

При этом начальный опорный план (допустимое базисное решение) является x* 0,0,2,2,5 ; F x* 0 .

В индексной строке c j имеется отрицательная оценка, значит,

найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. В качестве разрешающего столбца берем столбец при x2 , т.к. он

содержит отрицательный элемент в индексной строке. Для выбора разрешающей строки рассмотрим отношения и выберем минимальное среди них

min 2 , 5 min 2,5 2 .

1 1

Выбираем строку при x3 (минимальное отношение).

Разрешающий элемент равен 1 (элемент, стоящий на пересечении строки при x3 и столбца при x2 ).

Вводим в столбец базисных переменных x2 и выводим x3 .

Составляем симплекс-таблицу 2-го шага (табл. 19.3). Разрешающую строку делим на разрешающий элемент, остальные строки

321

Заполняем симплекс-таблицу 19.3

Опорным решением является x* 0, 2, 0, 6, 3 ; F x* 2 .

При этом в последней строке имеется отрицательный элемент c1 1, поэтому полученное решение можно улучшить.

Разрешающим столбцом является столбец с переменной x1 . За разрешающую строку возьмем строку при x5 (т.к. в разрешающем

столбце только один положительный коэффициент). Разрешающим элементом является a51 3.

Вводим в столбец базисных переменных x1 и выводим x5 .

Составляем симплекс-таблицу 3-го шага (таблица 19.4). Выполняем перерасчет всех элементов таблицы. Разрешающую строку (третью) делим на разрешающий элемент 3, остальные строки пересчитываем

322

найденное опорное решение x*опт 1,4,0,9,0 является оптимальным, при этом F x* 3 . Это решение совпало с решением, найденным в

примере 1 графическим методом.

Замечание. При решении задач симплекс-методом количество симплекс-таблиц может быть различным. В рассмотренном решении оно равно трем.

19.3. Решение типовых задач и примеров

Задача. Для производства различных изделий А и В используются три вида сырья. На изготовление единицы изделия А требуется затратить сырья первого вида а1 = 12 кг, сырья второго вида а2 = 4 кг, сырья третьего вида а3 = 3кг. На изготовление единицы изделия В требуется затратить сырья первого вида b1 = 3 кг, сырья второго вида b2 = 5 кг, сырья третьего вида b3 = 14 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве р1 = 264 кг, сырьем второго вида в количестве р2 = 136 кг, сырьем третьего вида в количестве р3 = 266кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия А составит6руб., а изделия В: 4 руб.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

Решить задачу симплексным методом путем преобразования симплекс – таблиц и графическим методом.

Решение задачи симплексным методом

323

Оформим данные задачи в виде таблицы.

Обозначим: x1 (ед) – количество изделий А; x2 (ед) – количество изделий В;

F (тыс.руб) – прибыль от реализации всей

продукции.

Совокупность неизвестных x1, x2 называется планом

производства. Очевидно, должны соблюдаться условия неотрицательности:

x1 0, x2 0

Составим ограничения по сырью каждого вида. На изготовление x1 единиц изделий А расходуется 12x1 (кг.) сырья первого вида, на

изготовление x2 единиц изделий В расходуется 3x2 (кг.) сырья

количестве 264кг, т.е. 12x1 3x2 264 .

Аналогично для сырья второго вида 4x1 5x2 136 и для сырья третьего вида 3x1 14x2 266 .

По условию задачи прибыль от реализации единицы изделия А составляет 6 тыс.руб., следовательно, прибыть от реализации всех x1

единиц изделий А составит 6x1 тыс.руб., прибыль от реализации x2 единиц изделий В составит 4x2 тыс.руб.

Общая прибыль от реализации всех изделий F 6x1 4x2 тыс.

руб.

F называется целевой функцией задачи. Ее значение должно быть максимальным, т.е. F 6x1 4x2 max .

Составим математическую модель задачи симметричного вида:

324

Приведем математическую модель (19.13) к каноническому виду. Это достигается введением в каждое неравенство дополнительных неотрицательных переменных: x3 0, x4 0, x5 0 .

Их экономический смысл – недоиспользованное сырье каждого вида. Получим:

12x1 3x2 x3 264,4x1 5x2 x4 136,3x1 14x2 x5 266.

x1 0, x2 0.

F 6x1 4x2 0 max .

Составим симплекс-таблицу 1-го шага (таблица 19.5).

При этом опорным решением является x* 0,0,264,136,266 ;

F x* 0 .

В последней строке c j имеются две отрицательные оценки,

значит, найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить.

