Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

antipov_ng

.pdf
Скачиваний:
19
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
782.21 Кб
Скачать

заданного проекциями вершин A1 B1 C1 и А2В2С2 (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к П1.

1) Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет в пространстве параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника A1B1C1 проводят ось x1 новой системы плоскостей проекций П14 перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали h1. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций П4.

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей П12. При соединении новых проекций А4, B4, С4 получают прямую линию, в которую спроецировалась плоскость треугольника ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции П1 - угол α . На чертеже это угол между осью x1 и проекцией С4А4В4.

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции П5, параллельную плоскости

треугольника, т.е. новую ось x2 проводят параллельно С4А4В4 на произвольном расстоянии. Получают новую систему П45. Полученный треугольник А5В5С5 и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси

(рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого на фронтальной проекции чертежа проводят горизонталь h2 через точку А2. Затем строят горизонтальную проекцию h1 горизонтали h через точки A1 и 11 Через точку 1 проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к П1. На фронтальной проекции через вершины А2 и В2 проводят горизонтальные плоскости уровня 2 и Σ2. Вершина С принадлежит плоскости П1 поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость

проекций П1. На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию i1 поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость П2 она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что h'1 займет новое положение - перпендикулярно к оси х. При этом на фронтальной проекции

точка А2 перемещается по следу плоскости Σ2 до пересечения с линией связи, проведенной через

точку A'1. На горизонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С вокруг оси так,

чтобы |

A1 B1C1 |=| A`1 B`1 C`1

|. На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу

плоскости 2, а вершина С -

по оси х. Соединив новое положение всех вершин треугольника

ABC, получают проекцию А'2В'2С'2, сливающуюся в линию. Этим достигают проецирующего положения треугольника ABC. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к П1 - α .

На втором этапе проводят ось i` через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом С'2 = /'2, а горизонтальная проекция i'1 пройдет через проекцию С'1. Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки А'2 и В'1, вокруг i`2 = С'2 до совмещения с осью х, при этом горизонтальные проекции B'1 и A'1 будут перемещаться в горизонтально проецирующихся плоскостях уровня θ1 и P1 и займут новое положение В"1, и А"1 вершина С останется на месте. Соединив новые точки между собой, получают треугольник ABC в натуральную величину.

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения

(рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразовывают чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций, т.е. должна в себе содержать прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Для этого проводят в

плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция А212 // х, а горизонтальная —

A111). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости П1. В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проекций П1, А принадлежит плоскости Σ, а В — плоскости А.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь h1 треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций П2. Для этого на произвольном расстоянии от оси х вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника A1B1C1 с условием, что A111 П2, а значит A`11`1 х. При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение - А'2В'2С'2. Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости П2.

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольника А'2В'2С'2 располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости П1. При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ , Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин А'1 В'1 С'1. От нового положения фронтальной проекции А"2В"2С"2 проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (θ1 ,T1,P1), и получают точки А"1 В"1 C"1. Соединив эти точки между собой, получают треугольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис. 9.12).

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку 12 и находят ее горизонтальную проекцию 11. Прямая A111 является горизонтальной проекцией h1 горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С. Для определения радиуса вращения точки С на горизонтальной проекции проводят перпендикуляр C1O1 A111 точка О1, является центром вращения точки С.

Для определения натуральной величины радиуса вращения строят прямоугольный треугольник, в котором O1C1 - один из катетов. Второй катет - разность координат z отрезка О2С2, взятого с фронтальной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза O1C0 - натуральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра O1C1 откладывают |RBp.| и получают новое положение вершины С после вращения — С0. Вторая вершина В0 получается пересечением луча C011 и перпендикуляра к горизонтальной проекции h1 проведенного через точку B1.

Треугольник A1B0C0 есть искомая натуральная величина треугольника ABC.

5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и

находят горизонтальный след этой фронтали – N1. По условию задачи вершина С треугольника

принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1. Тогда горизонтальный след Σ1 плоскости

Σ проводят через точки N1 и C1. Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью

х, находят точку схода следов Σx . Учитывая свойство, что все фронтали плоскости параллельны

ее фронтальному следу, фронтальный след Σ2 плоскости Σ проводят через точку Σx

параллельно

фронтали

f2 .

