Вопрос №4

4

Вопрос №4.

Погрешности навигационных измерений, их классификация. Вероятность и частота. Случайные погрешности измерений и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Закон нормального распределения случайных погрешностей. Оценка точности измерений. Общие принципы оценки точности функции измеренных величин. Систематические погрешности измерений.

Вероятность и частота

Никакие измерения, в том числе и навигационные, не могут быть абсолютно точными. Любые измерения неизбежно сопро­вождаются появлением погрешностей.

Погрешности навигационных измерений, а следовательно, определений места судна и поправок приборов, проявляются как случайные величины, изучение и учет которых требуют примене­ния методов теории вероятностей и математической статистики. Эти две дисциплины тесно взаимосвязаны: теория вероятностей, как и вообще математика, оперирует с абстрактными понятия­ми и зависимостями, а математическая статистика — с их эм­пирическими аналогами, получаемыми по результатам наблюде­ний. Поэтому методы оценивания и учета погрешностей относят к вероятностно-статистическим, описывающим случайные собы­тия.

Случайным событием (явлением) называют такое, которое при определенных условиях может либо произойти, либо не произойти, например отказ навигационного прибора в течение дан­ных суток.

Несмотря на присущую случайным событиям неопре­деленность, из опыта известно, что шансы того или иного их ис­хода могут быть весьма различными, что выражается количест­венно их вероятностью. Общепризнанное аксиоматическое пост­роение теории вероятностей, разработанное акад. А. Н. Колмогоровым, изложено в специальных курсах. Здесь рассматрива­ются лишь те вопросы, которые необходимы для решения при­кладных задач судовождения.

Вероятностью случайного события называют объективную возможность его появления при определенных условиях.

Веро­ятность принято обозначать буквой Р или буквами Рг (от лат.— probabilitas), а если необходимо, то с буквенным обозначением рассматриваемого события, например Р (А), Р (В) и т. д. Среди случайных событий выделяют достоверные, которые непре­менно происходят при определенных условиях. Таким событиям приписывают вероятность Р = 1. Напротив, невозможными называют события, которые никак не могут произойти при дан­ных условиях, и для них принимают Р = 0. Таким образом, вероятность любого события выражается числом, находящимся в пределах от 0 до 1.

Полной группой событий называют такую их совокупность, из которой хотя бы одно непременно происходит, что, однако, не исключает возможности наступления сразу двух или более событий из этой группы.

Несовместными называют события, которые никак не могут произойти одновременно. Например, поправка компаса либо по­ложительна; либо отрицательна, что несовместно, но эти собы­тия не составляют полной группы, так как возможно еще, что эта поправка равна нулю.

Противоположными называют два несовместных события, составляющих полную группу. Если одно из таких событий обо­значают буквой A, то противоположное ему Ā. Из определения ясно, что Р(А) + Р (Ā) = 1, т. е. одно из противоположных со­бытий обязательно происходит.

Равновозможными называют события, вероятность появле­ния которых одинакова. Условия для этого обычно стараются создать в азартных. (от француз, le hasard — случай) играх: карты, лото, рулетка, лотерея, игральные кости и т. д. На прак­тике подобные условия выполняются не часто, причем бывает трудно установить сам факт равновозможности, хотя встреча­ются и такие ситуации. Например, рассчитанный с точностью до 0,1° компасный курс задают рулевому после округления до 0,5°. При этом равновозможно пять значений погрешности округле­ния: —0,2°; —0,1°; 0,0; +0,1°; +0,2°, которые составляют пол­ную группу несовместных событий.

Для определения вероятностей случайных событий применя­ют три способа: непосредственный подсчет, по частотам, косвен­но через вероятности других событий.

Непосредственный подсчет вероятности (которую называют иногда математической) возможен, если удается выявить пол­ную группу n несовместных и равновозможных событий, часть из которых m подлежит вероятностной оценке. При таких усло­виях искомую вероятность Р рассчитывают по формуле

Р = m/n. (5.1)

Например, погрешности округления компасного курса до 0,5° составляют полную группу несовместных и равновозможных событий, число которых n = 5. Вероятность того, что названные погрешности не превышают по абсолютному значению 0,1°, рас­считывается при m = 3 (—0,1°0,0 + 0,1°), по формуле (5.1) полу­чим Р = 3/5 = 0,6.

Определение вероятности по частоте наиболее широко применяется в науке и технике, когда не выполняются условия для непосредственного подсчета по формуле (5.1). Частоту оп­ределяют по статистическим данным или по результатам специально проведенных опытов. При этом выявляют число m, когда фактически произошло рассматриваемое событие, и общее число n случаев, когда оно могло произойти в тех же условиях. Ча­стота Р* = m/n. (5.2)

При малых значениях n частота Р* носит случайный харак­тер. Однако при увеличении числа опытов n при неизменных ус­ловиях частота Р* теряет случайные свойства и стабилизируется около постоянного числа, которое принимают за оценку вероят­ности. Это свойство устойчивости частот утверждается теоремой Я.Бернули (1654—1705) о законе больших чисел. Оно многократно подтверждалось экспериментально. Так, например, подсчет по формуле (5.1) показывает, что выпадание герба при однократном подбрасывании монеты имеет вероятность Р = 0,5. Проф. А. П. Ющенко (1895—1968 гг.) сообщает, что английский ученый Ч. Пирсон (1857—1936 гг.) не поленился подбросить мо­нету 24 тыс. раз и по формуле (5.2) получил частоту выпадания герба Р* = 0,5005. Учитывая такое свойство частоты, ее иногда называют «статистической вероятностью».

Конечно, оценка вероятности по частоте имеет важное прак­тическое значение, когда расчеты по формуле (5.1) невозмож­ны. К примеру, на азиатском побережье пролива Дарданеллы недалеко от Эгейского моря имеется Кепез-отмель, о которой в лоции сказано, что это «место обычной посадки судов на мель». Чтобы придать такой информации количественную оценку, надо было бы число посадок судов на эту отмель за определенный период отнести по формуле (5.2) к общему числу прохода судов в этом районе за то же время. Не менее полезны для судоводи­телей подобные вероятностные оценки столкновений судов при различных обстоятельствах.

Косвенное определение вероятностей выполняют путем опе­раций над вероятностями других событий, более доступных для определения.

Для таких расчетов пользуются в общем случае условной вероятностью, например события А при условии, что событие В уже произошло, т. е. Р(А\В) или РА(В). Если услов­ные вероятности равны безусловным, т. е. Р(А\В) = Р(А); Р(В\А)=Р(В), (5.3)

то такие события независимы.

Теорема умножения вероятностей: вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности од­ного из них на условную вероятность второго при условии, что первое событие произошло. При этом безразлично, какое из двух событий считать первым:

Р(А и В) = Р(А)Р(В\А) = Р(В)Р(А\В). (5.4)

Пример 5.1. Навигационная аппаратура имеет два равнонадежных узла, работающих параллельно. Вероятность отказов этих узлов (события А и В) за определенное время одинакова: Р(А) = Р(В) = 0,2. При отказе любого из этих узлов нагрузка на оставшийся возрастает и вероятность его отказа уве­личивается: Р(А\В) = Р(В\А) =0,5.

Решение. Вероятность отказа аппаратуры (событие С — отказ обоих уз­лов) за то же время рассчитываем по формуле (5.4): Р(С)=Р(АиB)=0,2*0,5=0,1. Следовательно, переходя к противоположному событию ĉ, на­ходим вероятность работоспособного состояния аппаратуры Р(ĉ)= 1 — Р(С) =0,9.

Когда события независимы и для них справедливы равенст­ва (5.3), общая формула умножения вероятностей (5.4) упро­щается: Р(А и В) =Р(А)Р(B). (5.5)

Иногда для наглядности вероятности и частоты выражают в процентах (от 0 до 100%). При таком их представлении ре­зультат произведения двух вероятностей в процентах надо де­лить на 10000.

Предположим, что в предыдущем примере узлы подключены так, что от­каз любого из них не влияет на вероятность отказа оставшегося в работе, т. е. условия (5.3) выполняются. В таком случае вероятность отказа обоих узлов определяем по формуле (5,5): Р(С)=Р(А и В) = 0.2^0,2=0,04. Следо­вательно, вероятность безотказной работы аппаратуры Р(ĉ) = 1—0,04 = 0,96, что подтверждает преимущества дублирования узлов.

Теорема сложения вероятностей: вероятность наступления одного из двух событий равна сумме их вероятностей без веро­ятности совместного наступления этих событий:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В)—Р(А и В). (5.6)

В формуле (5.6) последний член справа определяется для зависимых событий по общей формуле (5.4), а в частном случае для независимых событий — по формуле (5.5), т. е.

Р(А или В) = Р(А) +Р(В) — Р(А)Р(В). (5.7)

Если рассматриваемые события к тому же несовместны, т. е. если Р(А и В) = 0, то формула вероятностей еще более упро­щается:

Р(А или В) = Р(А) + Р(В). (5.8)

Пример 5.2. Рассмотрим вероятностную оценку грубых погрешностей (промахов), допускаемых курсантами при решении сферических треугольни­ков. Проверка около 500 контрольных работ, выполнявшихся по билетам с разными условиями, выявила два основных вида таких промахов и их веро­ятности (строго говоря, частоты): неверная выборка из таблиц Р(А)=0,18 и неверное выполнение арифметических действий Р(В)=0,08.

Решение. Эти промахи независимы, но могут проявляться совместно, по­этому для оценки вероятности ошибочного решения (событие С) надо вос­пользоваться формулой (5.7): Р(С) =0,18 + 0,08—0,18*0,08 = 0,25.

В этом примере и подобных задачах решение упрощается использованием противоположных событий: Р(С) = Р(А)Р(В) = 0,82*0,92 = 0,75, что дает оценку вероятности безошибочного решения, а вероятность неверного решения Р(С)= 1—Р(ĉ) =0,25 (как и получено выше).

Приведенные теоремы справедливы при умножении и сложе­нии вероятностей более двух событий. Эти теоремы используют­ся далее при изучении погрешностей, а также в других специ­альных дисциплинах.

Оценка точности измерений.

Междуна­родная морская организации (ИМО) создала стандарт точности судовождения, принятому в 1983 г. на 13-й Ассамблее ИМО в резолюции А.529 (табл. 8.1).

Цель принятого стандарта — обеспечение руководства различного рода администраций стандартами точности судовождения, которые должны применяться при оценке эффективности работы систем, пред­назначенных для определения места судна, в том числе радионавига­ционных систем, включая спутниковые. От судоводителя требуется знать свое место на любой момент времени. Для этого необходимы точные обсерваций или счисление пути для вычисления координат места в про­межутках между ними, если обсервации нельзя получать непрерывно. В стан­дарте указаны факторы, влияющие на требования к точности судовождения. К ним относятся: скорость судна; рас­стояние до ближайшей навигационной опасности, которой считается всякий признанный или нанесенный на карту элемент; граница района плавания.

Рейс судна подразделяется на две стадии:

1) плавание на входе в гавань и подходах к ней, а также в водах, в которых ограничена свобода маневра;

2) плавание в других водах.

В районах первой стадии рейса место судна контролируют с по­мощью визуальных методов, с использованием радиолокатора и ра­дионавигационных систем. Требования к точности судовождения за­висят от местных обстоятельств.

При плавании в других водах со скоростью до 30 уз текущее место судна должно быть известно с погрешностью не более 4% расстояния до ближайшей опасности. При этом точность места должна оценивать­ся фигурой погрешностей с учетом случайных и систематических ошибок с вероятностью 95%. В стандарт ИМО включена таблица, которая содержит требования к точности места, а также допустимое время плавания по счислению при условии, что гирокомпас и лаг соответствуют требованиям ИМО, счисление не корректировалось, погрешности имеют нормальное распределение, а течение и дрейф учитываются с возможной точностью. Например, если до ближай­шей опасности 20 миль, то допустимая погрешность определения места (4% этого расстояния) равна 0,8 мили. Обеспечение такой точности по счислещпо от последней обсервации возможно в тече­ние 27 мин, если погрешность обсервации не более 0,25 мили. Бели погрешности обсервации превышают допустимую (в примере — бо­лее 0,8 миль), то даже непрерывные обсервации не будут удовле­творять требованиям стандарта точности ИМО (в табл. 8.1 простав­лены прочерки). Следует иметь в виду, что таблица и построенные по ней графики имеют ориентировочный характер, так как основа­ны на усредненных оценках точности счисления.

