12. Кратные интегралы

12.1. Двойной интеграл

Двойным интегралом от функции по областиназывается предел интегральной суммы при стремлении к нулю наибольшего из диаметров^ всех элементарных областей:

.

При вычислении двойного интеграла в декартовых координатах (тогда двойной интеграл, как правило, записывается в виде ) различают следующие два случая.

1. 

   Рис. 12.1

   Область интегрирования ограничена слева и справа прямымии(), а снизу и сверху – непрерывными кривымии, гдеи каждая из кривых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рис. 12.1). Такая область называется простой относительно оси.

Тогда вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по формуле

. (12.1)

Здесь внутренний интеграл берется по переменнойпри фиксированном, но произвольном значениина отрезке. В результате получается некоторая функция от, которая затем интегрируется в пределах отдо.

2. 

   Рис. 12.2

   Область интегрирования ограничена снизу и сверху прямымии(), а слева и справа – непрерывными кривымии, где, каждая из кривых пересекается с горизонтальной прямой только в одной точке (рис. 12.2). Такая область называется простой относительно оси.

Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле

, (12.2)

причем сначала вычисляется внутренний интеграл , в которомсчитается постоянным.

В более общем случае область интегрирования путем разбиения на части сводится к основным областям.

Пример 1. Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной параболойи прямымии(рис. 12.3).

Рис. 12.3

Решение. В данном случае область является простой как относительно оси, так и относительно оси. Однако левая и правая границы областисоставлены из двух участков, поэтому для вычисления интеграла по формуле (12.2) необходимо разбить областьна три подобласти:(рис. 12.3). В то же время нижняя и верхняя границы представлены каждая своим уравнением. Поэтому данный интеграл удобнее вычислять по формуле (12.1):

.

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в интеграле

.

Рис. 12.4

Решение. Область интегрирования ограничена линиями,,,(рис. 12.4). Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух подобластей, ограниченную слева и справа ветвями параболы(), и, ограниченную дугами окружности(). Тогда

.

Иногда вычисление двойных интегралов упрощается с помощью замены переменных. Замена переменных в двойном интеграле производится по формуле

, (12.3)

где - область, в которую преобразуется областьпри отображении,;- подынтегральная функция, преобразованная к новым координатам;-якобиан функций ,:

.

Часто используется частный случай замены переменных – полярные координаты. При этом в качестве иберутся координатыи, связанные с декартовыми формулами

, (,).

Формула замены в этом случае переменных принимает вид

, (12.4)

где - область в полярной системе координат, соответствующая областив декартовой системе координат.

Пример 3. Вычислить двойной интеграл , где- область, ограниченная прямыми,,,(рис. 12.5).