Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4831 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

						3	ln		2		n
	д)						ln				n		.
	д)							n					.
			n 2					n
3.			n 2
3.			6			8				10				12
	а)		6			8				10				12
			2			7				12				17
	в)
	n 1	(4n		4	2n					2	1) .
3		(4n			2n						1) .
n 1			(3n)!
n 1
						3	ln		2		n
	д)						ln				n	.
	д)							n				.
			n 2					n
			n 2

4.		1						7					13		20
а)		1						7					13
а)	10						14						18
	10						14						18			22
										2									n
в)			(4n									2n 1)3 .
		n 1									(3n 1)!
		n 1
							1
д)							1						.
д)							9					n	.
		n 2 nln										n
5.		6			9							12				15
а)					9											15
а)				10												22
	4			10								16				22
в)			(2n 1)!(2n3 1)																	.
в)													10		n					.
		n 1											10
				5				ln			6	n
д)								ln				n		.
д)									n					.
		n 2							n
		n 2
6.
а)		6			9							12				15
а)		6										12				15
	9			11								13				15
								(3n 1)!11n
в)																				.
в)			(3n 1)!(6n															3	n)	.
		n 1	(3n 1)!(6n																n)
												1
д)												1					.
д)						n				3 ln4 n							.
		n 2				n				3 ln4 n

е)

1 n 1

3n2 4n 5

6n5 7n3

4n 3

б)

n 1 (2n 1)

n 3

2n2 1

г)

n 1

е)

3n8 6n5 2

( 1)n 1

n 1

б)

n 1

n5 4

г)

9n 7

9n 3

е)

n 1

3n2

n 7

( 1)n

3 n7 2n3

n 1

б)

n 1

n5 4 (n 1)

5n 3

г)

5n 1

е)

n 1

( 1)n

n 1

8n 5

б)

n 1 (5n

4n) n

г)

4n 12

4n 9

n 1

е)

301

а)

в)

д)

а)

в)

д)

а)

в)

д)

10.

а)

в)

д)

	3	4n	2	3n	6
( 1)n 1						.

n 1		3n3 2n2 7

82 105 128 1411

	(6n)!(3n5 n											3 )	.
								n					.
n 1					21
		3 ln7 n
				n			.
n 2
2	11				20						29
14	11				20						29
14		19			24						29
					6n (3n 1)!
																	.
	(3n 1)!(2n										4	3n			2	)	.
n 1	(3n 1)!(2n											3n				)
		5 ln7 n
			n				.
n 2
3		11 19							27
9		16			23					30
	41n (5n7 n2 1) .
					(4n 3)!
n 1
							1
							1							.
		(n			1)ln				4	(n 1)				.
n 1		(n			1)ln					(n 1)
1			4			7				10
1										19
7		11			15					19
				(3n 2)!5n
																.
	(3n)!(2n								5	3n 1)						.
n 1	(3n)!(2n									3n 1)
		ln4 (n 1)								.
			n 1							.
			n 1
n 1

9n 1

б)

n 1

6n 2

г)

6n 9

n 1

3n3 4n2 5

е) ( 1)n 1

3 5n5 3n 7

n 1

n 4

б)

n 1

(2n 1) n3 1

7n 2

г)

е)

n 1

7n3 9n 6

( 1)n 1

n 1

б)

n 1

n9 36

8n 2

г)

8n 3

е)

n 1

7n5 3n 8

( 1)n 1

n 1

б)

3 n9 3n2

n 1

г)

5n 9

е)

n 1

4n3 6n 8

( 1)n 1

3n10

2n3

n 1

302

n 1

Задание 2. Найти область сходимости рядов:

			n	2
1.	а)		n						(x 3)n .
1.	а)	(n	4				2		(x 3)n .
	n 1	(n	1)
		(n		2)		3				2n .
2.	а)	(n		2)			(x 3)			2n .
	n 1	2n 3
	n 1
		( 1)			n
3.	а)	( 1)						(x 4)n .
3.	а)	(n 1)5					n	(x 4)n .
	n 1	(n 1)5
					2n
4.	а)	(x 1)n .
	n 1		n9

	5.	а)
	( 1)n (n 1)	(x 7)n .
	(n 3)2 2n 1	(x 7)n .
	(n 3)2 2n 1

б)

6x 13)

n 1 n(x

82 sin3n

x .

n 1 n

3x 1 .

n 1

4x 6

n 1

8n n2 sin3n x .

n 1

( 1)

n 1

а)

(x 2)2n .

