Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Красноярский институт железнодорожного транспорта, филиал ИрГУПС

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

12 Кратные интегралы.doc

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

3.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Решение. Область проецируется на плоскостьв треугольник, ограниченный прямыми,,. По формуле (12.5) имеем

Замена переменных в тройном интеграле производится по формуле

где - область, в которую преобразовалась областьпри отображении,,;-подынтегральная функция, преобразованная к новым переменным ,,;- якобиан функций,,по переменным,,:

В частности, при переходе от прямоугольных координат ,,кцилиндрическим координатам ,,(рис. 12.14), связанным с,,формулами

, ,(,,),

якобиан преобразования , поэтому

. (12.6)


Рис. 12.14	Рис. 12.15

При переходе от прямоугольных координат ,,ксферическим координатам ,,(рис. 12.15), связанным с,,формулами

, ,

(,,),

якобиан преобразования , поэтому

. (12.7)

Пример 11. Вычислить тройной интеграл , где областьограничена параболоидоми плоскостью(рис. 12.16).

Рис. 12.16

Решение. Данная область

проецируется на плоскость

в круг, ограниченный окружностью

(ее уравнение получается в результате исключения

из уравнений параболоида

и плоскости

Тройной интеграл удобнее вычислять в цилиндрических координатах. Уравнение параболоида при этом запишется следующим образом: , т.е.. В областикоординаты,иизменяются так:,,; подынтегральная функция. Таким образом, по формуле (12.6) находим

Рис. 12.17

Пример 12. Вычислить тройной интеграл

, где область

ограничена поверхностями

Решение. Поскольку - область, ограниченная верхней полусферой и конусом (рис. 12.17), удобно перейти к сферическим координатам. Уравнение полусферы при этом запишется как, а конуса -. В областикоординаты изменяются следующим образом:,,. Таким образом, по формуле (12.7) находим

Объем тела, занимающего область , определяется по формуле

Рис. 12.18

Пример 13. Найти объем тела, ограниченного поверхностями

Решение. Данное тело ограничено сверху плоскостью , снизу – параболоидом(рис. 12.18). Объем тела находим, используя цилиндрические координаты:

Масса тела, занимающего область , вычисляется по формуле

где - плотность тела.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей ,,вычисляются по формулам

, ,

Координаты центра тяжести определяются по формулам

, ,.

Моменты инерции относительно координатных осей ,,; моменты инерции относительно координатных плоскостей,,и момент инерции относительно начала координат вычисляются соответственно по формулам

, ,

;

, ,

;

Рис. 12.19

Пример 14. Найти координаты центра тяжести однородного призматического тела, ограниченного плоскостями

(рис. 12.19).

Решение. Найдем массу рассматриваемого тела:

Статические моменты:

;

Тогда координаты центра тяжести:

, ,.

12.3. Задачи

Начертить области интегрирования и изменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах:

1.	.
2.	.
3.	.
4.	.
5.	.
6.	.

Вычислить двойные интегралы:

Вычислить двойные интегралы по областям , ограниченным указанными линиями:

, где - область, ограниченная прямыми,и.
, где - область, ограниченная параболамии.
, где - область, ограниченная прямыми,и гиперболой.
, где - область, ограниченная линиями,,.

Переходя к полярным координатам, вычислить двойные интегралы:

, где область - круг.
, где область ограничена полуокружностьюи осью.
, где область ограничена линиями,.
, где область ограничена окружностью.
, где область ограничена линиями,,,.
Вычислить двойной интеграл

, .

Найти площади плоских фигур, ограниченных заданными линиями

19.	, ,.
20.	, .

, ,,.
, ,,.

С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Плоскостями координат, плоскостями ,и параболоидом вращения.
Цилиндром и плоскостями,,.
Плоскостями координат, плоскостью и цилиндром.
Цилиндром , параболоидоми плоскостью.

Вычислить площадь:

Части плоскости , находящейся вI октанте (,,).
Части поверхности , вырезанной цилиндроми расположенной вI октанте.

Найти массу плоской пластинки с плотностью распределения массы , ограниченной заданными линиями:

, ,,().
, ,,,(,).

Определить центр тяжести однородной пластинки, ограниченной заданными линиями:

31.	, ,,.
32.	, .

Вычислить моменты инерции фигуры, ограниченной заданными линиями, относительно осей и:

33.	, ,.
34.	, ,.

Вычислить тройные интегралы по областям , ограниченным указанными поверхностями:

, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,.
, ,,,.

С помощью замены переменных вычислить тройные интегралы по областям , ограниченным указанными поверхностями:

, ,.
, ,,,.
, ,,.
, часть шара , находящаяся вI октанте.
, .
, ,.

Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

, ,,.
, .
, ,.
Найти массу куба ,,, если плотность в точке.

Найти координаты центра тяжести однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:

, ,,,.
, ,,(,).
Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного поверхностями,,,,.
Найти моменты инерции относительно координатных осей и начала координат однородной пирамиды, ограниченной плоскостями ,,,.