построить

Для

нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо

совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций П1. Для этого через вершину А проводят горизонталь h1. На фронтальном следе Σ2 фиксируют точку 22. Ее горизонтальная проекция - точка 21. Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ. Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении

20, проводят из 21

перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σx дугу окружности

радиусом Σx 22

до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σx с 20, получают

совмещенное положение фронтального следа Σ0 - Далее через точку 2о проводят горизонталь ha в совмещенном положении. На этой горизонтали находят точку А0, проведя перпендикуляр из точки A1 к горизонтальному следу Σ1 .

По такой же схеме строят совмещенное положение точки В0. Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией С1 т.е. C1 C0 . Соединив построенные точки, получают треугольник А0В0С0 - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

10 МНОГОГРАННИКИ. СЕЧЕНИЕМНОГОГРАННИКОВ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ МНОГОГРАННИКОВ

10.1 Сечение многогранников плоскостью

Многогранник есть геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками (гранями), пересекающимися по прямым линиям (рёбрам). Фигура сечения многогранника есть плоский многоугольник, сторонами которого являются прямые пересечения заданной плоскости с плоскостями граней, а вершинами -— точки пересечения рёбер многогранника с заданной плоскостью.

Построение фигуры сечения многогранника плоскостью может выполняться двумя способами:

-путем определения линии пересечения заданной плоскости с каждой из плоскостей (граней), ограничивающих геометрическое тело многогранника (эти линии — стороны фигуры сечения);

-путем нахождения точек пересечения всех ребер с заданной плоскостью (эти точки — вершины фигуры сечения).

Первый способ называется способом граней, второй — способом ребер. Выбор способа построения фигуры сечения зависит от положения секущей плоскости, рёбер и граней многогранника относительно плоскостей проекций.

10.1.1 Способ граней

Суть способа сводится к последовательному определению линий пересечения двух плоскостей, одна из которых является заданной, а другая - какой-либо гранью многогранника (см. разд. 6). Для построения же самой фигуры сечения определяют точки пресечения найденных прямых, которые являются вершинами многоугольника сечения.

10.1.2 Способ ребер

Этот способ заключается в определении точек встречи прямых (ребер) с заданной плоскостью (см. разд. 7). Установив последовательно для всех ребер точки встречи их с секущей плоскостью, соединяют эти точки отрезками прямых и получают многоугольник сечения.

10.2Развертки многогранников

Винженерном деле многогранники чаще всего реализуются как оболочка заданных форм и размеров. Для их изготовления необходимо уметь выполнить развертку (выкройку) такой оболочки.

Развёртка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную последовательным совмещением всех граней многогранника с плоскостью чертежа таким образом, чтобы грани примыкали друг к другу по линиям сгиба (рёбрам).

Для построения развёртки многогранника необходимо иметь натуральные величины всех его граней, поэтому задача построения развертки многогранника решается в два этапа:

1)определяют натуральную величину каждой грани (см. разд. 9);

2)потом путем вращения вокруг соответствующей линии (ребра) (см. разд. 9) совмещают грани с плоскостью чертежа.

10.3Вопросы для самопроверки

1.Чем задаётся призматическая поверхность?

2.Какие признаки позволяют установить, что на данном чертеже изображена призма?

3.Чем задаётся поверхность пирамиды?

4.Какая фигура образуется в результате сечения призмы плоскостью, параллельной её боковым рёбрам?

5.Какая фигура образуется в результате сечения пирамиды плоскостью, проходящей через её вершину?

6.В чём заключается решение задач по определению сечения поверхности плоскостью с помощью способа граней и способа рёбер?

7.Что называется развёрткой поверхности?

8.Способы построения развёрток многогранников, содержание каждого из них.

9.В каких случаях для построения развёртки используются способы: нормального сечения, раскатки, треугольников?

10.4Примеры решения задач

10.4.1Задание: определить сечение трёхгранной призмы (рис. 10.1) плоскостью P(P1P2). Построить полную развёртку поверхности призмы и нанести на ней линию сечения.

