25 вопрос 2014

8

Вопрос №25.

Соответствие земных и сферических координат. Полюс освещения. Круг равных высот, уравнение круга равных высот.

Небесная сфера.

Наблюдатель М, находящийся на поверхности Земли, участвует в ее су­точном вращении и орбитальном обраще­нии, вследствие чего направления на светила С1, С2 (рис 1, а) изменяются. Для упрощения решения астрономиче­ских задач и наглядности движений вво­дится вспомогательная сфера, получив­шая название небесной сферы. Можно представить сферу построенной около места наблюдателя М (см. рис. 1, а) или описанной около центра О Земли (рис. 1, б).

Небесной сферой называется вспомо­гательная сфера произвольного радиуса, к центру которой параллельно перене­сены основные линии и плоскости на­блюдателя и Земли и направления на светила.

Основным направлением наблюдате­ля М является его вертикаль, или отвесная линия, z01 (см. рис. 1), положе­ние которой в данной точке Земли по­стоянно и определяется направлением силы притяжения. Пересечение верти­кали с поверхностью Земли представля­ет место М наблюдателя. Положение точки М на Земле определяется ее географической широтой φ (угол меж­ду отвесной линией и плоскостью эк­ватора) и долготой λ (двугранный угол между меридианами — гринвичским Гр и наблюдателя М, равный дуге q0q). Введение небесной сферы позволяет по­строить аналогичные системы координат для светил.

При построении небесной сферы ее центр помещают в произвольной точке О (рис. 2) и через нее проводят линии, параллельные линиям наблюдателя М (см. рис. 1, б). Линия, параллельная вер­тикали z01 называется отвесной линией zn, а точки пересечения ее со сферой —зенитом z и надиром n. Линия, парал­лельная оси pnps, Земли (см. рис. 1, а), представляет на сфере ось мира PNPs, вокруг которой вращается сфера. Точ­ки пересечения ее со сферой называются полюсами мира: северным PN и юж­ным Ps (они соответствуют полюсам Земли).

Плоскость Н истинного горизонта наблюдателя М (см. рис. 1, а), проведен­ная через центр сферы, дает в сечении со сферой истинный горизонт — большой круг NESW, перпендикулярный отвес­ной линии zn.

Плоскость экватора Земли, перене­сенная к центру О сферы, дает в сечении со сферой небесный экватор — большой круг QWQ'E, плоскость которого пер­пендикулярна оси мира.

Плоскость pNMqps (см. рис. 1, а) — географического меридиана наблюдате­ля М. проведенная через центр сферы, дает в сечении с ней меридиан наблюда­теля— большой круг PNzQPsQ'. Ось мира PNPS разделяет меридиан наблю­дателя на полуденную часть PNzPs, включающую зенит, и полуночную PNnPs (на рис. 2 волнистая линия). Эти части меридиана Солнце пересека­ет в полдень и в полночь, отсюда их на­звания.

Основные круги сферы делят ее на части: горизонт — на надгоризонтную и подгоризонтную (где светила не вид­ны); небесный экватор — на север­ную (PN) и южную (Ps); меридиан наблюдателя NzS — на восточную (E) и западную (W).

Истинный горизонт наблюдателя де­лится на направления. Пересечение пло­скостей меридиана и горизонта дает полуденную линию N—S, а плоскостей экватора и горизонта - линию Е —W. На сфере пересечение этих линий дает точки N, Е, S, W, которыми горизонт разделяется на четыре четверти: NE, SE, SW, NW и далее делится на румбы и градусы. Можно представить его в виде картушки компаса.

Полюс мира, расположенный над го­ризонтом, называется повышенным по­люсом. Его наименование совпадает с широтой наблюдателя: в северной ши­роте — PN, в южной — Ps. Возвышение полюса над горизонтом, т. е. дуга NPN, равно широте, так же как дуга zQ (см. рис. 2).

Если из центра сферы провести на­правления на светила, то на ее поверх­ности получаются точки С1, С2, назы­ваемые видимыми местами светил (в дальнейшем просто светила). На сферу можно также спроектировать и другие плоскости и объекты: плоскость орбиты Земли даст эклиптику, орбиты Луны — видимую орбиту Луны, орбиты спутни­ка — видимую орбиту спутника и т. п

Изображения сферы.

