Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

4 y

;

y 5 0 2 4,

y 6 4 y 4 y 4 xy 5 5y 4 xy 5 ;

y 6 0 0,

y 7 5y 5 y 5 xy 6 6 y 5 xy 6 ;

y 7 0 2 4 6.

Видна закономерность:

y n (n 1) y n 2 xy n 1 ;

y 2n (0) 0; y 2n 1 (0) ( 1)n 2 4 6 2n.

Подставим все значения коэффициентов в ряд: y(x) 0 11!x 20!x2 32!x3 40!x4 25!4 x5 60!x6 2 74! 6 x7

( 1)n 2 4 6 2n x(2n 1)

(2n 1)!

Т.к. четные члены ряда стали равными нулю (выбыли из ряда), нумерацию членов ряда n=0,1,2,…заменим на новую k=0,1,2,…

Выполним преобразования:

y(x) x		2		x3	2 4	x5		2 4 6	x7
y(x) x	1 2 3			x3	1 2 3 4 5	x5	1 2	3 4 5 6 7	x7
	1 2 3				1 2 3 4 5		1 2	3 4 5 6 7
( 1)k			2 4 6 2k			x2k 1
( 1)k		1 2 3 2k(2k 1)				x2k 1
		1 2 3 2k(2k 1)

y(x)

k 0

x		x3				x5	x7				( 1)k		x2k 1	=
x	1 3			1		3 5	1 3 5 7				( 1)k		1 3 5 (2k 1)	=
	1 3			1		3 5	1 3 5 7						1 3 5 (2k 1)
k					x2k 1
1								.
1		1 3 5 2k 1						.
Определим радиус сходимости этого ряда:
ak						1			;	ak 1			1		.
ak	1 3		5 (2k 1)						;	ak 1		1 3 5	(2k 1)(2k	3)	.
	1 3		5 (2k 1)									1 3 5	(2k 1)(2k	3)

R lim		ak	lim	1 3 5 (2k 1)(2k 3)	lim(2k 3)

	ak 1			1 3 5 (2k 1)
k			n		k

Полученное решение ДУ справедливо для всех x .

Замечание. При решении ДУ с помощью рядов не всегда удается получить закономерность изменения коэффициентов ряда Тейлора. И тогда вывести формулу общего члена ряда разложения, а, значит, и представить точное решение ДУ не представляется возможным. В этом случае нужно представить приближенное решение ДУ в виде первых пяти-шести членов разложения функции.

291

18.3. Ряды Фурье и интегралы Фурье

18.3.1. Краткие сведения из теории

Если на интервале [- , ] функция f(t) удовлетворяет условию Дирихле( функция непрерывна с конечным числом экстремумов или имеет конечное число точек разрыва первого рода ), то ряд Фурье этой

функции сходится в точках непрерывности к самой функции

f(t), а

в точках разрыва

первого

рода - к полусумме

левого

правого

пределов функции

f(t).

Ряд Фурье имеет вид:

f (t)

(an cos nt bn sin nt) ,

где

n=1,2,3,…

n 1

f (t)dt ;

f (t)cos ntdt ; bn

f (t)sin ntdt .

Если функция f(t) периодична с периодом 2 , удовлетворяет условию Дирихле на этом периоде, то ряд Фурье данной функции сходится к ней для любого t. То же самое относится и к случаям, если функция f(t).периодична с периодом T или 2l. Соответствующие формулы имеют вид:

2 nt b sin

2 nt)

f (t)

cos

n 1

где

f (t)dt ;

f (t)cos

ntdt ;b

f (t)sin

ntdt

nt bn sin

nt) ,

f (t)

(an cos

n 1

1 l

где

f (t)dt ;

f (t)cos ntdt ; b

f (t)sin

ntdt .

f(t)

Если функция

четная, то

bn 0;

если f(t) нечетная, то

a0 an 0

и ряд Фурье упрощается.

Если

f(t) задана на полуинтервале, то ее можно разложить в

ряд Фурье по косинусам или синусам, продлив функцию соответственно четным или нечетным образом на весь период.