Решение: секущая плоскость Р является фронтально проецирующей и пересекает все рёбра прямой призмы АА', ВВ', СС'. Для решения задачи используют свойство проецирующей плоскости, следуя которому фронтальная проекция 122232 фигуры сечения 1, 2, 3 совпадает с фронтальным следом Р2 плоскости Р (рис. 10.2).

Рёбра призмы АА', ВВ', СС' являются горизонтально проецирующими прямыми и на плоскость П1 проецируются в точки А1 В1 С1 поэтому горизонтальная проекция Ii2i3i фигуры сечения 123 совпадает с горизонтальной проекцией призмы, т.е.11 A1 A`1 ,21 B1 B`1 ,31 C1C`1 .

В рассматриваемом примере основание призмы проецируется на горизонтальную плоскость проекций П1 в натуральную величину, рёбра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П2. Из этого следует, что фронтальные проекции рёбер А2А'2, В2В'2, С2С'2 являются натуральными величинами.

Для построения развёртки призмы совмещают ее боковые грани с фронтальной плоскостью проекций П2. На совмещенных положениях граней А0А'0, В2В'2, С2С'2 развертки призмы отмечают точки 10, 20, 30 и последовательно соединяют их отрезками прямых линий. Верхнее А'В'С' и нижнее ABC основания и натуральную величину фигуры сечения 102030 пристраивают к развёртке, как треугольники по трём известным сторонам.

11ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ ПЛОСКОСТЬЮ. РАЗВЕРТКИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Поверхность вращения общего вида образуется вращательным перемещением образующей линии вокруг неподвижной оси.

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг неподвижной оси описывает окружность с центром на оси вращения. Эти окружности называются параллелями.

Наибольшую из параллелей (окружностей) поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую - горлом (шейкой) поверхности.

Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность, - меридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проекции, называется плоскостью главного меридиана.

Линия пересечения плоскости главного меридиана с поверхностью вращения называется главным меридианом.

11.1 Пересечение поверхностей вращения плоскостью

При пересечении поверхности вращения плоскостью получается плоская фигура сечения. Построение проекций линии сечения необходимо начинать с определения опорных точек. К ним относятся точки, расположенные на очерковых образующих поверхности (точки, определяющие границы видимости проекций кривой), и точки, удаленные на экстремальные (максимальное и минимальное) расстояния от плоскостей проекций. После этого определяют произвольные (промежуточные) точки линии сечения.

Для определения точек, принадлежащих фигуре сечения, можно использовать различные методы. Один из них - метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть его заключается в том, что заданные плоскость и поверхность вращения пересекают вспомогательной плоскостью. Находят линии пересечения этой плоскости с заданными плоскостью и поверхностью вращения. Затем отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения. Построенные точки фигуры сечения соединяют плавной линией.

11.2 Развертки поверхностей вращения

Построение разверток поверхностей вращения имеет большое значение, особенно при конструировании из листового материала моделей различных сооружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т.п.

11.2.1 Приближенные развертки

Поверхности, которые можно совместить с плоскостью без разрывов и складок, называют развертывающимися поверхностями. Фигуру, полученную при совмещении развертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой.

Для развертывающихся поверхностей можно построить приближенную развертку.

При построении приближенной развертки поверхность аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников, имеющих грани в форме прямоугольников или треугольников. Поэтому при графическом выполнении разверток поверхности всегда приходится производить разгибание или спрямление кривых линий, принадлежащих поверхности, что неизбежно приводит к потере точности.

11.2.2 Условные развертки

Неразвертывающиеся поверхности не могут быть совмещены с плоскостью без разрывов и складок, т.е. теоретически они не имеют своей развертки. Поэтому говорят лишь об условном решении задачи по построению разверток неразвертывающихся поверхностей.

На практике для получения развертки неразвертываемой поверхности, выполненной из листового материала, приходится кроме изгибания производить растяжение и сжатие определенных участков листа.

Построение условной развертки неразвертывающейся поверхности состоит в том, что отсеки заданной поверхности аппроксимируются отсеками развертывающихся поверхностей — гранными, цилиндрическими или коническими.

11.4.3 Задание: построить проекции и натуральный вид фигуры сечения поверхности цилиндра плоскостью Р (рис. 11.3). Построить развёртку боковой поверхности усечённой части цилиндра.