Изображения одной и той же небесной сферы могут быть разными: для местного наблюдате­ля на плоскости его меридиана с центром в глазу наблюдателя (см. рис. 1 и 2) или для любого наблюдателя на Земле с центром в центре Земли (см. рис. 9) или в центре солнечной системы (см. рис. 23). Надо твердо усвоить, что все это — изображения одной вспомога­тельной сферы в различных видах и что из одного вида легко получить другой (сравнить рис. 1, б и 9). Для задач каж­дого типа удобно определенное изобра­жение сферы, без лишних деталей.

Введение небесной сферы приводит к упрощениям:

замене направлений — точками,

плоскостей и углов — круга­ми;

направление в пространстве опреде­лится двумя дугами — сферическими ко­ординатами.

Движения светил можно рассматривать теперь как движение их мест вместе со сферой — от суточного вращения Земли и по сфере — от соб­ственных движений и других причин.

Системы вспомогательных кругов.

Для удобства построения сферических координат на сфере вводят системы вза­имно перпендикулярных кругов. Круги, связанные с отвесной линией:

верти­калы — большие круги, плоскости ко­торых проходят через отвесную линию (перпендикулярные горизонту), напри­мер zС1n на рис 3,

альмукантараты — малые круги аа1, плоскости которых па­раллельны горизонту

Вертикал, прохо­дящий через точки Е. W, называется первым вертикалом

Круги, связанные с осью мира:

не­бесные меридианы (или круги склонений) — большие круги, плоскости ко­торых проходят через ось мира (перпен­дикулярные экватору), например PNC2Ps на рис. 3;

параллели — малые круги bb1 плоскости которых параллельны экватору. Эти круги аналогичны гео­графическим меридианам и параллелям на Земле. Небесный меридиан PNzPs лежит в плоскости географического ме­ридиана наблюдателя М (см рис 1, б) и поэтому называется меридианом на­блюдателя (иногда местным меридианом); одновременно он является и вертикалом наблюдателя

Системы сферических координат, используемые в мореходной астрономии.

Системы координат на небесной сфе­ре строятся относительно двух взаимно перпендикулярных кругов сферы, по­добно широтам и долготам на земном глобусе В этом случае получаются сфе­рические прямоугольные координаты Применяются и сферические полярные координаты — по сферическому углу при какой-либо точке и расстоянию от нее На сфере эти системы часто совпадают. Из известных в сферической астроно­мии пяти систем небесных координат в мореходной астрономии применяются: горизонтная, две экваториальные и, из­редка, эклиптическая

Горизонтная система координат.

Основными кругами (осями координат) в этой системе являются

истинный го­ризонт и

меридиан наблюдателя:

основ­ным направлением

отвесная линия zn

Положение точки или светила на сфере определяется двумя координата­ми:

высотой и

азимутом (рис. 4, сфера на нем для φN повернута W-м к зрите­лю)

Высотой h светила называется дуга его вертикала от истинного горизонта до места светила

Угол при центре сфе­ры, измеряемый этой дугой, также на­зывают высотой.

Этот угол измеряется при наблюдениях. Высоты считаются в пределах от 0 до ±90°; с «+» над го­ризонтом, с «—» под горизонтом, напри­мер светило С1 имеет h = 46°, светило С1’ имеет h —30 , высота зенита +90°, надира —90 и т п

Азимутом А светила называется дуга истинного горизонта между мери­дианом наблюдателя и вертикалом све­тила Эта дуга измеряет плоский угол при центре сферы или сферический угол А при зените, которые поэтому, также называют—азимутами.

В мореходной астрономии применяют три системы счета азимутов: полукруго­вой, круговой и четвертной.

