Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика Сизов 2011

.pdf

Скачиваний:

210

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

4.26 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

3	3	lim	1	3	3	1	3 3		0	0
6				6 2			6	2
	2 n 6 n

Признак Лейбница выполняется, ряд сходится условно. Исследуем ряд на абсолютную сходимость по предельному

признаку сравнения:

						3 3n2 4n 7
lim		Un			lim	6 2n5 3n2 9				lim				3 3n2 4n 7 np											2	p			5	, p 5 2



																									3
n		V			n		1				n				6			5	2										6			6 3
n		V			n		1				n				6			5	2										6			6 3
			n															2n	3n 9
			n					np										2n	3n 9			4		7
				3				np									6 n 3 n2 3 3
	1					3n2 4n 7 6 n
																						n		n2
																						n		n2
	6			lim							lim
				lim		6 2n5 3n2 9					lim										3		9
					n							n 6 n5							6 2
					n
																					3		5
																				n			n
				1 2		5			3 3	4		7							1 2 5			3 3			4		7			3	3
				1 2		5			3 3	n		2							1 2 5			3 3					2			3
lim n6 n3 n 6							lim			n		n				lim n6 3 6																0.
lim n6 n3 n 6							lim									lim n6 3 6														6		0.
										3			9												3			9		6	2
	n						n 6 2			3			9					n				6 2			3			9			2
	n						n 6 2			3			5					n				6 2			3			5
										n			n
			Выполнение						условий								предельного						признака								сравнения

происходит при сравнении с расходящимся рядом Дирихле ( p 16 1)

значит, знакочередующийся ряд абсолютно расходится, но является условно сходящимся.

Замечание. Исследование знакочередующегося ряда, содержащего в общем члене факториал, по признаку Лейбница усложнено вычислением предела факториала (нужно использовать формулу Стирлинга). В этом случае можно сразу исследовать ряд на абсолютную сходимость и, если она имеет место, то исследование завершается, т.к. абсолютно сходящийся ряд сходится условно и подавно.

18.2.Функциональные ряды

18.2.1. Краткие сведения из теории


Область сходимости	функционального ряда	Un (x) , где
Un(x), n=1,2,3… - функции		n 1
Un(x), n=1,2,3… - функции	одной переменой, есть	совокупность

281

значений переменной x, при которых образующиеся при этом числовые ряды, сходятся. Сумма ряда в области сходимости является

некоторой функцией от x: f (x) Un (x) , для x из области

n 1

сходимости.

Область сходимости определяется решением неравенства на основе достаточных признаков Даламбера или радикального признака:


lim	Un 1		(x)	1;	lim n	U n (x)	1.
	Un 1		(x)
		Un (x)
n		Un (x)			n

Принадлежность концов интервала к области сходимости определяется на основе исследования числовых рядов, получающихся после подстановки значений этих концов в функциональный ряд.

В частном случае, если функциональный ряд представляет

собой

степенной ряд вида an (x x0 )n , область сходимости по

n 0

приведенным формулам определяется:

lim n

(x x

x x

lim n

, или

x x

lim n

Здесь

R lim

, R

, где R – радиус сходимости.

an 1

lim n

Интервал сходимости получается в результате решения

неравенства:

x x0

<R,

x0-R< x < x0+R.

Если функция f(x) в точке а непрерывна вместе со своими производными, то в окрестности точки x=a справедлива формула -

ряд Тейлора:

		(n)	(a)
f x	f		(a)	(x a)n
f x				(x a)n
n 0		n!
n 0
f (a) f / (a)(x a)					f // (a)	(x a)2	f /// (a)	(x a)3	f (n)(a)	(x a)n .
f (a) f / (a)(x a)					2!	(x a)2	3!	(x a)3	n!	(x a)n .
При a=0		ряд Тейлора преобразуется в ряд Маклорена :

282

(n)

(0)

///

(0)

(n)

(0)

f x

xn f (0)

f / (0)x

xn .

n 0

283

Таблица рядов Маклорена для некоторых функций.

