8.7. Интегрирование тригонометрических функций
1. Интегралы вида
гдеm иn
– целые числа.
Если хотя бы одно из чисел m иn – нечетное положительное, то применяют подстановкуcosx=z, приm– нечетном иsinx=z, приn– нечетном.
Найти интеграл
Применяем подстановку sinx=z,cosx= dz
Если mиn– четные положительные, то степени понижаются с применением формул вида:
и
Найти интеграл
Если m иn – четные и хотя бы один из них отрицательный, то применяют подстановкуtgx =z илиctgx=z.
Например,
2.
Интегралы вида
Для нахождения данных интегралов применяют формулы из тригонометрии
Найти интеграл:
3. Интегралы вида
где R (sinx, cosx) – рациональная функция относительноsinxиcosx.
Для нахождения данных интегралов применяют подстановку:
при этом
Найти интеграл
Применяя указанную формулу, получим
Задание 8.7.Найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
8.8. Интегрирование некоторых иррациональных функций
1. Интегралы вида
гдеR (x,
y, z,
…)– рациональная функция своих
аргументов,m1,
n1, m2,
n2,…
- целые числа, вычисляются с помощью
подстановок , соответственно
где s – общий
знаменатель дробей
.
Пример: Найти интеграл
.
Производим подстановку x + 2 = z6, dx = 6 z5 dz.
Интегралы вида
сводятся к интегралам от рациональной функции относительно sint иcost, если применить соответственно подстановки:
x = a sint или x = a cost ,
x = a tg t или x = a ctgt ,
x = a sect или x = a cosect .
Пример: Найти интеграл
Положим x =tgt
, тогда
Выразим sint через заданную переменнуюx :
Следовательно,
Задание 8.8.Найти интегралы:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