Полукруговой азимут считается в пределах О—180° от полуночной части ме­ридиана наблюдателя в сторону Е или W до вертикала светила, например А = N100°W (см рис 4) В северной ши­роте начальной точкой счета является N, в южной — S, поэтому первая бук­ва наименования азимута совпадает с широтой, вторая — с половиной сферы, где расположено светило. Этот счет ази­мутов применяют при решении сфериче­ских треугольников по формулам и по таблицам ВАС—58.

Круговой азимут считается от точки N в сторону Е до вертикала светила в пределах 0—360°, т. е. совпадает с ис­тинным пеленгом светила, например для светила C1 А = ИП = 260°. Этот счет применяют при определении ∆K и при прокладке.

Четвертый азимут считается по чет­вертям — от ближайшей части меридиа­на наблюдателя до вертикала светила в пределах 0—90°, например, светило С1 имеет А = 80°SW. Этот счет применяют в формуле синусов и ТВА—57.

Необходимо уметь свободно перехо­дить от одной системы счета азимута к другим — это постоянно требуется на практике. Например, для светила С2 (см. рис. 4) имеем: полукруговой А = N150°E; круговой А = 150°; четверт­ной А = 30°SE. Положение светила С1 в горизонтной системе запишется так: А = 260°; h = 46°. Одна горизонтная координата определяет на сфере положение одного круга: азимут — по­ложение вертикала, высота — альмукан­тарата.

Полярные координаты. Положение точки на сфере может быть определено и без построения горизонта — непо­средственно при зените. Зенит является полюсом, а меридиан наблюдателя — полярной осью координат A и z. Азимут в полярных координатах определяется как угол при зените в полукруговом сче­те (см. рис. 4).

Зенитным расстоянием z называется дуга вертикала от зенита до места свети­ла в пределах О—180° так, на рис.4 z = 44°. Зенитное расстояние связано с высотой соотношением

Дуга z измеряет центральный угол z между отвесной линией и направле­нием на светило (этот угол измеряется береговыми инструментами). Полярные координаты применяются при решении сферических треугольников.

Меридиональная высота H - высота све­тила, расположенного на меридиане на­блюдателя. Ей придается наименование той точки горизонта, над которой она измерена, например, для С3 H — 35°S. Наименование меридионального зенит­ного расстояния Z обратно Н. Так, для светила С3 Z = 55°N.

Первая экваториальная система ко­ординат.

Основным направлением в этой системе является:

ось мира PNPs,

основными кругами:

экватор и

меридиан наблюдателя.

Положение точки на сфере определяется двумя координата­ми: склонением и

часовым углом (рис. 5).

Склонением δ светила называется ду­га меридиана светила от небесного эква­тора до места светила. Угол δ при цент­ре сферы, равный этой дуге, также на­зывают склонением (его измеряют в об­серваториях). Склонения считаются от О до 90° к N или S; например, на рис. 5 для светил С1 и С2 имеем δ1 = 33°N, δ2 =26S.

Примечание. В мореходной астро­номии принято склонению придавать знак «+», если оно одноименно с широтой, и знак «—», если разноименно. В обсерваторией и геодезической астрономии, а также в ЭВМ чнак «+» придается северному склонению (и широте), знак «—» — южному

Часовым углом t называется дуга эк­ватора от полуденной части меридиана наблюдателя до меридиана светила, счи­таемая в сторону точки W от 0 до 360°. В таком счете часовой угол называют вес­товым, или обыкновенным, и наимено­вания обычно не приписывают. Кроме этого, применяется полукруговой счет часовых углов: от 0 до 180° к W или Е, который называют иногда практическим, так как он применяется при решении треугольников и в таблицах, т. е. tE = 360° — tw при tw > 180°. Для све­тила C1 (см. рис. 5) имеем t = 245°W, или t = 115°Е. Дуга экватора QD из­меряет центральный угол t или сфериче­ский угол при полюсе t, которые также называют часовыми углами.

Место светила С1 на сфере запишется теперь так: t = 245°; б = 33°N.

Одна экваториальная координата определяет на сфере положение одного круга:

ча­совой угол — положение меридиана све­тила;

склонение — параллели.

Полярные координаты. Положе­ние точки можно определить при по­люсе мира — в полярных координатах t и ∆. Часовой угол теперь определяется как угол при повышенном полюсе в полукруговом счете (на рис.5 t=115°Е).

