C3-2011

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

тогда имеем

logh f logh

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.02.2015

Размер:

849.86 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

Используем метод интервалов. 1. Рассмотрим функцию

			1

		32	x	4
	(2x 5)	32		4
f (x)					.
f (x)	3x	8			.
	3x	8
2. Функция	f (x) не существует при

x 0 и x log3 8.

3.Функция f (x) обращается в нуль при

x2,5 или x log3 8. Отметим, что в точ-

ке x 2,5 равны нулю два множителя

	1
2x 5	и 32	x	4.
4. Найдем промежутки знакопостоянст-
ва	функции			f (x).	Так	как
0 log	3 8 log3 9 2 2,5 и				f (5) 0,	то
f (x) 0			при	всех	значениях

(t 3)

t2 10t 9 0

t2 10t 9 0,

t 3 0.

Из совокупности получаем числа 1, 3, 9,

нулями функции из				которых		являются
t 1	или t 9, так как			3 D( f ).
4. Находим промежутки знакопостоян-
ства	функции		f (t).	Так как		f (0) 0,
f (10) 0,		то получаем, что			f (t) 0 при
всех	значениях		t 1	[9; )		(см. рис.
17).
			f(t) не
		определена
		1		9		t

x (0; log3 8) 2,5 (см. рис. 16).

log38 2,5

Рис. 16

Ответ: 0 x log3

8;x 2,5.

Пример 35. Решите неравенство

x 2

3 2

3x 10 3x 9 0.

Решение.

Обозначим

t, где

t 0. Тогда данное неравенство примет следующий вид

t
		t	2	10t 9 0
	1

3
(t 3)			t2 10t 9 0.		(*)

Используем метод интервалов. 1. Рассмотрим функцию

Рис. 17

Полученные решения удовлетворяют условию t 0. Вернемся к переменной х.

			t 1,
Так как				то имеем
			t 9,

	3	x	1,			3	x	1,	x 0,
	3		1,			3		1,	x 0,
								81

	3	x	9		3x				x 4.
	3		9

Замечание. Удобнее в алгоритм решения неравенства (*) методом интервалов не вносить дополнительное условие t 0, а учитывать его перед возвращением к первоначальной переменной.

Ответ: {0} [4; ).

f(t) (t 3)t2 10t 9 .

2.Найдем область определения функ-

ции f (t). Для этого решим неравенство

t2 10t 9 0; (t 1)(t 9) 0;

t 1 или

t9. Отсюда D(f ) ( ;1] [9; ).

3.Находим нули функции f (t).

21.01.2011. 21 www.alexlarin.narod.ru

a 1 0,

f g 0, следует

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

рационализация неравенств

При решении неравенств методом интервалов вычисление значений функций в промежуточных точках может вызвать трудности вычислительного характера. С другой стороны, для рациональных функций такие вычисления несколько проще.

Чтобы расширить возможности применения метода интервалов при решении неравенств, используем идею рационализации неравенств (см. [2]), известную в математической литературе под другими названиями (метод декомпозиции – Моденов В.П., метод замены множителей – Голубев В.И.).

Метод рационализации заключается в замене сложного выражения F(x) на более простое выражение G(x) (в конечном счете, рациональное), при которой неравенство G(x) 0 равносильно неравенству F(x) 0 в области определения выражения F(x).

Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие

выражения

(см.

табл. 1),

где

f , g, h, p, q

– выражения с переменной x

(h 0;

h 1;

f 0;

g 0), a – фиксиро-

ванное число (a 0;

a 1).

Табл. 1

№

Выражение F

Выражение G

loga

f loga g

(a 1)(f g)

1а

loga f 1

(a 1)(f a)

1б

loga

(a 1)( f 1)

logh

f logh g

(h 1)( f g)

2а

logh f 1

(h 1)( f h)

2б

logh

(h 1)( f

log f

h logg

( f 1)(g 1)

(h 1)(g f )

(g 1,

f 1)

(h 0)

(h 1)( f g)

4а

hf 1

(h 1)f

f h gh

(f g)h

0; g 0)

( f g)( f g)

Некоторые следствия (с учетом области определения неравенства):

● logh				f logp				g 0
							(h 1)(f 1)(p 1)(g 1) 0.
● logh				f logh g 0
									(fg 1)(h 1) 0.
●							0		f g 0.
		f			g
●	hf		hg			0			f g	0.
	hp		hq						p q

● f h g p 0
							(a 1) loga			f h loga g p 0.