б)

5x 10)

n 1

n 1 n(x

2n 1

а)

б)

sin2n (2x) .

n 8

n 1

(x 6)

(x e) .

а)

б) ln

n 1

(n 2)3

n 1

n e

(x 5)n

(x2 6x 12)n

а)

б)

(2n 1)4

n 1

(x 7)2n 1

10.

а)

б)

tg2n x .

(2n

5n)4

n 1

Задание 3. Вычислить интеграл с точностью

до

0,001.

	0,1
1.	e 6x2 dx .
	0
	0,1	e	2 x dx .
3.	1	e	2 x dx .
	0	x
	0
	0,2		2 dx .
5.	e 3x		2 dx .
	0
	0,5
7.	cos(4x2 )dx .
	0

	0,1
2.	sin(100x2 )dx .
	0
				x
	1 ln		1
	1 ln		1
4.				5	dx .
4.			x		dx .
	0		x
	0
	0,2
6.	sin(25x2 )dx .
	0
	0,2	1	e x dx .
8.		1	e x dx .
	0		x
	0

303

		x
0,4 ln 1
0,4 ln 1		2
9.		2	dx .
9.	x		dx .
0	x
0

2		dx
10.		dx		.
10.	3	64 x	3	.
0		64 x

Задание 4. С помощью рядов решить дифференциальное уравнение. Представить решение в виде пяти членов ряда.

y 2x

y 0,

y 3x 2

y 0,

y 0 4, y 0 2.

y 0 4, y 0 1.

3. y y3 x2 ,

y 2 y 3 3x 2 y 0,

y(1) 1.

y 0 1, y 0 2.

6. y x2 y y3 ,

y(0) 2.

y 0 1, y 0 2.

7. y y 2 xy ,

8. y

y ,

y(0) 4 ,

(0) 2 .

y 0 4, y 0 1.

y 2x 1 y 1,

10. y x

y 0 2, y 0 2.

y 0

Задание 5. Разложить в ряд Фурье функции

f(x),

заданные на

интервале.

f (x)

x 2

f (x) x2 1

;

( ; ) .

f (x) eax

;

f (x) 5x 1

;

( 5;5) .

( l;l) .

f (x) 3

;

f (x) x

;

( 1;1) .

( 5;5) .

f (x)

1 x

;

f (x) 3 x ;

( ; ) .

f (x) x 1;

10.

f (x) x2

2 ;

( 1;1) .

( 2;2) .

304

Задание 6.					Представить интегралом Фурье.
						2		,				x				1,							x 2						,			x				1,
						2																	x 2						,			x				1,
		x
1.	f x																				2.	f x										x
												x											0,												1.

		0,														1.
		0,														1.
																										x						x


	sin x,												x				,					3						,						1,
	sin x,												x				,					3						,						1,

3. f x				0,									x						.		4.	f x	0,									x		1.
3. f x																					4.	f x


																						e 3x ,
					x		,				x									2,										0 x 10,
																														0 x 10,
5. f x																					6.	f x
				0,							x				2.								0,						x 10, x 0.



	x																					1			x		,				0 x 1,


									,				x						,		8.	f x
									,				x						,		8.	f x
7.	f x			2																			0,							x 1, x 0.
				0,										x					.
				0,										x					.
			1 x												x								x 1,									x		1,
										,									1,
										,									1,
																						f x
9.	f x			0,											x			1.			10.			0,								x	1.
9.	f x																				10.

305

19.Линейное программирование

19.1.Введение в математическое программирование

Всвоей деятельности человеку приходится иметь дело с многовариантными задачами. Из различных вариантов приходится отыскивать наилучшие. При этом нужно учитывать ограничения, накладываемые на природные, экономические и технологические возможности. Решение таких задач «на глазок» связано с большим риском громадных потерь. В этих случаях возникает необходимость применить математические методы и вычислительную технику.