Полярным расстоянием ∆ называется дуга меридиана светила от повышен­ного полюса до места светила, считае­мая oт 0 до 180°, например для светила С1 ∆ =57°,С2 ∆= 116°. Очевидно, что ∆ = 90° - δ.

По определению часовой угол от­считывается от плоскости географиче­ского меридиана места, поэтому на рис. 5 и аналогичных всегда изображает­ся местный часовой угол. Для других меридианов часовые углы другие.

Вторая экваториальная система ко­ординат.

В этой системе основное на­правление

ось мира,

а основными кру­гами являются

небесный экватор и

ме­ридиан точки Овна (γ).

Точка Овна, или точка весеннего равноденствия, рас­положена в пересечении экватора с эк­липтикой, т. е. связана с орбитой Зем­ли. Положение светила в этой системе определяется

склонением и

прямым вос­хождением (рис. 6).

Склонение δ в этой системе аналогично первой экваториаль­ной системе.

Прямым восхождением α светила на­зывается дуга экватора от точки Овна до меридиана светила, считаемая в сто­рону, обратную W часовым углам (т. е. в сторону Е) от 0 до 360°.

Дуге α соот­ветствуют при центре сферы и при полю­се углы а, также называемые прямым восхождением. Например, для светила С, α = 55°; б = 35°N. Вместо α в мор­ских пособиях применяется также звездное дополнение: (т=360- α)

Звездным дополнением т называют дугу экватора от точки Овна до меридиа­на светила, но считаемую в сторону W часовых углов, например для светила C1 имеем т = 305°. В отечественных по­собиях т применяется только для звезд, отсюда и его название. Направление счета прямого восхождения α совпадает с вращением Земли и ее обращением по орбите.

Полярные координаты. В этом слу­чае прямое восхождение α (или т) счи­тается как угол при полюсе между ме­ридианами точки Овна и светила, а по­лярное расстояние ∆ — аналогично пер­вой системе координат (см. рис. 6). Эта система координат аналогична геогра­фическим: α — с λ; δ — с φ.

Первая и вторая экваториальные си­стемы отличаются только положением начального меридиана: t считается от точки Q, а

α — от точки Овна (v),

по­ложение же точки Овна определяется ее часовым углом t^v, поэтому (см. рис.6)

т. е. часовой угол точки Овна (звездное время) равен сумме часового угла и прямого восхождения светила. По этой формуле (в § 23 она названа основной формулой времени) можно перейти от одной системы к другой.

Эклиптическая система координат.

В этой системе основным направлением является

ось эклиптики,

а основными кругами

эклиптика (плоскость орби­ты Земли) и

круг широты точки Овна (рис. 7).

Эклиптика, как всякий большой круг, имеет ось, которая пересекает сферу в полюсах эклиптики — северном РЭК и южном Р’ЭК. Большие круги, про­ходящие через полюса эклиптики, на­зываются кругами широты (см. рис. 7).

Эклиптической широтой β называет­ся дуга круга широт от эклиптики до места светила в пределах 0—90° со зна­ком «+» к северу, «—» к югу.

Эклиптической долготой λ называется дуга эклиптики от точки Овна до кру­га широты светила — от 0 до 360° в сторону счета α. Для светила С имеем: β = +40°, λ= 60°. Эту систему приме­няют при предвычислении координат по формулам § 12, в частности на ЭВМ.

Единицы измерения сферических ко­ординат. Координаты на небесной сфе­ре являются дугами больших кругов или сферическими углами, поэтому для их измерения применяют все единицы измерения углов (градусная мера, радианная) и специальную астрономиче­скую часовую меру дуг и углов.