В указанных равносильных переходах символ заменяет один из знаков неравенств: , , , .

Доказательство. 1. Пусть

loga f loga g 0, т.е. loga f loga g,

причем
a 0; a 1; f 0; g 0.	( )
Если 0 a 1, то по свойству убываю-
щей логарифмической функции	имеем

f g . Значит, выполняется система неравенств

откуда неравенство (a 1)(f g) 0, верное на области опре-

деления выражения F loga f loga g. Если a 1, то f g . Следовательно,

имеет место неравенство

(a 1)( f g) 0.

Обратно, если выполняется неравенство (a 1)(f g) 0 на области ( ), то оно на этой области равносильно совокупности двух систем неравенств

a 1 0,	a 1 0,
	и
f g 0	f g 0.

Из каждой системы следует неравенство

loga f loga g, т.е. loga f loga g 0.

Аналогично, рассматриваются неравенства вида F 0, F 0, F 0.

21.01.2011. 22 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

2. Пусть некоторое число a 0 и a 1,

loga f loga g . loga h

Знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

		2	2x 3) 0,
(2x 2)(x			2x 3) 0,

2x 3 0,

x 0
	(x 1)(x 1)(x 3) 0,

	x 1,5,

x 0.

Отсюда получаем решения

(a 1)( f g) или (h 1)(f g).

(a 1)(h 1)

3. Так как

logf h logg h logg h logg h logg f

(logg h)logf g logg h logg h(logf g 1),

то, используя замены 2а и 2б, получаем, что знак последнего выражения совпадает со знаком выражения

(g 1)(h 1)( f 1)(g f ) или (f 1)(g 1)(h 1)(g f ).

4. Из	неравенства	hf hg 0 следует
hf hg.	Пусть число	a 1, тогда

loga hf loga hg или ( f g)loga h 0.

Отсюда с учетом	замены 1б и условия
a 1 получаем
(f g)(a 1)(h 1)	0, (h 1)( f g) 0.

Аналогично, доказываются неравенства

F 0, F 0, F 0.

5.Доказательство проводится аналогично доказательству 4.

6.Доказательство замены 6 следует из равносильности неравенств

p q и p2 q2 ( p q и p2 q2 ).

Пример 36. Решите неравенство

log2x 3 x2 1.

Решение. Запишем неравенство в виде log2x 3 x2 1 0 и заменим его равносиль-

ной системой, используя метод рационализации

	2	2x 3) 0,
(2x 3 1)(x		2x 3) 0,

2x 3 0,

2x 3 1

x 0

1,5; 1 1;0 0;3.

Ответ: 1,5; 1 1;0 0;3.

Пример 37. Решите неравенство

log x 2 4 7x 2x2 2.

Решение. Запишем неравенство в виде log x 2 4 7x 2x2 log x 2 (x 2)2 0

и заменим его равносильной системой, используя метод рационализации

		2	(x 2)		2	) 0,
(\| x 2\| 1)(4 7x 2x			(x 2)			) 0,

4 7x 2x2 0,

x 2 0,

\| x 2\| 1.
Знак множителя	(\| x 2\| 1)			совпадает

со знаком ((x 2)2 1) по замене 6. Получим равносильную систему нера-

венств


	2	1)( 3x		2	3x) 0,
((x 2)		1)( 3x			3x) 0,
			0,
(x 0,5)(x 4)			0,
	x 2,		x 1
x 3,	x 2,		x 1

x(x 1)(x 3)(x 1) 0,

(x 0,5)(x 4) 0,

x 3, x 2, x 1.