Математическое программирование – область математики,

изучающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях ограниченных возможностей, называют целевой.

Ограниченные возможности формализуются в виде системы ограничений.

Все это составляет математическую модель математического программирования, которая включает в себя:.

1.	Совокупность	неизвестных	величин
Х x1,x 2 ,..., x j ,..., xn ,		действуя на которые систему можно
совершенствовать. Это план задачи.
2.	Целевая функция F f X f x1,x2 ,...,xn .
Экстремальное значение		min,max целевой функции	позволяет

выбрать наилучший вариант решения задачи. Целевой функцией может быть прибыль, расходы, объем продукции, отходы, затраты производства, время технологического процесса и т.д..

3. Система ограничений (условий), налагаемых на неизвестные величины. Такими ограничениями могут быть: материальные, финансовые и трудовые ресурсы, возможности технического, технологического и, вообще, научного потенциала. Математические ограничения выражаются уравнениями и неравенствами.

Задача математического программирования формулируется так: найти такие значения переменных x1,x2 ,..., xn (оптимальный план

x1,x2,..., x j ,..., xn ), которые обеспечивают экстремальное значение
max min целевой функции
max(min)F f X f x1,x2 ,...,xn		(19.1)
при ограничениях (условиях)
gi X gi x1,x2 ,..., x j ,..., xn , bi ,	i 1,...,m	(19.2)

306

min F

x j 0 , j 1,2,...,n .

(19.3)

В зависимости от вида функций цели и ограничений задачи математического программирования делятся на линейные и нелинейные.

Если функции f и gi являются линейными, то задача (19.1)-

(19.3) относится к линейному программированию. Если хотя бы одна из функций f или gi нелинейная, задача относится к нелинейному

программированию.

Если задача линейного программирования допускает разбиение процесса ее решения на отдельные этапы (шаги), то задача относится к динамическому программированию.

Если параметры, входящие в функции (19.1), (19.2), являются случайными, то программирование стохастическое. Оно занимается исследованием случайных процессов.

Если при решении задачи выбор оптимального решения производится в условиях риска или неопределенности, то задача относится к теории игр.

19.2.Краткие сведения из теории линейного программирования

Вобщем виде задача линейного программирования может быть сформулирована следующим образом:

найти такие значения переменных x1, x2 ,..., xn , которые доставляют максимум (минимум) целевой функции

F c1x1 c2 x2		n
F c1x1 c2 x2	... cn xn c j x j		(19.4)
		j 1
при условиях
n		i 1,...,m ,
aij xj , , bi ,		i 1,...,m ,	(19.5)
j 1
x j 0, j 1,2,...,n ,			(19.6)

где c j , aij , bi (i 1,2,...,m ; j 1,2,...,n ) – заданные числа.

Задача линейного программирования называется канонической, если ограничения задачи (19.5) состоят из системы уравнений и условий неотрицательности всех n переменных.

Если в ограничениях (19.5) находятся неравенства– задача называется симметричной.

Задачу на max F можно преобразовать в задачу на умножением целевой функции на -1.

307

Алгоритм составления модели задачи линейного программирования, заданной в текстовой форме:

1.ввести обозначения для неизвестных задачи;

2.проанализировать и зафиксировать ограничения для них;

3.составить систему ограничений задачи;

4.составить целевую функцию и установить вид экстремума.

Рассмотрим два метода решения задач линейного программирования: геометрический метод и аналитический метод, который называется симплекс-метод.

19.2.1 . Геометрический метод решения задачи линейного программирования

Геометрический метод решения задач математического программирования применяется для решения задач, имеющих две переменные x1 и x2 как в целевой функции, так и в функциях системы

ограничений. Этот метод дает возможность наглядно представить структуру математической модели, выявить ее особенности, приводит к идее решения самой задачи, делает геометрически наглядными способы решения и их практическую реализацию, открывает пути исследования сложных задач.

Для этого нужно представить геометрическую интерпретацию математической модели задачи рассматриваемого программирования, то есть представить элементы этой модели в виде геометрических фигур.