Интегралом Фурье представляется функция f t непериодическая, к которой предъявляются два условия:

292

1) должна быть кусочно-гладкая, т.е. должна быть на некотором интервале непрерывной и иметь непрерывную производную во всех точках этого интервала , за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв 1 рода (это аналог условия Дирихле);

2)должна быть абсолютно интегрируема на всей числовой

	f t
оси, т.е. должен быть сходящимся		dt A . В
оси, т.е. должен быть сходящимся		dt A . В

электротехнике это означает одиночный импульс тока или напряжения, имеющий начало и конец.

Тогда

функция

f (t)

представляется

несколькими видами

интеграла Фурье:

а)

f (t) A( )cos

t B( )sin

t d ,

где

A( )

f ( )cos d

, B( )

f ( )sin d .

Здесь

f ( ) и f (t)

– одна и та же функция с аргументами τ и

В частных случаях

f (t)

может быть четной и нечетной.

Если f (t)

– чётная, то B( ) 0,

тогда

f (t) A( )cos td ,

где

A( )

f ( ) cos d .

Иногда вводят функцию F( )

f ( )cos d , тогда

f (t)

F( )cos td .

косинуспреобразованием

В этом случае функцию F( )

называют

Фурье.

Если f (t)

– -нечетная, то A( ) 0

и тогда

f (t) B( )sin td ;

B( )

f ( )sin d .

Если ввести функцию

( )

f ( )sin d - синус-преобразование Фурье,

293

			2
то	f (t)		2		( )sin td . .
то	f (t)				( )sin td . .
					0
	b) Второй вид интеграла Фурье :
		1
	f (t)	1		d		f ( ) cos (t )d .
	f (t)			d		f ( ) cos (t )d .
			0
	с) Третий вид интеграла Фурье – в комплексной форме – здесь
не рассматривается.
	Представить функцию f (t)						интегралом Фурье значит:
	Вид а)			–	найти функции		A( ) и B( ) или F( )	или ( )
и подставить в соответствующую формулу интеграла Фурье.
	Вид				b)	-–	посчитать внутренний	интеграл

	f ( )cos (t )d					и подставить в формулу интеграла Фурье.

18.3.2. Решение типовых примеров с использованием рядов и интеграла Фурье

Пример 13. Разложить функцию f (t) 2t в ряд Фурье на интервале

(-π, π).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2 (рисунок 18.3).

f(t) π/2

		-π		π
				-π/2	t
	t			Рисунок 18.3
Функция f (t)	t		нечетная, поэтому коэффициенты a0		an 0 .
Функция f (t)			нечетная, поэтому коэффициенты a0		an 0 .
2

294

U t;

dV sin ntdt

f t sin ntdt

sin ntdt

dU dt;

cos nt

0 2

cos nt

cos ntdt

cos n

sin nt

2 cos n

2 1 1 n

2 1 n 1 .

Ряд Фурье:

2 sin nt

2sin t

2sin 2t

2sin 3t

2sin 4t .

( 1)n 1

n 1

Пример 14 . Разложить

ряд Фурье

функцию

f (t)

на интервале ( , ).

Решение. Продолжим функцию периодическим образом с периодом 2π (рис. 18.4).

f(t)

							2

		-3		-2		-	1						2		3	t
							1


							-1
					t2				Рисунок 18.4
	Функция f (t)				t2	1 – четная, поэтому коэффициент											b 0.
					3												n
					3
	1		2	t2				2		t3				2	3		2
	1		2	t2				2		t3				2	3		2
a0		f (t)dt			3	1 dt					t				9		2	1
a0		f (t)dt				1 dt					t						2	1
				0						9		0					9
				0						9		0					9

295

					1									2						2							U			t 2		1;		dV cos ntdt


an							f t cos ntdt											t												3
																		t												3
																			3		1 cos ntdt										2						1
															0				3								dU				2						1
																											dU				3 tdt;			V n sin nt


	2			t 2						1								2									U t;						dV sin nt



											sin nt																							1

								1												t sin ntdt
							3		n				0			3n				0						dU dt;					V n cos nt
									n																						V n cos nt