ex 1 x

n 0

x2n 1

sinx x

( 1)n

(2n 1)!

n 0

x2n

cos x 1

( 1)n

(2n)!

n 0

m(m 1)

m(m 1)(m 2) 3

(1 x) 1 mx

m(m 1)(m 2) (m n 1)

m(m 1) (m n 1)

n 0

xn 1

ln(1 x) x

( 1)n

(n 1)

n 0

x2n 1

arctgx x

( 1)n

2n 1

n 0

x x3

x2n 1

sh x

(2n 1)!

n 0

x2n

ch x 1

(2n)!

n 0

В скобках указаны интервалы сходимости рядов.

( x ) ;

( 1 x 1) ;

( x ) ;

( x ) .

Разложение функций в ряд Тейлора позволяет с любой степенью

точности приближенно вычислить значение функции в точке, пределы, определенный интеграл, найти частное решение дифференциального уравнения (задачу Коши) и другие.

18.2.2 Решение типовых примеров с использованием

функциональных рядов

					n
Пример 8. Найти область сходимости ряда					x 2			.


Решение:				n 1 3n 2 5n
	Для	определения	области			сходимости
функционального	ряда	используем признак Даламбера					числового

284

ряда, при этом предел вычисляется от выражений функционального

ряда взятых по модулю: lim U n 1 x 1.

n U n x

Un 1 x

lim

x 2 n 1 3n 2 5n

lim

3n 2

x 2 n 1

lim

3 n 1 2 5n 1 x 2 n

5n 1

x 2 n

3n 1

n 3

1 lim

lim

x 2

n 3

x 2

-5 x 2 5;

5 2 x 5 2;

7 x 3.

Тот же результат можно получить по приведенной ранее

формуле для радиуса сходимости (но только для этого ряда).

;

an 1

3n 2 5n

3 n 1 2 5n 1

3n 1 5n 1

5n 5

R lim

lim

3n 2 5n

n 1

x 2

7 x 3.

Исследуем ряд на концах найденного интервала сходимости (подставляем значение концов интервала в функциональный ряд).

x 7;

1 n

3n 2 5n

3n 2

n 1 3n 2 5n

n 1

Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница:

lim

U n

lim

n 3n 2

Значит

конец интервала

(точка)

x 7

входит в область

сходимости ряда.

x 3;

1 .

n 1

3n 2 5n

n 1

3n 2

Данный числовой ряд с положительными членами расходится по признаку сравнения:

lim Un

n p

lim

3n 2

lim

p 1

lim

n Vn

n 1

n 3n 2

n p

(ряд Дирихле

при p 1

расходится).

n 1

285

								Значит конец интервала																									x 3					не входит в область сходимости
ряда.
								Окончательный ответ: 7 x 3.
								Пример											9.									Найти									область										сходимости											ряда
											4n3 2n 3

				2n3 n2 3 3x2 10x 9 n
n 1				2n3 n2 3 3x2 10x 9 n
								Решение: Методика решения как в примере 8.
																														4 n 1 3 2 n											1 3
																														4 n 1 3 2 n											1 3
lim				U n 1 x											lim								2 n 1 3										n 1 2 3							3x2 10x 9 n 1
				U n 1 x																			2 n 1 3										n 1 2 3							3x2 10x 9 n 1
						U n					x																								4n3 2n 3
n						U n					x						n																		4n3 2n 3

																													2n3 n2 3 3x2 10x 9 n
										4 n 1 3											2 n 1 3												2n3 n2						3 3x2								10x 9 n
lim										4 n 1 3											2 n 1 3												2n3 n2						3 3x2								10x 9 n
lim									4n3 2n 3														2 n 1 3 n 1 2 3																		3x2 10x 9 n 1
			n						4n3 2n 3														2 n 1 3 n 1 2 3																		3x2 10x 9 n 1
									4 n 1 3 2 n 1 3
lim									4 n 1 3 2 n 1 3
			n								4n3 2n 3																												3x2 10x										9 n
lim													2n3					n2 3													lim
													2n3					n2 3
									2 n 1 3									n 1 2 3																	3x2 10x 9 n 3x2														10x 9
		n							2 n 1 3									n 1 2 3													n				3x2 10x 9 n 3x2														10x 9
									3					1		3						1						1			3																		1		3


