ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО МОРСКОГО И РЕЧНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций»

Кафедра Комплексного обеспечения информационной безопасности

Дисциплина "Математическая логика и теория алгоритмов" ( ИЗ - I )

Специальность "090900.62 - Информационная безопасность" профиль "Безопасность автоматизированных систем"

Список вопросов

1. Свойства операций над множествами.

Свойства  операций над множествами.

Из определений объединения и пересечения множеств следует, что операции пересечения и объединения обладают следующими  свойствами :

1. Коммутативность.

A  B=B  A(объединение) A  B=B  A(Пересечение)

2. Ассоциативность.

(A  B)  C=A  (B  C) (A  B)  C= A  (B  C)

3. Дистрибутивность.

(A  B)  C = (A  C)  (B  C) (A  B)  C= (A  C)  (B  C)

4. A  A=A, A  A=A A  = A, A 

5. Законы де Моргана (законы двойственности).

1) A  B= A  B   2 ) A  B= A  B

Доказательство данных  свойств  проводится на основе определения равенства двух множеств.

Заметим, что закон ассоциативности при комбинировании операций объединения и вычитания, вообще говоря, не имеет места.

2. Отношения: инъекция, сюръекция, биекция, их свойства.

Определение 9 ( инъекция ,  сюръекция ,  биекция ).

Отображение называется  инъекцией , если для любых элементов x₁, x₂   X , для которых f(x₁) = f(x₂) следует, что x₁ =  x₂ . (рис. 7)

 Сюръекцией  (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

 Биекция  – это одновременно и  сюръекция  и  инъекция  (рис.9).

3. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, их свойства.

Важным видом бинарного отношения является отношение эквивалентности.

Определение 5.1. Бинарное отношение  на множестве X называется отношением эквивалентности на X, если  рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношение эквивалентности часто обозначают символами  ~,.

Примерами отношения эквивалентности служат:

• отношение тождества I_X = {(a, a)|aX} на непустом множестве X;

• отношение подобия на множестве фигур плоскости;

• отношение равносильности на множестве уравнений;

Классы эквивалентности(свойства классов эквиваленции Посмотреть в В лекциях http://cs323524.vk.me/v323524284/784a/W4Q9tq-p7aY.jpg )

С отношением эквивалентности тесно связано разбиение множества на классы.

Определение 6.1. Система непустых подмножеств

{M₁, M₂, …}

множества M называется разбиением этого множества, если

M = M₁M₂  …

и при  ij

M_iM_j =O.

Сами множества M₁, M₂, … называются при этом классами данного разбиения.

Примерами разбиений служат:

• разложение всех многоугольников на группы по числу вершин - треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т. д.;

• разбиение всех треугольников на классы подобных треугольников;

• разбиение множества всех учащихся данной школы по классам.

Классом эквивалентности, порождённым элементом х называется подмножество множества χ.

Теорема 6.1. Всякое разбиение  непустого множества M на классы определяет (индуцирует) на этом множестве отношение эквивалентности такое, что:

• всякие два элемента одного класса находятся в отношении ;

• всякие два элемента различных классов не находятся в отношении .

4. Отношения частичного и линейного порядка. Теорема об изоморфизме частично упорядоч. множеств.

Непустое множество X с заданным на этом множестве отношением частичного (линейного) порядка называется частично (линейно) упорядоченным множеством. Для отношения порядка на произвольном множестве часто используют символ <=, соответственно для строгого порядка можно использовать символ ≺

Два частично упорядоченных множества называются изоморф-

ными, если между ними существует изоморфизм, то есть взаимно

однозначное соответствие, сохраняющее порядок. (Естественно, что

в этом случае они равномощны как множества.) Можно сказать так:

биекция f : A → B называется изоморфизмом частично упорядочен-

ных множеств A и B, если

a1 6 a2 ⇔ f(a1) 6 f(a2)

для любых элементов a1, a2 ∈ A (слева знак 6 обозначает порядок в

множестве A, справа — в множестве B).

Очевидно, что отношение изоморфности рефлексивно (каждое

множество изоморфно самому себе), симметрично (если X изоморф-

но Y , то и наоборот) и транзитивно (два множества, изоморфные

третьему, изоморфны между собой). Таким образом, все частично

упорядоченные множества разбиваются на классы изоморфных, ко-

торые называют порядковыми типами.

5. Равносильность формул. Основные свойства.

6. Основные тавтологии.

7. Правильные рассуждения. Основные схемы.