3 2 1	0,5 0 1	4 x
	Рис. 18

Окончательно получаем (см. рис. 18), что решением являются все x такие, что

0,5 x 0, 1 x 4.

Ответ: 0,5;0 1;4 .

21.01.2011. 23 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

Пример 38. Решите неравенство Решение. Запишем неравенство в виде

logx logx

3 x 0.

log

(3 x) log

(3 x) 0

12x2 41x 35

2 5x 3

и заменим его равносильной системой, ис-

Решение. Заменим данное неравенство

пользуя метод рационализации

равносильной системой, используя метод

41x 34)(2x

5x 2)(2 x)

рационализации

(12x

( 10x2

36x 32) 0,

log

3 x 1 0,

41x 35 0,

12x

log

5x 3 0,

3 x 0,

2x2

41x 34 0,

3 x 0,

12x

x 0,

2x2 5x 2 0,

x 3,

3 x 0

x 1

(x 3)(x 1)( 3 x x) 0,

(x 1) 3 x 1 0,

x 3,

1 x

x 0,

x 1

x 2 0,

) 0,

(x 1)(3 x x

(x 1)(3 x 1) 0,

2 x

x 3,

x 3.

x 0,

Для

решения

первых трех неравенств

x 1

системы используем метод интервалов.

13 1

Самостоятельно рассмотрите рисунки и

выберите общую часть для решения сис-

темы.

8 5

1 x 2

Ответ:

;

; 2

(2;3).

13 1

x 2.

Пример 40. Решите неравенство

Замечание. При решении неравенства

(x 1)log3(x 1)

(x 1)(x 2) 0 системы учтены условия

log2,1(x 10)2

log1,9

x 3, x 0, x 1. Условие 1 x 2 по-

9 log2,1(x 10)2 log1,9 x

Решение. Область определения нера-

зволяет исключить множитель x 1 0 в

первом неравенстве системы.

венства задается системой

13 1

x 1 0,

Ответ:

; 2

x 1,

x 0,

Пример 39. Решите неравенство

или

x 10,

x 1,

x 11,

log

(3 x) log

(3 x).

x 10,

12x

41x 35

5x 3

(x 10)2

x 9.

21.01.2011. 24 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

Учитывая, что при	x 1 выражение
log1,9 x положительно,	преобразуем дан-

ное неравенство на его области определения

81 (x 1)log 3(x 1)

log2,1(x 10)2

Далее используем метод рационализации

log3 81 log3(x 1)log3 (x 1)			0;
(2,1 1) (x 10)2 1
	4 log32 (x 1)
		0;

	(x 9)(x 11)

log3 9 log3 (x 1) log3 9 log3 (x 1) 1 0; (x 9)(x 11)

(x 9)(x 11)

(x 10) 9x 10

(x 9)(x 11)(x 1)

11 x

Рис. 19

Ответ:

(10;11).

Пример 41. Решите неравенство

3log

2 x2

14x 45

(3,5 x)

4log 3,5 x x2

14x 45 .

Решение. Учитывая, что

3,5 x 0,

получаем

log 3,5 x x2 14x 45

4log 3,5 x x2 14x 45

5log 3,5 x x2

14x 45 0.

Далее имеем

		2	14x 45 1) 0,
( 3,5 x 1)(x			14x 45 1) 0,
	14x 45 0,
x2	14x 45 0,

3,5 x 0,

3,5 x 1

(x 4,5) x ( 7 5) x ( 7 5) 0,

(x 9)(x 5) 0,

x 3,5,

x 4,5.

Для выяснения взаимного расположения точек на числовой прямой, сравним

числа:		7	5 9,		7	5 5	и
7		4,5.
7	5	4,5.
Получаем			7		9,	так	как
Получаем			7	5	9,	так	как

2 5, 4 5 (верно);

7 5 5, так как 5 2 (верно)

7 5 4,5, так как 5 2,5, 5 6,25 (верно).

На рис. 20а на числовой оси показано решение первого неравенства системы.


			x

Рис. 20а

На рис. 20б на числовой оси показано решение всей системы.