Вматематической модели присутствуют функции двух

переменных:		f f x1,x2 –	целевая	функция	и
gi X gi x1, x2	,	i 1,...,m –	функции в	системе ограничений.

Каждая из этих функций геометрически представляется в виде поверхности: линейные функции–плоскостями, функции второго порядка– кривыми поверхностями второго порядка и т.д..

Обычно все построения и решение задач математического программирования геометрическим способом производят на плоскости. Приводится достаточно несложный план решения задачи, но при этом отсутствует объяснение этого плана. Представление этих задач в трехмерном пространстве приводит к четкому пониманию сущности решения, но при этом нужно произвести непростые построения.

В пособии приведены обе геометрические модели. Они дополняют друг друга. Точнее, трехмерная модель объясняет сущность решения задачи, которую практически нужно решить на плоскости.

308

Решение задач математического программиорвания геометрическим методом в трехмерном пространстве является новацией авторов раздела.

Рассмотрим решение задачи линейного программирования

геометрическим методом на следующей модели:
max min F c1x1 c2 x2 ,	(19.7)

При условии

Найти такие решения

a11x1 a12 x2 b1,
a	x	a	22	x	b ,
21	1		22	2	2
a31x1 a32 x2 b3 ,						(19.8)
a	x	a	42	x	b ,	(19.8)
41	1		42	2	4
a	x	a		x	b ,
51	1	52		2	5
x 0, x				0.
1			2
x1, x2 ,				которые		обеспечивали бы

максимальное (минимальное) значение целевой функции (19.7) при соблюдении условий ограничительной системы неравенств (19.8).

Представим геометрическую интерпретацию данной модели. Целевая функция (19.7) есть плоскость, проходящая через начало координат. При пересечении с координатной плоскостью F 0 она образует прямую c1x1 c2 x2 0

Ограничительная система неравенств (19.8) представляет собой объемное тело, ограниченное боковой поверхностью прямой призмы, в сечении которой плоскостью F 0 находится пятиугольник ABCDE. Эти геометрические фигуры представлены на рисунок 19.1.

Если плоскость (19.7) не вызывает сомнения, то тело ограниченное боковой поверхностью прямой призмы (19.8) требует пояснений.

Если каждое неравенство, входящее в (19.8), преобразовать в равенство, то геометрически оно представляется вертикальной плоскостью (параллельной координате F ), т.к. в уравнении отсутствует переменная F . При пересечении с координатной плоскостью F 0 имеем прямую, аналитическое выражение которой совпадает с аналитическим выражением для нашей вертикальной плоскости.

При возвращении к неравенству меняется и геометрическое представление. Рассмотренная ранее вертикальная плоскость делит трехмерное пространство на два полупространства. Одно из них есть геометрическое место (множество) точек, каждая из которых своими координатами удовлетворяет неравенству, а точки другого полупространства– не удовлетворяют.

309

Рисунок 19.1

Исследуя, таким образом, каждое неравенство (19.8) приходим к выводу, что система неравенств образует бесконечное тело, ограниченное боковой поверхностью прямой призмы, в сечении которой плоскостью F 0 лежит пятиугольник ABCDE.

При пересечении тела, ограниченного боковой поверхностью призмы, наклонной плоскостью F c1x1 c2 x2 получается наклонный

пятиугольник A1B1C1D1E1 . Иными словами, плоскость F,ограниченная пятиугольником A1B1C1D1E1 есть геометрическое

место	точек	одновременно принадлежащих и плоскости
F c1x1	c2 x2 ,	т.е. целевой функции и рассмотренному выше телу,

т.е. системе ограничений (19.8).

Задача линейного программирования– отыскание решенияx1, x2 , которые обеспечивали бы max min F (19.7) при соблюдении

ограничений (19.8) в геометрической интерпретации будет сформулирована так: найти такие точки (множество точек) на плоскости x1Ox2 , которые обеспечивали бы max min F на наклонной

плоскости, и одновременно принадлежали бы телу, ограниченному боковой поверхностью призмы. На рис.19.1 это точки A и C.

В точке A имеем минимум целевой функции : min F x1A , x2 A A1 A .

310

<<< < Предыдущая 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 4831 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf