4.3 Метод конечных объемов
Использование метода конечных (контрольных) объемов продемонстрируем на примере двумерного стационарного уравнения теплопроводности:
|
|
(31) |
,
где α – коэффициент теплопроводности, S – скорость выделения теплоты в единице объема.
Решение задачи начнем с построения разностной сетки и разбиения расчетной области на непересекающиеся ячейки (объемы), каждая из которых содержит лишь один узел сетки (рис. 13). Проинтегрируем уравнение (31) по объему ячейки А:
|
|
(31а) |
Рис. 13. Расчетная сетка, используемая для решения уравнения (31)
методом конечных объемов
Используя теорему о среднем можно записать
|
|
(32) |
,
где Δх, Δу – длины граней ячейки, xW – абсцисса левой ("западной") границы ячейки А, xЕ – абсцисса правой ("восточной") границы, уN – ордината верхней ("северной") границы, уS – ордината нижней ("южной") границы, S* – средняя по ячейке скорость тепловыделения. Индекс у производных (*), в левой части (32), указывает на то, что их следует рассматривать как средние значения, определенные таким образом, чтобы правильно представить тепловые потоки на каждой из границ. С учетом данного обстоятельства, дискретный аналог (32) может быть получен без затруднений [Патанкар].
Таким образом, уравнение (32) описывает баланс тепла (закон сохранения энергии) в пределах ячейки А. При условии правильного описания тепловых потоков между ячейками, система, составленная из уравнений вида (32), примененных к каждому контрольному объему, будет верно описывать баланс тепла во всей расчетной области.
В завершение параграфа следует отметить, что в частных случаях расчетные формулы, полученные описанными выше способами, могут совпадать, а наиболее существенные отличия проявляются при использовании криволинейных неортогональных расчетных сеток.
5. Свойства дискретных схем
5.1 Точность
Точность характеризует приемлемость численной схемы для её практического использования. Оценка точности дискретной схемы представляется весьма сложной задачей, поскольку оказывается практически невозможно отделить ошибки, возникшие вследствие свойств схемы, от ошибок, возникших вследствие прочих факторов (таких как ошибки округления, неточность задания граничных и начальных условий и др.).
Когда говорят о точности дискретной схемы, обычно имеют в виду погрешность аппроксимации производных27. В частности, если погрешность аппроксимации сопоставима со второй степенью шага расчетной сетки, то говорят, что дискретная схема имеет второй порядок точности. Более подробно этот вопрос рассматривался в § 3.
5.2 Согласованность
Дискретная схема называется согласованной с исходным дифференциальным уравнением, если при измельчении расчетной сетки погрешность аппроксимации (см. § 3) стремится к нулю,
Известны расчетные схемы, у которых для достижения согласованности необходимо выполнение дополнительных условий, [Андерсон и К]. Поскольку проверка согласованности расчетных схем является задачей разработчиков (а не пользователей) программного обеспечения более подробно этот вопрос здесь обсуждаться не будет.