					4				t					1								4									4								4			n



									n	cos nt				n	cos ntdt							2			cos n				3 n			3 sin nt						3n		2 1 .
			3n						n			0		n	0							3n							3 n						0			3n
							Ряд Фурье:
		t			2					2				4									2					4	cost					cos2t					cos3t
						1					1								( 1)n cosnt							1					2					2				2
			3			1		9			1			3n			2		( 1)n cosnt					9		1		3			2			2		2				2
			3					9				n 1		3n										9				3			1			2						3
							Пример					15.									Разложить						в				ряд			Фурье							функцию
							t,	t 0						.
f (t)														.
							2t,0 t

Решение. Продолжим функцию периодическим способом с периодом 2π (рисунок 18.5)

									f(t)
										2

								-2 -			2	3			t
										-					t
										-
								Рисунок 18.5
			1			1	0				1	t 2	0
													0

a	0				f (t ) dt			tdt		2tdt				t 2
a					f (t ) dt			tdt		2tdt				t 2
												2				0
												2				0
									0
									0
		1		2	2		.

				2		2
				2		2

296

						1																							1				0
an												f t cos ntdt																						t cos ntdt											2t cos ntdt
an												f t cos ntdt																						t cos ntdt											2t cos ntdt
																																													0
									U t;													dV cos ntdt


							dU dt;																	V 1 sin nt
																													n


		1				1												0								1									0				2t											2
																		0																	0

								sin nt																				cos nt													sin nt													cos nt
								sin nt																			2	cos nt													sin nt											2		cos nt
																											2												n								0					2
				n																					n														n								0			n										0
		1						1								1																	2											2						1			1												n		2			n
																				cos n																cos n																					1							1						1	1
										2								2		cos n															2	cos n										2										2	1							1				2		1	1
										2					n			2													n				2								n			2										2											n	2
				n											n																n												n										n														n
			1				1 1 n 2 2 1 n																															1			1 n 1
		n2					1 1 n 2 2 1 n																																		1 n 1
		n2																																			n2
					1						(1 ( 1)n															2 2( 1)n )																1						(( 1)n 1)
						n2					(1 ( 1)n															2 2( 1)n )																			n2			(( 1)n 1)
						n2																																							n2
												0, n 2k																																																				2
																			2																									; a2k 1																				2				k=0,1,2,…

																							; n 2k 1																																			(2k								1)2

																	n				2
						1											n																1
						1								f t sin ntdt																			1				0
b	n																																					t sin ntdt												2t sin ntdt
b																																						t sin ntdt												2t sin ntdt
																																																		0
												U t;															dV sin ntdt


									dU dt;																		V						1 cos nt
																																	n


			1				1														0							1											0						2t															2



											cos nt																					sin nt																cos nt															sin nt
											cos nt																			2		sin nt																cos nt													2		sin nt
																														2																n									0						2						0
					n																								n																	n									0				n								0
			1							1																		2														3							n 1
											n			cos n															n		cos n											n						1					.
														cos n																	cos n																	1					.

							Ряд Фурье:
																																			2																													3	( 1)n 1 sin nt
f (t)																																			2					cos(2k 1)t																								3
f (t)										4																													2	cos(2k 1)t																								n
										4							k 0											(2k 1)											2																			n		1				n
																	k 0											(2k 1)																														n		1
								2					cos t													cos 3t										cos 5t															sin t									sin 2t							sin 3t
																12											32										52											3																						.
			4																																													3					1									2							3	.
			4																																																		1									2							3

297

Пример 16. Разложить функцию f (t) t на интервале (0; ) : а)

в ряд косинусов, б) в ряд синусов.

Решение. а) Чтобы в разложении были только косинусы, необходимо иметь четную функцию, поэтому продолжим функцию f (t) t на интервале (0 ; ) четным, периодическим образом

(рисунок 18.6).

																																			f(t)

						3								2																		0											2				t
						3								2																		0											2

																						Рисунок 18.6
				2		π		2		π							2				2		π				1			π	2	0						π	2
						π				π											2		π																2
a0						f t dt				tdt									t																						π
a0				π		f t dt		π		tdt							π			2			0					π										π			π
				π		0		π		0							π			2			0					π										π
				2		π									2			π															U t;								dV		cos ntdt


an						f t d cos ntdt												t cos ntdt														dU dt;										V	1	sin nt
an				π		f t d cos ntdt									π			t cos ntdt																									1
				π		0									π			0																									n
																																											n