							n				4 1								2																											3
							n				4 1								2																											3
															n							2						3				3													n			2	n		n3
lim															n						n						n				n			lim															n		n3
lim																					2			3										lim																						2
	n													3							2			3										n												3										2
													n			4																						3						1					1			1					3
													n			4																						3						1					1			1					3
																					2					3												n
																					2					3													2 1																		3
																				n n																			2 1						n												3
lim											1																																						n			n3						n
																																																	n			n3						n


					3x2						10x					9
	n				3x2						10x					9
									1		3			1							1						3												1				3
		4 1										2																										2																	1
																				3						3
																																										3
														2																												3
											4			2				3																1		3			1					1				2	3		3x		2	10x			9
														2				3																		3															3x			10x			9


														2					3											2 1
														2					3																														3
																																												3					3
																																												3
									1						1.
			3x2 10x 9																						3x2 10x 9															имеет										дискриминант
			3x2 10x 9
								Трехчлен

D 100 4 3 9 100 108 8 0 .

286

Т.к. коэффициент при x2 равен 3 0 ,то этот трехчлен при любом x положительный, значит модуль можно опустить и остается

решить неравенство:

3x2 10x 9

3x2 10x 8

1 0;

1 3x2 10x 9 0;

3x2 10x 8

3x2 10x 9

Т.к. знаменатель при любом x положительный, остается решить

неравенство: 3x

10x 8 0.; 3 x 2 x

>0. Методом

интервалов рис.18.1:

		+					-			+
				-2						4
										3
						Рис.18.1					x 4 .
Получаем два интервала сходимости: x 2;											x 4 .
												3
Исследуем поведение функционального ряда на концах
интервала сходимости.
При подстановке в функциональный ряд значений обоих концов
интервалов образуется один и тот же числовой ряд												4n3 2n	3	.

												2n3 n2	3
											n 1	2n3 n2	3
Действительно: (3x2 10x 9)								x 2	3( 2)2 10( 2) 9 1;
Действительно: (3x2 10x 9)									3( 2)2 10( 2) 9 1;
3x2 10x 9				4	2				4


		4	3	3		10			3	9 1.
	x	3
	x	3

	Этот числовой ряд расходится по необходимому признаку:
			3			2				3					2		3
				n	4

		4n3 2n 3					n2				n3			4 2 3					4 .
limUn lim		4n3 2n 3	lim											4 2 3

					2
n	n 2n3 n2 3		n n3		2				2			3		2		2		3	0
	n 2n3 n2 3		n n3		3				4			6		3		4		6
					n			n				n
	Значит, концы интервалов не входят в интервалы сходимости.
	Окончательно область				сходимости								исследуемого						ряда:

x; 2 4 ; .

Пример 10. Найти область сходимости ряда

	2n		sin 2n x.
7	4n3
		3

Решение: Область сходимости определяем по методике примера 8.

287

Un 1 x

2n 1 sin2(n 1) x

7 4(n

2 x 7

4n3 3

lim

2n 1 sin2n

Un x

2n sin2n

2n sin

2n x 7

4(n 1)3 3

7 4n3 3

n3 7 4

2n 2

sin2n xsin 2 x

lim

sin2

sin2n x

4 1

sin2 x

1 ;

sin x

;

sin x

;

k x

k ,

k 0, 1, 2,

Исследуем ряд на концах интервала сходимости.

Подставим значения обоих концов интервала в выражение

sin2n x :

1 2

sin

Это значит, на концах интервала сходимости исходный

функциональный ряд становится одним и тем же числовым рядом.

1 .

n 1

7 4n3 3

n 17 4n3 3

Исследуем на сходимость этот ряд.

