ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
Вычисление определителя
Определение. Определителем (детерминантом) квадратной матрицы (таблицы) с n2 вещественными или комплексными числами является величина D:
|
a11 |
a12 |
L a1n |
||
D = det[aik ] = |
a21 |
a22 |
L a2n |
||
. |
. |
. |
. |
||
|
|||||
|
an1 |
an2 |
L ann |
||
Значение D находится как сумма n! членов (−1)r a1k1 a2k2 Lankn , каждый
из которых соответствует одному из n! различных упорядоченных множеств k1,k2 ,L,kn , полученных r попарными перестановками (транспозициями) элемен-
тов из множества 1, 2, …, n. Число n называют порядком определителя.
Вычисление определителя третьего порядка
Определитель третьего порядка |
вычисляется по следующему прави- |
||||
лу: |
|
|
|
|
|
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|||
= |
a2 |
b2 |
c2 |
= a1b2 c3 − a1b3c2 + b1c2 a3 − b1c3a2 + c1a2 b3 − c1a3b2 . |
|
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
Варианты правил типа Рунге-Кутты для численного решения ОДУ
Правила одной и той же степени точности S могут отличаться числовыми коэффициентами, используемыми при вычислении частичных приращений P1, P2, P3, P4 и значений Y. Например, для S = 2 существует масса возможных вариантов, которые легко найти из следующих формул (1): a2 = b21 = 1/2w, g1 = 1 - w, g2 = w, где w - любое вещественное число, удовлетворяющее условию 0 < w ≤ 1. Правила выбора оптимального набора коэффициентов нет. Числовые значения коэффициентов A, B, G для степеней точности S = 2, 3, 4 приведены в табл. 11. Эти значения - наиболее часто используемые варианты правил типа Рунге-Кутты.
65
ИСТОМИН Е.П., НЕКЛЮДОВ С.Ю.. Практикум. Учебное пособие
Таблица 11
|
S |
№ |
|
A |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
G |
|
|||
|
a2 |
a3 |
a4 |
b12 |
|
b31 |
|
b32 |
b41 |
b42 |
b43 |
g1 |
g2 |
|
g3 |
g4 |
||
|
2 |
1 |
0.5 |
- |
- |
0.5 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
0 |
1 |
|
- |
- |
|
|
2 |
2/3 |
- |
- |
2/3 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
1/4 |
3/4 |
|
- |
- |
|
|
3 |
3/4 |
- |
- |
3/4 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
1/3 |
2/3 |
|
- |
- |
|
|
4 |
0.8 |
- |
- |
0.8 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
3/8 |
5/8 |
|
- |
- |
|
|
5 |
5/6 |
- |
- |
5/6 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
0.4 |
0.6 |
|
- |
- |
|
|
6 |
5/8 |
- |
- |
5/8 |
|
- |
|
- |
- |
- |
- |
0.2 |
0.8 |
|
- |
- |
3 |
7 |
0.5 |
1 |
- |
0.5 |
|
-1 |
|
2 |
- |
- |
- |
1/6 |
4/6 |
|
1/6 |
- |
|
|
|
8 |
2/3 |
2/3 |
- |
2/3 |
|
0 |
|
2/3 |
- |
- |
- |
2/8 |
3/8 |
|
3/8 |
- |
|
|
9 |
1/3 |
2/3 |
- |
1/3 |
|
0 |
|
2/3 |
- |
- |
- |
1/4 |
0 |
|
3/4 |
- |
4 |
10 |
0.5 |
0.5 |
1 |
0.5 |
|
0 |
|
0.5 |
0 |
0 |
1 |
1/6 |
2/6 |
|
2/6 |
1/6 |
|
|
|
11 |
0.5 |
2/3 |
1 |
0.5 |
|
- |
|
1 |
1 |
-1 |
1 |
1/8 |
3/8 |
|
3/8 |
1/8 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
1/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
0.5 |
1 |
0.5 |
|
- |
|
1 |
0 |
0.5 |
0.5 |
1/6 |
3/6 |
|
1/6 |
1/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полное приращение можно найти по формуле: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = k∑=1gk Pk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
||
- если S = 2, эта формула принимает вид |
Y = g1 ··P1 + g2 ··P2; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
-если S = 3, то Y = g1 ··P1 + g2 ··P2 + g3 ··P3;
-если S = 4, то Y= g1 ··P1 + g2 ··P2 + g3 ··P3 + g4 ··P4.
66