Рис. 20б

Ответ: ( ; 7 5] [ 7 5; 4,5).

21.01.2011. 25 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

метод интервалов на координатной окружности

Данный метод удобно применять к тригонометрическим неравенствам, приводимым к виду

( f1(x) a1)( f2 (x) a2 ) ... ( fn (x) an ) 0,

в частности,

f1(x) f2 (x) ... fn (x) 0,

где каждая fi (x) – одна из простейших тригонометрических функций, ai – дейст-

вительные числа, i 1, 2,..., n.

В случае, когда наименьший общий период T тригонометрических функций, входящих в данное неравенство, не превосходит 2 , решение неравенства можно рассмотреть на числовой окружности на промежутке, равном по длине периоду. Далее при записи ответа следует учесть, что решением данного неравенства будут являться все числа, отличающиеся от полученных на nT , где n Z.

Пример 42. Решить неравенство

sin x sin3x 0. cosx sin 2x

Решение. Для решения неравенства используем метод интервалов.

1. Пусть

f (x) sin x sin3x . cosx sin 2x

2. Найдем нули знаменателя
cosx sin 2x	0						cosx 0
cosx sin 2x	0
							sin 2x 0

x				k
x	2			k			k,n Z .
	2
		n
		n
x					,
x	2				,
	2
3. Найдем нули числителя
sin x sin3x	0						sin x 0
sin x sin3x	0
							sin3x 0
x l
			m				l,m Z
x						,
x						,
	3

4. Найдем промежутки знакопостоянства

функции	f (x). Так как нули тригономет-
рических	функций (sin x ,sin3x, cosx,

sin2x), входящих в данное неравенство, по-

вторяются		с	периодами		соответсвенно
вторяются		с	периодами		соответсвенно


,	, ,	,	кратными	2 , то изобразим


3	2

множество решений на числовой окружности, выделив промежуток [0;2 ).

На промежутке [0;2 ) функция											f (x)
не определена в точках 0,					,	,		3		и об-
								2
		2
ращается в нуль в точках				,		2	,		4	,		5	.
						3					3
		3						3
При этом	и	3	– точки четной кратно-
		2
2
сти, остальные – нечетной кратности.

Так как f		0, то расставляем знаки

всоответствии с правилом знакочередования, как показано на рис. 21.

		y





					x
					x

Рис. 21

Исходному неравенству удовлетворяют те значения x, для которых f (x) 0.

Ответ: 2 k x 2 k; 3

2 2 k x 2 k; 3

4 2 k x 3 2 k; 3 2

3 2 k x 5 2 k; k Z . 2 3

21.01.2011. 26 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

2.3. Использование ограниченности функций

Для использования ограниченности функции необходимо уметь находить множество значений функции и знать оценки области значений стандартных

функций (например, 1 sin x 1, x 0

и т.д.).

метод оценки

Иногда неравенство f (x) g(x) устроено так, что на всей ОДЗ неизвестной имеют место неравенства f x A и

g x A при некотором А. В этом случае:

а)	решение неравенства	f (x) g(x)
сводится к нахождению тех значений			x,
для	которых одновременно	f x A	и

g(x) A;

б) решение неравенства f (x) g(x) сводится к нахождению тех решений неравенства f (x) A, для которых определена функция g(x).

Пример 43. Решите неравенство log5 x 1 x4 .

Решение. Область определения неравенства задается условиями:

x 0,		0 x 1.
1 x4	0	0 x 1.

Исходное неравенство возможно только в том случае, если обе части неравенства равны 4, то есть данное неравенство равносильно системе

	16 (5x 2)2 4,

					15 x
	4 cos2					4.

				4
Первое уравнение системы имеет один
корень	x	2	,	который удовлетворяет и

	5
второму уравнению.
						Ответ: –0,4.
неотрицательность функции
Пусть левая часть неравенства f (x) 0
есть	сумма			нескольких			функций
f (x)	f1(x) f2 (x) ... fn (x),						каждая из

которых неотрицательна для любого x из области ее определения. Тогда неравенство f (x) 0 равносильно системе уравнений

f1(x) 0,

f2 (x) 0,...............

fn (x) 0.