Рассматривая вопрос о смещении линии положения, мы не придавали значения характеру ошибки, допущен­ной при наблюдении. Действительно, для одной линии положения это вполне справедливо, так как ее смещение в направлении градиента зависит от величины результирующей ошибки ∆U.

При оценке точности обсерваций, полученных по линиям поло­жения, характер ошибок часто имеет существенное значение.

Рас­смотрим кратко характеристику ошибок наблюдений.

Все ошибки, возникающие при наблюдениях (включая и их обра­ботку), подразделяются на случайные, промахи (грубые ошибки) и систематические ошибки.

Случайные ошибки образуются от совместного действия многочис­ленных причин, прямо или косвенно влияющих на результаты изме­рений. Эти ошибки принимают в отдельных измерениях значения, предсказать или предвычислить которые принципиально невозможно.

Точность измерения навигационного параметра оценивают:

-статистической обработкой серии измерений;

-расчетом средних статистических значений ошибок измерений на основе обобщения опыта плавания (априорно);

-принятием значений ожидаемых ошибок в измерении навигаци­онных параметров по данным технических условий на приборы или системы.

Например, если провести серию измерений пеленга по ги­рокомпасу, то обработка серии даст ошибку в пределах ± 0,3...0,8°. Такую же ошибку штурман может принять исходя из опыта плава­ния (при тихой воде ± 0,3°, при качке ± 0,6...0,8°). И, наконец тех­нические возможности гирокомпаса предполагают получение пелен­га (при нормальных условиях эксплуатации) с суммарной средней квадратичной ошибкой ± 0,6...1,0°. Случайные погрешности измере­ний обычно подчиняются закону нормального распределения веро­ятностей, это означает, что погрешность не выходит за пределы ±т с вероятностью 68,3%.

Наиболее простым способом расчета m — средней квадратичной ошибки измерения при равноточных наблюдениях — является спо­соб с использованием коэффициента размаха k. Значения коэффици­ента приведены ниже

Для вычисления m необходимо найти разность между макси­мальным и минимальным значениями навигационного параметра и умножить ее на коэффициент k:

Вероятность того, что погрешность не превышает по абсолютной величине ± 2m, составляет 95,4%. В стандарте судовождения для ха­рактеристики точности обсервации требуется использовать 95% уровня вероятности, что соответствует 1,96m, или приближенно 2m. Вероятность погрешностей, не выходящих из интервала ± Зm, равна 99,7%. Такую погрешность принимают за предельную.

Все погрешности, выходящие за пределы Зm, относят к грубым по­грешностям, или промахам. Лучший способ избежать промахов — ре­гулярно повторять измерения и тщательно контролировать отсчеты.

Систематические ошибки — это ошибки, величина и направле­ния которых постоянны или изменяются по определенному закону.

Систематические ошибки, как правило, должны исключаться введени­ем поправок или специальной организацией наблюдений и их обра­боткой. Однако действие по определению поправки сопровождается появлением случайных ошибок, которые за­тем проявляются как остаточные системати­ческие. Кроме того, эти ошибки могут быть следствием влияния переменчивых факторов, действие которых оценивается статистически. Поэтому следует различать воздействие сис­тематической ошибки, если она не исключена, и ее проявление, как остаточной ошибки, по­сле исключения. В этом случае она алгебраи­чески складывается со случайной, и такая итоговая ошибка будет называться полной или суммарной.

Если на измерения двух навигационных параметров влияют какие-то общие факторы, то ошибки таких изме­рений оказываются взаимозависимыми. Эта зависимость характеризу­ется коэффициентом корреляции г. Для независимых наблюдений г = О, при функциональной линейной зависимости г = 1. Оценки точ­ности измерений, полученные по результатам тех измерений, для ха­рактеристики точности которых они служат, называются апостериор­ными. Для вывода такой оценки необходима серия из 9... 11 измере­ний. В практике судовождения такие наблюдения практически невоз­можны, поэтому здесь широко применяются априорные оценки, полу­ченные на основе обобщения ранее накопленного опыта. Числовые значения априорных оценок точности навигационных приборов при­водятся в Рекомендациях по организации штурманской службы (РШС-89). Так, например, ожидаемая средняя квадратичная ошибка в поправке гирокомпаса равна ± 0,3.. .0,4°.