В качестве разрешающего столбца берем столбец при x1 , т.к. он

содержит минимальный отрицательный элемент в индексной строке. Для выбора разрешающей строки рассмотрим отношения и выберем минимальное среди них

что указывает на первую строку. Разрешающий элемент равен 12 (элемент, стоящий на пересечении строки при x3 и столбца при x1 ).

Вводим в столбец базисных переменных x1 и выводим x3 .

325

Составляем симплекс-таблицу 2-го шага (таблица 19.7). Разрешающую строку делим на разрешающий элемент, остальные строки пересчитываем по правилу прямоугольника (19.12).

Например, вычислим элемент, соответствующий элементу 266 таблицы 19.5. Для его нахождения в таблице 19.5 мысленно строим прямоугольник, у которого на концах одной диагонали стоят число 266 и разрешающий элемент, а на другой– числа 264 и 3 (таблица 19.5). Диагональ, содержащая разрешающий элемент, считается главной, а другая побочной. Из произведения элементов по главной диагонали вычитаем произведение элементов побочной диагонали и эта разность делится на разрешающий элемент:

266 12 264 3 200

12

Полученное число вписываем в таблицу 19.7 на то место, где стояло число 266 в таблице 19.5.

Подсчитаем, какое число будет стоять в таблице 19.7 вместо числа «-4» в F –строке таблицы 19.5. В таблице 19.6 показан прямоугольник, который мы должны мысленно выделить в таблице 19.5. Главная диагональ прямоугольника содержит рассматриваемый элемент «-4» и разрешающий элемент 12, а побочная диагональ – элементы 3 и «-6». В результате вычислений получим число, которое вписываем в F –строку таблицы 19.7 вместо «-4» из таблицы 19.5:

326

При этом опорным решением является x* 22,0,0,48,200 ;

F x* 132 .

В последней строке c j имеется отрицательная оценка, значит,

найденное решение не является оптимальным и его можно улучшить. Разрешающим столбцом является столбец с переменной x2 . Для

выбора разрешающей строки рассмотрим отношения и выберем

что указывает на вторую строку. На пересечении разрешающего столбца при x2 и разрешающей строки при x4 расположен

разрешающий элемент 4.

Переходим к заполнению симплекс-таблицы по правилам алгоритма симплекс-метода. Получаем таблицу 19.8.

327

удобств построения. (Чертеж должен быть достаточно крупным, рекомендуем выполнять его на отдельной странице).

x2

80

70l1

0

Рисунок 19.6

Чтобы определить полуплоскость, соответствующую каждому неравенству, подставим в это неравенство пробную точку (0;0). Получим:

Все неравенства верны. Это означает, что каждому неравенству соответствует полуплоскость, содержащая точку (0;0). На чертеже эти полуплоскости отмечены штриховкой.

Общая часть всех полуплоскостей, с учетом условий неотрицательности x1 0, x2 0, образует замкнутый выпуклый

многоугольник OABCD, отмеченный на чертеже штриховкой по краям.

Множество внутренних и граничных точек многоугольника соответствует множеству всех допустимых планов. Опорные планы находятся в вершинах многоугольника, среди них содержится оптимальный.

329

Для нахождения оптимального плана обратимся к целевой функции

F 6x1 4x2 .

На графике целевая функция изображается с помощью линий

направлении вектора gradF , то получим множество линий уровня, на

которых значение целевой функции F возрастает.

Своего максимального значения F достигает на прямой, проходящей через точку С. Значение функции F , вычисленное в точке С, будет наибольшем для данной задачи, т.к. при дальнейшем перемещении линии уровня не будут иметь общих точек с областью допустимых планов

Найдем координаты точки С, заметив, что она лежит на пересечении прямых (l1) и (l2). Решим систему уравнений:

x1 19,

x2 12.

Координаты точки С (19; 12) соответствуют оптимальному плану. Подставляя найденные значения x1 и x2 в целевую функцию,

получим максимальное значение целевой функции:

Fmax 6 19 4 12 162 .

19.4. Задания на контрольную работу

Задача. Предприятию нужно перевести со склада по железной дороге изделия трех различных видов: Изделий I –го вида не более p1, изделий II-го вида не более p2, изделий III-го вида не более p3.

Подразделение железной дороги может для этой перевозки выделить специально оборудованные вагоны двух типов А и В. Для полной загрузки вагона следует помещать в него изделия всех трех видов. При этом в вагон типа А входят a1 изделий I-го вида, a2 изделий II-го вида, a3 изделий III-го вида; в вагон типа B входят b1

330