Часовая мера основана на историче­ски сложившемся разделении одного оборота сферы на 24 части (часа), каж­дого часа — на 60 мин и 1 мин — на 60 с. Между часовой и градусной мерой дуг (в дальнейшем—и времени) установ­лено соотношение: за 24Ч сфера повора­чивается на 360°, поэтому 360° =24Ч 15°=1Ч 1°=4м 1’=4c 0,25’=1c. В мореходной астрономии координаты измеряются до 0,1’ или до 0,5c, в прак­тической части — до 1c. Таблицы пере­хода приведены в МТ—75 (табл. 39) и МАЕ (приложение 3). Переход от гра­дусной меры к часовой осуществля­ют по схеме: делить на 15, остаток ум­ножать на 4 и т. д. (см. пример 1).

Связь с географическими координатами.

При решении конкретных задач при­меняют более удобную для данного слу­чая систему координат. Горизонтная система ориентирована в пространстве относительно отвесной линии наблюда­теля, поэтому h и А светила зависят от положения наблюдателя на Земле, и по ним можно определить его место. Часовые углы измеряют угол поворота сферы, поэтому их удобно применять при измерении времени, и т. п. В зада­чах возникает необходимость перехода от одной системы координат к другим. Самым простым является графическое построение сферы, оно необходимо так­же при изучении систем координат. При построении сферы можно использовать различные ее изображения как про­странственные, так и плоские. Для по­строения необходимо знать широту на­блюдателя φ (иногда и λ).

Связь широты наблюдателя с коор­динатами точек сферы. В этом вопросе удобнее применить плоское изобра­жение сферы, для чего местная сфера (см. рис. 1, а и рис. 2) проектируется на плоскость меридиана наблюдателя (рис. 8).

Угол между отвесной линией zn и плоскостью небесного экватора QQ' равен географической широте по ее определению. Дуга Qz поэтому равна φ, но эта же дуга — склонение зенита, поэтому δZ = φ, т. е. склонение зенита равно широте места.

Из рис. 8 видно, что широте равны еще три дуги, остальные равны 90° - φ. Дуга NPN, равная широте, вме­сте с тем — высота точки PN, т. е. h_P = φ, или высота повышенного по­люса равна широте места. Рис. "5' удобен для нанесения высот и склонений на меридиане наблюдателя, но неудобен для других задач.

Геоцентрическое изображение сфе­ры. Для различных наблюдателей на Земле удобнее общее изображение сфе­ры (геоцентрическое). Если поместить центр сферы в центре Земли (см. рис.1, б), а затем повернуть ось мира PNPs вер­тикально, получим изображение сферы, справедливое для любого наблюдателя на Земле (рис. 9). Место наблюдателя М проектируется в точку zм, а его ме­ридиан — в меридиан наблюдателя PNzмPs. Аналогично получаются зени­ты и меридианы других мест, например для Гринвича zгр и PNzrpPs.

Для на­блюдателя М — полуденная точка эк­ватора Q, от нее отсчитываются tM све­тила С, как обычно, к W. Для Гринви­ча имеем точку Q0 и часовой угол tгр. Эта же сфера часто изображается на плоскости экватора (см. рис. 43, 49), где экватор изображается окружностью, а меридиан — прямой (волнистая — по­луночная часть). Из рис. 9 видно, что долгота места равна разности часовых углов

На геоцентрическом изображении сферы нет горизонта, поэтому применяют­ся полярные координаты при zм, т. е. А и z (см. рис. 9). Помимо приведенных изображений сферы, применяют еще изо­бражения ее на плоскости горизонта, первого вертикала (как плоские, так и пространственные): они рассматривают­ся при решении соответствующих задач.

Графическое преобразование ко­ординат на небесной сфере.

Переход от одной системы координат к другим можно выполнить различными путями:

-построением сферы и систем коорди­нат от руки (приближенное графическое решение);

-с помощью моделей сферы: звездного глобуса, планетария, координатных кру­гов;

-аналитическим решением сферических треугольников (с любой степенью точ­ности) .

Полюс освещения. Круг равных высот, уравнение круга равных высот.