Задание 12.1. Начертить области интегрирования и изменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах:

1.	а)	.	б)	.
2.	а)	.	б)	.
3.	а)	.	б)	.
4.	а)	.	б)	.
5.	а)	.	б)	.
6.	а)	.	б)	.
7.	а)	.	б)	.
8.	а)	.	б)	.
9.	а)	.	б)	.
10.	а)	.	б)	.
11.	а)	.	б)	.
12.	а)	.	б)	.
13.	а)	.	б)	.
14.	а)	.	б)	.
15.	а)	.	б)	.
16.	а)	.	б)	.
17.	а)	.	б)	.
18.	а)	.	б)	.
19.	а)	.	б)	.
20.	а)	.	б)	.
21.	а)	.	б)	.
22.	а)	.	б)	.
23.	а)	.	б)	.
24.	а)	.	б)	.
25.	а)	.	б)	.

Задание 12.2. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями. Областьизобразить на чертеже:

а) ,,,.

б) ,,,,.

а) ,,,,.

б) ,,,.

а) ,,,,.

б) , , ,.

а) ,,,,.

б) , , ,.

а) ,,,,.

б) , ,, .

а) ,,,,.

б) , ,,.

а) ,,,,.

б) , ,().

а) , , .

б) ,,,,.

а) ,,,,.

б) , ,().

а) ,,.

б) , ,,.

а) ,,,.

б) , , ,.

а) , , ,.

б) ,,,.

а) ,,, .

б) ,,,,.

а) ,,,,.

б) , ,.

а) , ,.

б) ,,,.

а) ,,,.

б) , ,.

а) ,,,().

б) , , .

а) ,,,.

б) , ,.

а) , ,,.

б) ,,,.

а) ,,,.

б) ,,,.

а) , ,.

б) ,,,.

а) ,,,,.

б) , ,, .

а) ,,,,.

б) , ,.

а) ,,,,.

б) , , ,.

а) ,,,.

б) , ,.

Задание 12.3. Вычислить двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями, с помощью перехода к полярным координатам. Сделать чертеж области:

а) , ,.

б) , ,,.

а) ,,, .

б) , ,.

а) ,,.

б) , ,.

а) ,,.

б) , ,.

а) , ,.

б) , .

а) , ,.

б) , ,,.

а) ,.

б) , ,.

а) ,,.

б) , ,.

а) , ,.

б) , ,.

а) ,,,.

б) , ,, ,.

а) , ,,.

б) , ,, ,.

а) , ,.

б) , ,, .

а) , ,,.

б) , ,, .

а) , ,, .

б) , .

а) ,.

б) , ,,.

а) , ,.

б) , ,.

а) , ,.

б) , .

а) , ,, ,.

б) , ,, .

а) , ,.

б) , .

а) , .

б) , .

а) , ,, ,.

б) , .

а) , .

б) , ,,.

а) , ,.

б) , ,,,.

а) , ,.

б) , ,.

а) , ,.

б) , .

Задание 12.4. С помощью двойного интеграла вычислить площадь области , ограниченной указанными линиями; сделать чертеж:

1.	, ,.	2.		, ,.
3.	, ,,.	4.		, .
5.	, .	6.		, .
7.	, .	8.		,,.
9.	,,,.
10.	,,.		11.	,,.
12.	,.		13.	,,,.
14.	,,,.		15.	,
16.	, ,.		17.	, ,.
18.	, ().		19.	, ().
20.	, ().		21.	, ().
22.	, ().		23.	, ,.
24.	, ,.		25.	, ,.

Задание 12.5. С помощью двойного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,.
, .
, ,,.
, .
, ,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,.
, ,.
, ,.
, .
, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,.
, ,,.
, ,, ,.
, ,.
, ,(,,).
, ,,().
, ,(,).
, (,,).

Задание 12.6. Вычислить площадь:

Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Части плоскости , лежащей вI октанте.
Части плоскости , отсекаемой плоскостями,,,.
Поверхности цилиндра , отсеченной плоскостями,,.
Части плоскости , вырезанной цилиндром.
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Поверхности цилиндра , вырезанной цилиндроми плоскостью.
Части цилиндра , вырезанной цилиндром().
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Части конуса , заключенной внутри цилиндра.
Части сферы , заключенной внутри цилиндра().
Поверхности , вырезанной цилиндром.
Части сферы , заключенной внутри цилиндра().
Поверхности конуса , отсеченной плоскостями,(, ,).
Поверхности конуса , расположенной внутри цилиндра.
Части параболоида , вырезанной цилиндром.
Боковой поверхности конуса , заключенной между плоскостямии.
Части параболоида , вырезанной цилиндром(, ,).
Части сферы , заключенной внутри конуса().
Поверхности , расположенной внутри цилиндра.
Части конуса , вырезанной цилиндром().
Части сферы , вырезанной цилиндром().
Поверхности параболоида , расположенной внутри цилиндра.
Части плоскости , вырезанной цилиндром.
Поверхности конуса , расположенной внутри цилиндра().

Задание 12.7. Найти массу пластинки плотности , ограниченной заданными линиями:

1.	, ,,().
2.	, ,,,.
3.	, ,(,).
4.	, ,().
5.	, ,(,).
6.	, ,(,).
7.	, ,,.
8.	, ,,.
9.	, ,,().
10.	, ,(,).