	2	1					π		2		π	1													2								π					2			cos nπ		cos nt0
	2	1					π		2		π	1													2								π					2
						sin nt								sin nt dt														cos nt
	π					sin nt			π			n		sin nt dt										πn		2		cos nt					0				πn			2
	π	n					0		π		0	n												πn									0				πn
																		4				,			n		2k 1,								k 1,2,3,...
	2					n
	2					n
					1 1								π 2k							1 2
	πn		2		1 1								π 2k							1 2
	πn															0,																n 2k
						bn 0										0,																n 2k
						bn 0
f t														4															1 t							4		cost				cos3t			cos5t		.
					t									4																						4		cost
																		2																						2
																		2		cos 2k												2								2		3	2		5	2	...
						2 k 1				2k 1																						2								1		3			5
					Чтобы разложить ту же функцию																													f (t) t							на интервале 0, в

ряд синусов, нужно продолжить эту функцию нечетным, периодическим образом (рисунок 18.7.).

		f(t)


-3	-2	-	2	3	t
		-			t


		Рисунок 18.7

298

à0 àn 0.

f (t)sin

n t

t sin n t dt

(

cosnt

sin nt)

cos n

2 (

1)n

2 ( 1)n 1 .

sint

sin2t

sin3t

sin4t

f (t) t bn sin nt n ( 1)n 1 sin nt 2( 1

...) .

n 1

.n 1

Еще раз обратим внимание на то, что указанные в примерах функции раскладываются в соответствующий ряд Фурье только в указанных интервалах. За пределами интервалов этого разложения нет.

Если интервалы заданы в виде

T 2,T

или ( l,l) , то

разложение в ряд Фурье производят

по

приведенным выше

формулам.

Пример 17.

Найти косинус-преобразование Фурье и написать

cos

2t,

интеграл Фурье для функции:

f (t)

Решение.

Построим график функции (рисунок 18.8.)

F(t)

- /2

- /4

-1

Рисунок 18.8

Проверим функцию

f(t)

на абсолютную интегрируемость:

/ 2

1 sin 2t

/ 2

1 sin sin 0.

f (t)

cos 2tdt

/ 2

f(t) абсолютно

Несобственный интеграл существует,

значит

интегрируема на всей числовой оси.

Функция f(t) четная. Найдем косинус-преобразование :

/ 2

F( )

f ( )cos d

cos2 cos d

0 cos d

/ 2

299

						2		/ 2	1	cos (2 ) cos (2 ) d
						2			1
									2
								0	2
								0
						1				1												1										/ 2
						1				1												1										/ 2
												sin (2				)										sin		(2 )
					2							sin (2				)					2					sin		(2 )
					2			2													2											0
	1					1		sin( )							1						1				sin(				)
		2		2				sin( )								2			2						sin(				)
		2		2								2				2			2										2
	1					1		sin						1	1					sin
		2		2				sin	2							2				sin
		2		2					2					2		2							2
	1								1					1				2 sin											2
																		2 sin
																										2
			sin																							2								sin		.
			sin										2					2 (4 2 )													4 2			sin		.
		2				2		2					2					2 (4 2 )													4 2				2
		Интеграл Фурье для функции:
f	(t)			2				F( )cos td									2							2						sin			cos td

																											4 2					2
						0															0						4 2					2
				2										cos td .
				2							sin
							4			2	sin
						0	4							2
						0

18.4. Задания на контрольную работу

Задание 1. Исследовать на сходимость числовые ряды (для знакочередующихся рядов провести исследование на абсолютную и условную сходимость).

а)	1			3			5				7
а)	1			6			9
	3			6			9			12
				2n		3		n
в)				2n				n				.
в)				n								.
	n 1	2			(n 1)!
			ln			3		n
д)			ln					n		.
д)										.
	n 2				n
	n 2
2.	2			6			10			14
а)	2			6			10			14
	6			9			12			15
				n	(4n				2	1) .
в)		3			(4n					1) .
	n 1				(n 1)!
	n 1

3 n 1

б)

n5 2n2

n 1

3n 1

г)

3n 2

е)

n 1

7n 2

( 1)n

n 1

4 2n5 3n2 4

б)

9n 4 .

n 1 3 5n5 9n 7

г)

7n 3

7n 1

n 1

300

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 4830 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб1МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf