- •10. Функции нескольких переменных
- •10.1. Понятие функции нескольких переменных, предел и непрерывность функции нескольких переменных
- •10.2. Частные производные
- •10.3. Дифференциал функции нескольких переменных
- •10.4. Экстремум функции нескольких переменных
- •10.5. Условный экстремум
- •10.6. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •10.7. Метод наименьших квадратов
10.3. Дифференциал функции нескольких переменных
Полным приращением функциив точке, соответствующим приращениям аргументов, называется:
.
Функция называетсядифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде
,
где ,– числа,– бесконечно малая более высокого порядка, чем.
Дифференциалом 1-го порядка функциив точкеназывается главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов, т.е.
.
Для дифференциала 1-го порядка функции справедлива следующая формула:
. (10.1)
При достаточно малом для дифференцируемой функциисправедливы следующие приближенные равенства:
; . (10.2)
Дифференциалом 2-го порядка функцииназывается дифференциал от ее дифференциала. Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков. Дифференциал порядкаm символически выражается формулой
,
которая раскрывается по биномиальному закону. Например, для функции двух переменных дифференциал 2-го порядка вычисляется по формуле:
. (10.3)
Пример 5. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции и проверить равенство.
Решение. Найдем частные производные 1-го порядка этой функции:
;
.
Используя формулу (10.1), найдем дифференциал 1-го порядка:
.
Найдем частные производные 2-го порядка:
; ;
; .
Отметим, что справедливо равенство .
Используя формулу (10.3), найдем дифференциал 2-го порядка:
.
Пример 6. С помощью дифференциала вычислить приближенно , исходя из значения функциипри.
Решение. Вычислим значение функции при :
.
Вычислим приближенно приращении функции , заменяя его дифференциалом (формула 10.2), при:
.
Таким образом, используя формулу 10.2, получаем:
.
10.4. Экстремум функции нескольких переменных
Пусть функция u=f(M) определена в области D и точка M0 является внутренней точкой этой области. Говорят, что функция f(M) имеет в точке M0 экстремум (максимум или минимум), если существует такая окрестность точки M0 , в которой для любой точки M из этой окрестности выполняется неравенство
.
Из определения экстремума следует, что если функция имеет экстремум в точке M0 , то полное приращение этой функции в точкеM0 удовлетворяет в некоторой окрестности точки M0 одному из следующих условий:
И обратно, если в некоторой окрестности точки M0 выполняется одно из этих неравенств, то функция f(M) имеет в точке M0 экстремум.
Если в точке в точке M0 функция f(M) имеет экстремум, то в этой точке ее частные производные либо равны нулю, либо не существуют
(10.4)
Точки, в которых выполняются условия (10.4), называются стационарными точками функции u=f(M). Точки, в которых частные производные равны нулю или не существуют, называются критическими.
Рассмотрим функцию двух переменных u=f(x,y) в окрестности стационарной точки M0(x0, y0) . Обозначим
.
Достаточные условия существования точек экстремума для функции двух переменных:
1) Если >0, то в точке M0 экстремум, причем – максимум при A11<0, минимум при A11>0.
2) Если <0, то в точке M0 экстремум отсутствует.
3) Если =0, то требуется дополнительное исследование на наличие экстремума данной функции в точке M0.
Пример 7. Найти точки экстремума функции
.
Решение. Найдем стационарные точки данной функции, для этого вычислим частные производные функции и приравняем их нулю
Решая эту систему уравнений, находим, что существует четыре стационарных точки:
Теперь определим, есть ли в этих стационарных точках экстремумы. Для этого вычислим A11, A22, A12 и . Поскольку
,
то для вычисления этих коэффициентов в найденных стационарных точках составим таблицу:
-
M1
M2
M3
M4
A11
10>0
–10<0
–2
–2
A22
2
–4/3
0
0
A12
0
0
4
–4
20>0
40/3>0
–16<0
–16<0
min
max
экстремума нет
экстремума нет
Таким образом, в точке M1(0; 0) функция имеет минимум, в точке M2(–5/3; 0) – максимум, в точках M3 и M4 экстремума нет.