Необходимый

признак

limUn

lim

выполняется.

n 7 4n3

По признаку сравнения

7 4n3 3

n p

lim

n V

7 n3 7

n p

288

Ряд расходится, т.к. ряд Дирихле		1	при p	3	1
				7

	n 1n p

расходится. Значит концы интервала не входят в область сходимости.

Область сходимости ряда		k x		k ,	k 0, 1, 2, .
	4		4

Аналитическое решение поясняется графиком (рис.18.2):

0,7 sin x sin 2 x

0,5

Рисунок 18.2

Замечание. Последний пример показывает, что для его решения требуется уметь решать тригонометрические неравенства. В заданиях на контрольные работы встретятся примеры, при решении которых потребуется так же решать логарифмические и показательные неравенства.

Пример 11. Вычислить интеграл

0,5	1	cos	x	dx с точностью ε=0,001.
		x		dx с точностью ε=0,001.
0		x

Решение: Используем разложение косинуса в ряд Маклорена:

cosU 1

U 2

U 4

U 6

В нашем случае

тогда

x ,

x 4

x 6

cos x 1

1 cos

x 1 1

1 cos

289

0,5		1 cos x			0,5	1			x	x	2	x	3				x	2	x	3	x		4	0,5
0,5					0,5						2		3					2		3			4	0,5
															x
				dx										dx
				dx										dx
			x			2!		4!		6!		8!				2!	2 4!		3 6!		4	8!
0			x		0	2!		4!		6!		8!				2!	2 4!		3 6!		4	8!		0
					0																			0
	0,5		0,52		0,53	0,54			0,25 0,0052 0,000058 0,25													0,0052
		2!	2 4!		3 6!	4	8!

0,2448.

Для обеспечения заданной точности 0,001 достаточно взять

два первых члена ряда. Третий член ряда по абсолютной величине меньше 0,001 , и, начиная с этого члена и далее, ряд можно

отбросить. Этот расчет основан на свойстве знакочередующегося ряда: при замене суммы ряда частичной суммой происходит ошибка, не превышающая по абсолютной величине значения первого из отброшенных членов.

Замечание. Если при вычислениях степенной ряд окажется знакопостоянным, то обеспечение заданной точности вычислений нужно производить по оценке остаточного члена в форме

Лагранжа: R (x)	x a n 1	f n 1 , который позволит выбрать
	n 1 !
n

необходимое число членов ряда n .

Пример 12. С помощью рядов решить дифференциальное

уравнение:

y 0;

y(0) 0,

y (0) 1.

Решение:

Решение ДУ

находится

в виде ряда Тейлора

(Маклорена):

y (a)

y(n) (a)

y(x) y(a)

(x a)

(x a)2

(x a)n ,

где точка x a

определяется из начальных условий (в приведенном

примере a 0 ).

Значения функции и её производных для ряда Тейлора находятся из начальных условий непосредственно для первых членов и для остальных членов ряда путем последовательного дифференцирования исходного ДУ, разрешенного относительно старшей производной и вычисленной в точке x a . Для тех значений x , для которых получившийся ряд сходится, он представляет решение ДУ.

y(a) y(0) 0;

(a) y

(0)

y ;

0 0 ;

2 y

;

x y

0 2 ;

y 4 2 y y xy 3y xy ;

y 4 0 0 ;

290

<<< < Предыдущая 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 4829 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.04.2025155.14 Кб3Лекция №6 Организация налогового контроля.doc
#
23.12.2018167.94 Кб103лекция_Э1.doc
#
23.12.2018207.87 Кб87Леонидова Эконом теория Метод указ по выполн ку....doc
#
28.03.2015172.15 Кб87люда1.docx
#
28.03.2015326.87 Кб111маркетинг Вася.docx
#
15.02.20154.26 Mб210Математика Сизов 2011.pdf
#
28.03.2015443.96 Кб167МДК .01.01. ТПП Квал. экзамен.docx
#
01.05.2025174.59 Кб2МДК 01.02 (билеты).doc
#
12.03.201646.86 Кб36менеджмент КР.docx
#
15.02.2015556.03 Кб38менеджмент.doc
#
12.03.20161.24 Mб150Метод КР по МДК.pdf