а неравенство f (x) 0 сводится к нахождению области определения функции f (x).

Пример 45. Решите неравенство

x3 8x2 7x 26 x2 3x 10 0.

Для всех x из полученного множества

имеем log5 x 0, а

1 x4

0. Следова-

тельно, решением этого неравенства является промежуток (0;1].

Ответ: (0;1].

Пример 44. Решите неравенство

16 (5x 2)2 4 cos2 15 x . 4

Решение. Оценим правую часть. Так как

0 cos2 15 x 1, то 4 4 cos2 15 x 5. 4 4

Для левой части последовательно име-


ем	(5x 2)2 0,		(5x 2)2 0,

16 (5x 2)2 16,		16 (5x 2)2		4 при
всех допустимых значениях x.

Решение. Так как левая часть неравенства неотрицательна, то данное неравенство выполняется только при одновременном равенстве нулю слагаемых

	x3 8x2 7x 26 0,
			x 2.
	x 5,

x 2

Ответ: 2.

21.01.2011. 27 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

применение свойств модуля

Пример 46. Решите неравенство

| x2 3x 2| x2 3x 2.

Решение. Из	условия	\| a \| a	и из
свойств модуля	\| a \| a	имеем \|	a\| a.

Отсюда по определению модуля получаем

a 0, где	a x2	3x 2.	Неравенство
x2 3x 2 0		имеет	решения
( ;1] [2; ).

Ответ: ( ;1] [2; ).

Пример 47. (МИОО, 2010). Решите не-

равенство

| x3 2x2 3x| | x2 4x 5|

	\| x3 x2 x 5\|.
Решение.	Неравенство	имеет вид
\| a \| \|b \| \|	a b\|, где a x3	2x2 3x и

bx2 4x 5.

Сдругой стороны известно неравенство треугольника | a | |b | | a b|. Отсюда

получаем равенство | a| |b |

| a b|,

которое справедливо при условии ab 0.

Из неравенства

(x3 2x2 3x)(x2 4x 5) 0

или

x(x 1)(x 3)(x 1)(x 5) 0

получаем решения [ 5; 1] [0;1] [3; ).

Ответ: [ 5; 1] [0;1] [3; ).

Напомним некоторые дополнительные свойства модулей.

● Сумма модулей равна алгебраической сумме подмодульных выражений тогда и только тогда, когда каждое выражение имеет тот знак, с которым оно входит в алгебраическую сумму.

\| f \| \| g \| f g	f	0,
\| f \| \| g \| f g
	g 0.
\| f \| \| g \| f g	f	0,
\| f \| \| g \| f g
	g 0.
\| f \| \| g \| f g	f	0,
\| f \| \| g \| f g
	g 0.

\| f \| \| g \| f g	f	0,

	g 0.

● Сумма модулей равна модулю алгебраической суммы подмодульных выражений тогда и только тогда, когда одновременно все выражения имеют тот знак, с которым они входят в алгебраическую сумму, либо одновременно все выражения имеют противоположный знак.

\| f \| \| g \| \| f g \|
f 0,	f	0,	fg 0;
	или		fg 0;
g 0	g 0
\| f \| \| g \| \| f g \|
f 0,	f	0,	fg 0.
	или	0	fg 0.
g 0	g	0

Одна из схем решения уравнения для трех слагаемых:

\| f \| \| g \| \| h\| \|	f g h \|
f 0,	f 0,

g 0, или g 0,


h 0	h 0.

ограниченность синуса и косинуса

Пример 48. (МИЭТ, 1998). Решите не-

равенство

(x2 2x 2) cos(x 1) 2x2 4x 3.

Решение. Поскольку x2 2x 2 0 при любом x, то, разделив обе части неравенства на x2 2x 2, придем к равносильному неравенству

cos(x 1)

2x2

4x 3

2x 2

cos(x 1) 1

(x 1)

(x 1)2

Так как cos(x 1) 1, а правая часть не-

равенства

(x 1)2

1 при всех зна-

(x 1)2 1

чениях x и 1

(x 1)

1 при

x 1,

(x 1)

то равенство возможно только при x 1.