Полюсом освещения (ПО) называется проекция светила по отвесной линии на земную поверхность. Установим взаимосвязь между координатами полюса освещения и координатами светила. Из рисунка видно, что по =         W по = tгр         (4.1) Находясь в точке М на земной поверхности, наблюдатель в гринвичское время Тгр измеряет высоту h светила С. Z - есть зенит наблюдателя в точке М. Тогда дуга ZC - есть зенитное расстояние z = 90 - h данного светила. Из светила С радиусом r = z = 90 - h проведем малый круг, в точках которого зенитные растояния до светила есть постоянная величина. Поэтому этот малый круг называется круг равных зенитных расстояний = КРЗР. Спроецирем КРЗР на земную поверхность и получим круг равных высот = КРВ, т.е. изолинию измеренной высоты - геометрическое место точек, в которых измеренная высота есть постоянная величина.

Круг равных высот представляет собой малый круг с центром в полюсе освещения и радиуса R_КРВ = z = 90 - h.

Уравнение круга равных высот.

Выведем уравнение КРВ. Для этого надо связать измеренный параметр h, текущие координаты i, i и экваториальные координаты светила С. Т.е. необходимо осуществить переход от экваториальной системы координат к горизонтной, решив параллактический треугольник. Уравнение КРВ будет иметь следующий вид sinh = sini sin + cosi coscos(tгр ±i)         (4.2) величины - h, , tгр, входящие в это уравнение, являются постоянными, поэтому они называются параметрами КРВ. Именно они определяют положение и размеры КРВ. Так например, склонение и гринвичский часовой угол задают координаты центра полюса освещения, (смотри формулу (4.1)), а высота h определяет радиус КРВ-RКРВ=90-h. Один измеренный параметр определяет одну изолинию, с бесконечным множеством точек с координатами i, i, в которых измеренный параметр есть постоянная величина. Для получения обсервованных координат о, о необходимо произвести измерения двух навигационных параметров (h1 и h2), которые определяют две изолинии, пересечение которых дает обсервованную точку.

На всякий случай РЕШЕНИЕ ПАРАЛЛАКТИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА.

Понятие параллактического треугольника.

Построив для данной широты небесную сферу и проведя вертикал и меридиан светила С, получим сферический треугольник, ZРNC, вершинами которого являются повышенный полюс мира PN, зенит наблюдателя Z и место светила С. Этот треугольник называется параллактическим треугольником светила. Элементами параллактического треугольника являются: угол при зените - азимут полукругового счета А; угол при полюсе - местный часовой практический угол t, отсчитываемый от меридиана данного наблюдателя; угол при светиле, который называется параллактическим углом (q) и в практике мореходной астрономии применяется редко; сторона ZPN - дополнение широты до 90°, т. е. 90° - ; сторона РNС - дополнение склонения до 90°, или полярное расстояние = 90° - ; сторона ZC - дополнение высоты до 90°, или зенитное расстояние z = 90° - h. Решение параллактического треугольника. Основным содержанием практической мореходной астрономии является переход от одной системы координат к другой. В большинстве задач приходиться переходить от 1-ой экваториальной системы координат к горизонтной. Для этого решается параллактический треугольник. Применим формулу косинуса стороны к стороне ZC. В сферическом треугольнике косинус стороны равен произведению косинусов двух других сторон плюс произведение синусов этих же сторон и на косинус угла между ними. cos(90 - h) = cos(90 - ) cos(90 - ) + sin(90 - ) sin(90 - )costм Применив формулы приведения, окончательно получим: sinh = sin sin + cos coscostм       (1.1) Применим формулу котангенсов к 4-м рядом лежащим элементам: А, (90 - ), tм и (90 - ) В сферическом треугольнике произведение котангенса крайнего угла на синус среднего угла равно произведению котангенса крайней стороны на синус средней стороны и минус произведение косинусов средних элементов. ctgAsintм = ctg(90 - ) sin(90 - ) - cos(90 - )costм Или окончательно после преобразования получим: ctgA = tg coscosectм - sinctgtм       (1.2) Как видно из этих формул, параллактический треугольник связывает небесные координаты - горизонтные h и А и экваториальные и t - с географическими координатами наблюдателя (широта прямо входит в параллактический треугольник, а долгота входит косвенно согласно формулы tм = tгр ± . Данные формулы применяются при определении места судна (при расчете элементов высотной линии положения) и для определении поправки компаса.