ПТЦА - Лекции / Лекция 1
.pdf
Лекция 1 — Комбинационные схемы с несколькими выходами
Устройство, преобразующее дискретную информацию, в общем случае имеет n входов для входных сигналов и m выходов, с которых снимаются выходные сигналы. Каждый из выходов сигналов соответствует некоторому символу (букве) входного алфавита.
Преобразование информации, например в ЭВМ, производится устройствами
(логическими схемами) двух классов: комбинационными схемами и цифровыми
автоматами. Логическая схема, выходные сигналы |
yi= f i y1 , y2 |
,... yk , x1 , x2 ,... , xn |
|
которой описываются системой логических функций |
f i i=1... k , |
называется |
|
комбинационной схемой (КС). Здесь x1 , x2 ,... , xn− входные сигналы, |
а |
y1 , y2 , ... , yk − |
|
выходные сигналы логической схемы. Реализуемый в этих схемах способ обработки информации называется комбинационным, так как результат обработки зависит только от комбинации (набора x1 , x2 ,... , xn ) входных сигналов и вырабатывается сразу после подачи входной информации. Закон функционирования КС определен, если задано соответствие между входными и выходными словами (например, в виде таблиц истинности логических функций).
Другой, более сложный класс преобразователей дискретной информации составляют цифровые автоматы. Цифровой автомат, в отличие от КС, имеет некоторое конечное число различных внутренних состояний. Под воздействием входного слова он переходит из одного состояния в другое и выдает выходное слово. Выходное слово на выходе цифрового автомата в общем случае определяется входным словом, поступившим в этот такт на вход автомата, а также внутренним состоянием автомата, которое явилось результатом воздействия на автомат входных слов в предыдущие такты. Комбинация
входного слова и текущего состояния автомата в данном такте определяет не только выходное слово, но и то состояние, в которое автомат перейдет к началу следующего такта.
Цифровой автомат содержит память, состоящую из запоминающих элементов (триггеров), элементов задержки и других элементов, фиксирующих состояние, в котором он находится. Комбинационная схема не содержит элементов памяти, поэтому её называют автоматом без памяти или примитивным автоматом.
Комбинационную схему можно представить в виде некоторого «черного ящика», имеющего n входов и k выходов (рисунок 1).
Рисунок 1 Как было сказано ранее, значение выходных сигналов комбинационных устройств в
каждый момент времени полностью определяется значениями входных сигналов в тот же момент времени, т. е.
y1 t = f 1 x1 , x2 , ... , xn ,ti ; y2 t = f 2 x1 , x2 ,... , xn ,ti ; y3 t = f 3 x1 , x2 , ... , xn ,ti ;
...
yk t = f k x1 , x2 ,... , xn ,ti .
Будем называть соответствие между входными и выходными значениями сигналов схемы условиям её функционирования, моделью функционирования КС или просто моделью
автомата.
Модель КС может быть получена:
–в виде словесного описания соответствия между значениями входных и выходных сигналов;
–в виде таблицы истинности;
–в виде аналитических выражений;
–в цифровой форме;
–в виде карт Карно;
–в виде временных диаграмм.
Рассмотрим задачу анализа и синтеза комбинационных схем с несколькими выходами.
Анализ КС с несколькими выходами не отличается от анализа КС с одним выходом и состоит в определении условий функционирования цифрового устройства по его функциональной (или принципиальной электрической) схеме, однако, проводится для каждого выхода КС по отдельности. Синтез КС подразумевает проектирование логической схемы с целью реализации заданного закона её функционирования. Общей задачей синтеза является построение КС; реализующей заданные алгоритмы с помощью простых логических элементов.
Пример анализа. Найти словесное описание условий функционирования КС, изображенной на рисунке 2. Задать условие функционирования также в виде таблицы истинности, логических формул, карт Карно и временной диаграммы.
Рисунок 2
Словесная форма: значение сигнала на выходе Y 1 равно 1, если X 1 =X 2 =1 . Значение сигнала на выходе Y 2 равно 0, если X 1 =X 2 =X 3=1 .
Для схемы, изображенной на рисунке 2, условия функционирования данной КС в виде таблице истинности будут иметь вид:
X 1 |
X 2 |
X 3 |
Y 1 |
Y 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
0 |
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Карты Карно для |
функций Y 1 |
и |
Y 2 соответственно |
равны: |
|
|||||
|
X 1 X 2 |
|
0 0 |
|
0 1 |
|
1 1 |
1 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 3 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
0 |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
X 1 X 2 |
|
0 0 |
|
0 1 |
|
1 1 |
1 0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X 3 |
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
0 |
1 |
||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из карт |
Карно получаем: |
|
|
Y 1= X 1 X 2 |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Y 2= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
X 1 X 2 X 3 |
|
|||
Временные диаграммы для схемы показаны на рисунке 3. |
|
|||||||||
Рисунок 3
Задача синтеза схемы с n входами и k выходами отличается от задачи синтеза k схем с n входами и одним выходом тем, что при решении необходимо исключить дублирование в k схемах синтезируемых функций.
Рассмотрим два наиболее простых метода синтеза таких схем. Первый метод (классический) основан на минимизации каждой из выходных функций любым известным способом (аналитическим методом или с помощью карт Карно). Далее синтез идет на уровне функций. При этом выделяются члены общие для каждой из выходных
функций, что позволяет также упростить выходную схему.
Второй метод – метод каскадов основан на теореме разложения функции алгебры логики по k переменным:
f x1 , x2 ,..., xn =xn f x1 , x 2 ,..., xn−1 ,1 xn f x1 , x2 ,..., xn−1 ,0 .
Эта формула попеременно применяется к заданной функции столько раз, сколько необходимо, чтобы получить простые логические выражения, которые легко синтезировать, используя элементы И, ИЛИ с двумя входами:
|
|
|
|
|
f x |
1 |
, x |
2 |
,..., x |
n |
=x |
n |
f |
1 |
x |
|
f |
2 |
; |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f |
|
|
x |
|
|
, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
f |
|
; |
|
||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
,... , x |
n−1 |
=x |
n−1 |
f |
11 |
x |
|
|
|
12 |
|
|||||||||||||||||||||
|
f |
x |
, x |
, ..., x |
=x |
f |
|
|
n−1 |
f |
; |
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
1 |
2 |
n−1 |
n−1 |
21 |
x |
|
|
|
22 |
|
||||||||||||||||||||||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
n−1 |
f |
|
; |
||||||||||||||||
11 |
x |
1 |
, x |
2 |
,... , x |
n−2 |
=x |
n−2 |
|
|
x |
|
|
|
112 |
|||||||||||||||||||||
f |
x |
, x |
,..., x |
=x |
f |
111 |
|
n−2 |
f |
; |
||||||||||||||||||||||||||
12 |
1 |
2 |
n−2 |
n−2 |
|
|
x |
|
|
|
122 |
|||||||||||||||||||||||||
f |
x |
, x |
,... , x |
=x |
f |
121 |
|
n−2 |
f |
; |
||||||||||||||||||||||||||
21 |
1 |
2 |
n−2 |
n− 2 |
211 |
x |
|
|
|
212 |
||||||||||||||||||||||||||
f |
x |
, x |
,... , x |
=x |
f |
|
n −2 |
f |
; |
|||||||||||||||||||||||||||
22 |
1 |
2 |
n−2 |
n −2 |
221 |
x |
|
|
|
222 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−2 |
|
|
|||||||||||||||||||
.................................................................... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Процесс разложения происходит до тех пор, пока не будут получены функции, зависящие только от двух аргументов. Далее синтезируется схема, соответствующая системе уравнений минимального ранга.
Пример синтеза. Синтезировать схему в базисе И-ИЛИ-НЕ, выходные функции которой заданы в виде уравнений:
y |
= x |
|
x |
x |
3 |
x |
x x |
x |
x x |
; |
|||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
1 |
2 3 |
|
1 |
2 3 |
|
||
y |
= x x |
x |
3 |
x x x |
x x x |
; |
|||||||||||
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 2 3 |
|
1 |
2 3 |
|
||||||
y |
= x |
|
x x |
|
x x x |
x x x |
. |
||||||||||
3 |
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
1 |
2 3 |
|
1 |
2 3 |
|
|||
Раскладываем функции по переменной |
|
|
x1 |
: |
|
|
|
|
|
||||||||
y |
|
= x |
|
x |
x |
x |
x x x x ; |
||||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
3 |
|
|
2 3 |
1 2 3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
f 12 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f 11 |
|
|
|
|
|
|
y |
= x x x |
|
x x |
x |
x x |
; |
|||||||||||
2 |
|
|
1 |
|
|
2 3 |
|
|
1 2 |
3 |
2 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f 21 |
|
|
|
|
|
|
f 22 |
|
|
y |
= x |
|
|
x x |
|
x x |
x |
x x |
. |
||||||||
3 |
|
|
1 |
|
|
2 3 |
|
|
1 2 |
3 |
2 3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f 31 |
|
|
|
|
|
|
f 32 |
|
|
y1= x1 x2 x1 x2 x3= x2 x1 x1 x3 =x2 x1 x3 =x1 x2 x2 x3 ; y2= x1 x2 x3 x1 x2= x2 x1 x3 x1 =x2 x1 x3 =x1 x2 x2 x3 ; y3=x1 x2 x3 x1 x3 =x3 x1 x2 x1 =x3 x1 x2 =x1 x3 x2 x3 .
Подчеркнутое логическое произведение является общим для функций y1 и y3 , что позволяет упростить окончательную схему, представленную на рисунке 4.
Рисунок 4