Найти момент инерции относительно начала координат однородной пластинки, занимающей область, ограниченную заданными линиями:

11.	.
12.	, ,.
13.	, ,.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, занимающей область, ограниченную заданными линиями:

14.	, ,.	15.	, .
16.	, .	17.	, ,.
18.	, ,,.	19.	(,).
20.	().	21.	, .
22.	, ,,.
23.	, ,.	24.	, .
25.	, (,).

Задание 12.8. Вычислить тройные интегралы по областям, ограниченным указанными поверхностями:

, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,.
, ,,,,.
, ,,,,,.
, ,,,.
, ,,,,,.
, ,,.
, ,,,,,.
, ,(,).

Задание 12.9. С помощью тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

, .
, .
, ,(внутри цилиндра).
, .
, ,(внутри цилиндра).
, .
, .
, .
, ,,.
, ,,.
, ,,,.
, ,,.
, .
, ,(вне цилиндра).
, .
, ,.
, ,.
, ,(внутри цилиндра).
, .
, (внутри параболоида).
, .
, .
, .
, ,,.
, ,,,.

Задание 12.10. Найти координаты центра тяжести однородного тела, занимающей область, ограниченную заданными поверхностями:

1.	,,,.
2.	,.
3.	,.
4.	,,,.
5.	,(,).
6.	,,,,.
7.	,,,,,.
8.	,,,,.
9.	,,,.
10.	,,,,.

Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:

11.	,,,,.
12.	,,.

Найти момент инерции относительно оси однородного тела, ограниченного заданными поверхностями:

13.

Найти массу тела с объемной плотностью , ограниченного заданными поверхностями:

, ,,,,,.
, ,,.
, ,,,,.
, ,,,,.
, ,,,,.
, ,,,(,).
, ,,(,).
, ,(,).
, ,,(,).
, ,,(,).
, ,().
, ,(,).

Диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области

242

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.02.20153.19 Mб2311 Дифференциальные уравнения.doc
#
15.02.20153.64 Mб1811 Дифференциальные уравнения1.doc
#
23.09.2019606.21 Кб1711. Трансформатор.doc
#
15.02.20152.17 Mб34117.pdf
#
12.03.2016566.23 Кб16011; 62.docx
#
15.02.20153.58 Mб2412 Кратные интегралы.doc
#
12.03.2016592.9 Кб351222035 (1).doc
#
15.02.2015901.12 Кб181284_1339879007.doc
#
15.02.20151.64 Mб1713 ряды.doc
#
15.02.20151.61 Mб1613 ряды1.doc
#
12.03.2016153.58 Кб613; 60.docx

1.	а)	.	б)	.
2.	а)	.	б)	.
3.	а)	.	б)	.
4.	а)	.	б)	.
5.	а)	.	б)	.
6.	а)	.	б)	.
7.	а)	.	б)	.
8.	а)	.	б)	.
9.	а)	.	б)	.
10.	а)	.	б)	.
11.	а)	.	б)	.
12.	а)	.	б)	.
13.	а)	.	б)	.
14.	а)	.	б)	.
15.	а)	.	б)	.
16.	а)	.	б)	.
17.	а)	.	б)	.
18.	а)	.	б)	.
19.	а)	.	б)	.
20.	а)	.	б)	.
21.	а)	.	б)	.
22.	а)	.	б)	.
23.	а)	.	б)	.
24.	а)	.	б)	.
25.	а)	.	б)	.

1.	а)	.	б)	.
2.	а)	.	б)	.
3.	а)	.	б)	.
4.	а)	.	б)	.
5.	а)	.	б)	.
6.	а)	.	б)	.
7.	а)	.	б)	.
8.	а)	.	б)	.
9.	а)	.	б)	.
10.	а)	.	б)	.
11.	а)	.	б)	.
12.	а)	.	б)	.
13.	а)	.	б)	.
14.	а)	.	б)	.
15.	а)	.	б)	.
16.	а)	.	б)	.
17.	а)	.	б)	.
18.	а)	.	б)	.
19.	а)	.	б)	.
20.	а)	.	б)	.
21.	а)	.	б)	.
22.	а)	.	б)	.
23.	а)	.	б)	.
24.	а)	.	б)	.
25.	а)	.	б)	.

1.	а)	.	б)	.
2.	а)	.	б)	.
3.	а)	.	б)	.
4.	а)	.	б)	.
5.	а)	.	б)	.
6.	а)	.	б)	.
7.	а)	.	б)	.
8.	а)	.	б)	.
9.	а)	.	б)	.
10.	а)	.	б)	.
11.	а)	.	б)	.
12.	а)	.	б)	.
13.	а)	.	б)	.
14.	а)	.	б)	.
15.	а)	.	б)	.
16.	а)	.	б)	.
17.	а)	.	б)	.
18.	а)	.	б)	.
19.	а)	.	б)	.
20.	а)	.	б)	.
21.	а)	.	б)	.
22.	а)	.	б)	.
23.	а)	.	б)	.
24.	а)	.	б)	.
25.	а)	.	б)	.