21.01.2011. 28 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

Проверкой убеждаемся, что и левая часть неравенства при x 1 также равна 1.

Ответ: 1.

Пример 49. Решите неравенство

cos4x sin x 1.

Решение.

Так

как

cos4x

1 и

sin x

1, то

cos4x

sin x

1 и исход-

ное неравенство равносильно совокупности

4x 2 n,

cos4x 1,

x 1,

2 k,

sin

cos4x 1,

4x 2 n,

sin x 1

2 k,

n,k Z

2 k,

2 k, k Z.

Ответ:

2 k,

k Z.

Пример 50. Решите неравенство

Решение.

cosx cos3x 2.

Из

неравенств

cosx

1 и

cos3x 1 следует, что неравенство воз-

можно только в том случае, когда оба слагаемых одновременно будут равны по 1.

cosx cos3x 2				cosx 1,
cosx cos3x 2
				cos3x 1
	x 2 n,
		2 k		n, k Z.
		2 k		n, k Z.
	x		,
	x	3	,
		3

Вторая серия решений включает первую серию, поэтому окончательно имеем x 2 n, n Z.

Ответ: 2 n, n Z.

применение классических неравенств

Рассмотрим классическое неравенство Коши, известное школьнику как неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим неотрицательных чисел, которое эффективно может быть использовано при решении неравенств.

Неравенство Коши: для любых неотри-

цательных чисел a1, a2 ,..., an справедливо неравенство

a1 a2	... an	n						,
			a	a	2	... a	n

	n	1

причем равенство достигается только в случае a1 a2 ... an .

Пример 51. Решите неравенство

x1005 2010 2011. x

Решение. Запишем левую часть данного неравенства следующим образом

x1005	2010		x1005	1		...	1		.

		x			x			x

2010слагаемых

Используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим, получим

x1005	1		...			1

		x					x

2011 2011	x1005			1		...		1

					x				x

2011 20111 2011.

Причем равенство имеет место при равенстве слагаемых, т.е. при

x1005	1		x 1.

		x

Следовательно, исходное неравенство выполняется только при x 1. При всех остальных допустимых значениях x левая часть исходного неравенства больше

2011.

Ответ: 1.

21.01.2011. 29 www.alexlarin.narod.ru

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной.

2.4. Использование монотонности функций

При использовании монотонности функций различают случаи, когда функции, стоящие в обеих частях неравенства, имеют одинаковую монотонность или разную монотонность.

монотонность функции на множестве R

Если функция f (t) строго возрастает на R, то f h(x) f g(x) равносильно неравенству h(x) g(x).

Если функция f (t) строго убывает на

R, то f h(x) f g(x) равносильно неравенству h(x) g(x).

Отметим следствия из этих утверждений, которые часто используют при решении неравенств.

Следствие 1. Так как функция y t2n 1, n N, строго возрастает на R, то неравенство h(x) 2n 1 g(x) 2n 1 равносильно неравенству h(x) g(x).

Следствие 2. Так как функция y 2n 1t, n N, строго возрастает на R, то неравен-


ство 2n 1 h(x)		2n 1 g(x) равносильно нера-
венству h(x) g(x).
Следствие		3. Так как функция
y at (a 1)		строго возрастает на R, то
неравенство		ah(x)	ag(x)	равносильно		не-
равенству h(x) g(x).
Следствие		4.	Так	как	функция
y at (0 a 1) строго убывает на R,						то
неравенство		ah(x)	ag(x)	равносильно		не-
равенству h(x) g(x).
Следствие		5.	Так	как	функция
y arctgt	строго возрастает на R, то нера-
венство	arctg h(x) arctg g(x)				равно-
сильно неравенству h(x) g(x).
Следствие		6.	Так	как	функция
y arcctgt строго убывает на R,					то нера-
венство	arcctg h(x) arcctg g(x) равно-
сильно неравенству h(x) g(x).