Правильным называется рассуждение, в котором из конъюнкции посылок следует заключение, и оно является тавтологией. В этом случае, если посылки – истинны, заключение – истинно.

В этом случае, если посылки – истинны, заключение – истинно.

А⇒В ≡ (А⇒В) ∨ Л ≡ ¬(А⇒В) ⇒(С & ¬С) ≡ (А & ¬В) ⇒(С & ¬С).

А⇒В ≡¬А ∨ В ≡ (¬А ∨ В) ∨ (С & ¬С) ≡¬ (¬А ∨ В) ⇒ (С & ¬С)

А⇒В ≡¬А ∨ В ≡ (¬А ∨ В) ∨¬А ≡¬ (¬А ∨ В) ⇒¬А ≡(А & ¬В) ⇒¬А

А⇒В ≡¬А ∨ В ≡ (¬А ∨ В) ∨ В ≡¬ (¬А ∨ В) ⇒ В≡ (А & ¬В) ⇒В

А⇒В≡ ¬А ∨ В ≡ В ∨ ¬А ≡ ¬В ⇒¬А – закон контрапозиции

8. Двойственные формулы. Лемма. Теорема – принцип двойственности.

НЕПОЛНЫЙ ОТВЕТ!!!!!!!!

Связки & и ∨ Называются двойственными.

Формула F* называется двойственной формуле F, если она получена из F заменой символов функций на символы двойственных им функций.( & на ∨)(∨ на &). Для таких формул есть свойство:

F*(X1…Xn)= -F(-X1…-Xn)

9. Теорема о представлении булевой функции формулой логики высказываний.

Каждая булева функция порождается некой формулой, в которую кроме пропозиц.переменных входят только пропозиц.связки из множества(И, ИЛИ, НЕ)

Док-во.

Пусть F(X1-Xn) задана таблицей

1)Если она является тождественным нулём, то формула (А1 & ¬А1)∨ (А2 & ¬А2)∨...∨ (Аn & ¬Аn) является такой порождающей формулой.

2) Пусть среди значений функции есть хотя бы одна 1. Пусть это строка таблицы истинности с номером j.

Эта формула принимает значение Истина только на «своей» строистинности. На всех остальных она принимает значение Ложь

f=D1vD2v…vDn составленная по всем строкам со значением 1 является формулой порождающей исходную булеву функцию

10. Полные системы связок.

11. Дизъюнктивная нормальная форма. Совершенная ДНФ. Теорема о представлении в ДНФ.

12. Теоремы о приведении к СДНФ и об единственности СДНФ.

13. Конъюнктивная нормальная форма. Совершенная КНФ. Теорема о представлении в КНФ.

14. Теорема о представимости булевых функций многочленами Жегалкина.

15. Приложение логики высказываний: к синтезу логических схем вычисл. устройств, и др.

http://cs323524.vk.me/v323524284/7907/ilnj3Kv_tSs.jpg

http://cs309131.vk.me/v309131284/6914/enoGWqwlJ90.jpg

16. Простейшие свойства выводимых формул в аксиоматических теориях (1- 8).

17. Вывод в теории Черча: .

18. Вывод в теории Черча: если , то .

19. Вывод в теории Черча: .

20. Вывод в теории Черча: .

21. Вывод в теории Черча: и .

22. Теорема о дедукции.

23. Правило силлогизма.

24. Вывод формулы: .

25. Правило перевертывания.

26. Производное правило вывода: .

27. Производное правило вывода: .

28. Производное правило вывода: .

29. Производное правило вывода: и .

30. Производное правило вывода: если , то

31. Производное правило вывода: если , то .

32. Лемма к теореме о полноте (в широком смысле).

33. Теорема о корректности АТЧ.

Теорема. (о корректности АТЧ)

Любая теорема АТЧ является тавтологией.

Доказательство

Аксиомы А1, А2, А3 являются тавтологиями (см. стр. 8). Далее, единст-39

венное правило вывода MP, примененное к тавтологиям, снова приводит к

тавтологии (см. стр. 9). Поэтому каждая теорема является тавтологией. ■

34. Теорема о полноте (в широком смысле).

35. Теорема о непротиворечивости.

36. Теорема о абсолютной непротиворечивости. Теорема об альтернативности АТ.

37. Частично–рекурсивные и примитивно–рекурсивные функции: ; .

38. Машина Тьюринга для простейших функций.

39. Машина Тьюринга для копирования слов.

40. Машина Тьюринга для удвоения чисел.

41. Машина Тьюринга для сложения двух чисел