Решение: на рисунке 11.3 изображены прямой круговой цилиндр, основание которого принадлежит горизонтальной плоскости проекций П1 и секущая плоскость Р общего положения.

Поскольку секущая плоскость наклонена к оси цилиндра, то боковая поверхность цилиндра пересекается по эллипсу. Фигура сечения в этом случае зависит от того, пересекает ли плоскость Р основания цилиндра.

В рассматриваемом случае секущая плоскость Р не пересекает оснований цилиндра. Это видно из того, что горизонтальная проекция нижнего основания не пересекается с горизонтальным следом плоскости Р, а горизонтальная проекция горизонтали h1, по которой плоскость Р пересекается с плоскостью верхнего основания, не пересекает его горизонтальную проекцию.

Для нахождения эллипса сечения плоскости Р с боковой поверхностью цилиндра находят сначала его низшую А (А1 А2) и высшую В (В1 В2) точки. Эти точки являются концами большой оси эллипса сечения и лежат на линии наибольшего наклона плоскости Р к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, прямая АВ перпендикулярна к горизонтальному следу плоскости Р и пересекает ось цилиндра.

Для нахождения точек А и В проводят плоскость Σ, перпендикулярную к горизонтальному следу P1 и проходящую через ось цилиндра. Эта плоскость перпендикулярна к плоскости П1. Затем находят прямую пересечения плоскостей Р и Σ.

Боковая поверхность цилиндра является горизонтально проецирующей и поэтому проецируется на горизонтальную плоскость проекций в окружность.

Так как отрезок АВ является частью линии пересечения плоскостей Р и Σ, а точки А и В лежат на боковой поверхности цилиндра, то горизонтальные проекции точек А и В должны лежать на одной окружности и на горизонтальной проекции прямой пересечения плоскостей Р и Σ. По горизонтальным проекциям точек А и В находят их фронтальные проекции, исходя из условия, что точки А и В лежат на найденной прямой пересечения плоскостей Р и Σ.

Для определения остальных точек эллипса сечения на цилиндрической поверхности выбирают ряд образующих. За первую образующую выбирают ту, на которой лежит точка А. Остальные образующие получают делением окружности (горизонтальной плоскости цилиндрической поверхности) на 12 равных частей (можно делить на другое количество частей).

Затем находят точки пересечения образующих с плоскостью Р. В рассматриваемом примере все образующие перпендикулярны к горизонтальной плоскости проекций. Следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р совпадают с горизонтальными проекциями самих образующих. Далее наносят горизонтальные проекции точек пересечения образующих с плоскостью Р (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) и находят фронтальные проекции этих точек, проводя через них горизонтали в плоскости.

Кривая линия, ограничивающая фронтальную проекцию фигуры сечения, включает видимые и невидимые участки. Точки, являющиеся границей видимости кривой, лежат на очерковых образующих. Отмечают горизонтальные проекции этих точек (112 и 122) и находят фронтальные проекции (112 и 122), проводя через эти точки в плоскости Р горизонтали.

Полученные точки соединяют плавной кривой линией. Кривая от точки 12 через точки 10, А, 1, 2, 3, 4 до точки 11 на фронтальной плоскости проекций является видимой, а остальная часть - невидимой.

Видимую часть кривой обводят сплошной линией, а невидимую -штриховой. Малой осью эллипса сечения является отрезок [38], проецирующийся в натуральную величину на горизонтальную плоскость проекций. Натуральная величина малой оси эллипса в рассматриваемом примере равна диаметру цилиндра.

Натуральную величину эллипса сечения строят путём совмещения плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций.

Развёртка боковой поверхности прямого кругового цилиндра, не усечённого плоскостью, представляет собой прямоугольник с основанием, равным длине окружности основания цилиндра, и высотой, равной высоте цилиндра.

При построении развёртки боковой поверхности цилиндра, пересечённого плоскостью, на развёртке необходимо наносить точки, принадлежащие линии пересечения, и затем эти точки соединять плавной кривой линией (рис. 11.3).

Для этого на развёртке боковой поверхности цилиндра проводят 12 образующих, отстоящих друг от друга на равном расстоянии. За первую образующую рекомендуется выбирать ту, на которой лежит точка А. Затем наносят на все образующие последовательно точки А, 1, 2, 3,

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]