Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1309 вузов, 5197 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный университет кораблестроения им. адм. Макарова
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

C1-2011

.pdf
Скачиваний:
33
Добавлен:
15.02.2015
Размер:
449.67 Кб
Скачать
☆

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

tgx 0,

sin x 0,sin x 0,

sin x 0,5.sin x 0,5

Получаем

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

 

 

 

2 n,

3

 

 

 

 

 

n,k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

k,

6

 

 

 

 

 

 

 

с ограничениями

 

 

 

 

sin x 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m Z.

 

 

 

 

 

x ( 1)n

 

 

m,

6

 

 

 

 

 

Так как тригонометрические функции (sin x , cosx, tgx), входящие в данное уравнение, имеют общий наименьший положительный период 2 , то изобразим множество решений на числовой окружности, выделив промежуток [ ; ).

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Пример 30. Решить уравнение:

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2sin

 

 

x

2cos

 

 

x

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6x x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Данное уравнение равно-

сильно смешанной системе

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2sin

 

 

x 2cos

 

x

 

 

 

 

1 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

х х

2

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решим вначале уравнение этой системы.

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

x 2cos

 

x

 

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

x 1 cos

2x

 

 

 

1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2sin2 x sin 2x 0

2sin2 x 2sin xcosx 0

sin x (sin x cosx) 0

sin x 0,

 

 

 

sin x 0,

 

 

 

 

 

 

sin x cosx 0;

 

tgx 1;

 

x n,

 

n Z,

 

 

 

 

 

 

 

x

k,

k Z.

 

4

 

 

 

 

 

 

Перейдем к решению неравенства:

6х х2 0 x (6 x) 0 0 x 6.

Среди решений уравнения отберем те, которые принадлежат интервалу (0;6).

Рассмотрим первую серию решений.

0 n 6, n Z , 0 n 6 , n Z ,

n 1. Следовательно, интервалу (0;6)

принадлежит x .

Рассмотрим вторую серию решений.

0 k 6, k Z ,

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

k

6

 

1

, k Z .

 

 

4

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поскольку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1,25

6

 

1

 

 

 

6

 

1

 

 

 

6

 

 

 

1

1,75, то ус-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

4

 

 

 

 

4

 

3

4

 

ловиям

1

 

k

6

 

1

 

 

,k Z , удовлетво-

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

ряют два значения: k 0 и k 1. Значит, интервалу (0;6) принадлежат два реше-

ния из второй серии: х1 и х2 5 . 4 4

Ответ: , , 5 . 4 4

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

12. Упражнения

1. Решите уравнение:

 

 

 

2sin2

x

19sin

x

 

10 0.

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ( 1)n

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

2. Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos2 x 5sin x 1 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: ( 1)n 1

 

n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

Найти

сумму

корней

уравнения

(tgx 1)(sin x 1) 0,

 

принадлежащие

промежутку [ 50 ;

350 ].

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 405 .

 

Найти

сумму

корней

уравнения

(ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принадлежащие

 

 

3)sin2x 0,

промежутку [ 100 ; 300 ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 390 .

5.

 

Найдите

 

те

решения

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

sinx

2

для которых cosx 0.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

6.

 

Найдите

 

те

решения

уравнения

cosx

1

, для которых sinx 0.

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

Найдите

 

все

корни

уравнения

(

 

sin x 1)(2sin x 3) 0,

удовлетво-

2

ряющие неравенству tgx 0.

Ответ: 2 n, n Z.

8.

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

Найдите

все

корни

уравнения

(

 

 

cosx 1)(2cosx 1) 0,

удовлетво-

 

2

ряющие неравенству sinx 0.

 

 

Ответ:

 

2 n,

2

2 k, k, n Z.

 

 

 

 

 

4

 

3

 

 

 

 

9.

 

 

Найдите

все

корни

уравнения

(2cosx

 

3)(3cosx 4) 0,

удовлетво-

 

ряющие неравенству tgx 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

5

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

 

 

10.

Найдите

 

все

корни

уравнения

(tgx

 

 

3)(2cosx 1) 0,

 

удовлетворяю-

 

 

щие неравенству sinx 0.

 

 

 

Ответ:

 

2 n,

2

2 k, k,n Z.

 

 

3

 

11.

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

Найдите

 

все

корни

уравнения

(tgx 1)(

 

sin x 1)

0,

 

удовлетворяю-

2

 

щие неравенству cosx 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

5

2 k, k Z.

12.

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найдите

 

все

корни

уравнения

3tg2 x 1, удовлетворяющие неравенству sinx 0.

Ответ:

 

2 n,

7

2 k, k,n Z.

 

 

6

6

 

13. Найдите

все корни уравнения

2sin2 x sin x, удовлетворяющие неравенству cosx 0.

Ответ: 2 n, 3 2 k, k,n Z. 4

14.Найдите все корни уравнения

2cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cosx 0,

 

удовлетворяющие

неравенству sin x 0.

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

2 n;

5

 

2 k; k,n Z.

 

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

15. Найдите

все

корни уравнения

tg2x

3

tgx,

удовлетворяющие нера-

венству cosx 0.

 

 

4

 

Ответ:

2 n,

2 k, k,n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

16. Найдите наименьший по модулю корень уравнения 7cos3x 3cosx 0.

Ответ: arccos 6. 7

17. Найдите наименьший по модулю корень уравнения 5sin3x 2sin x 0.

Ответ: 0.

18. Решите уравнение: ctgx cosx 0.

Ответ: n, n Z. 2

19. Решите уравнение: tgx sin x 0.

Ответ: n, n Z.

20. Решите уравнение: 3tgx 2ctgx 5.

Ответ: n, arctg2 k, n,k Z. 4 3

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

21. Решите уравнение: 4tgx 3ctgx 1.

Ответ: n, arctg 3 k, n, k Z.

44

22.Решите уравнение: ctg3x ctgx.

Ответ: n, n Z.

23. Решите уравнение:

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

3 cos

 

 

1

0.

2

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

2 n, n Z.

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. Решите уравнение:

ctg2x cos5x sin x 0.

Ответ: k, n, k,n Z.

68 4

25.Решите уравнение:

tg2x tg4x tg5x tgx.

Ответ: n, n Z, где n 3 6k, k Z.

6

26. Решите уравнение: sin3x 0. sin x

Ответ: n, n Z. 3

27. Решите уравнение: 2sin x 3 0. 2cosx 1

Ответ: 2 n, n Z. 3

28. Решите уравнение: sin 2x cosx. tgx

Ответ: 2 n, n Z. 3

29.Решите уравнение:

1cosx sin x 0. cosx

 

 

Ответ: 2 n,

n Z.

30. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

sin x cosx

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

 

Ответ:

 

n,n Z,

n 0.

 

 

4

sin x cosx

 

31. Решите уравнение:

1.

cosx cos3x

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

n

,

n Z.

 

 

 

8

2

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

32.

Решите уравнение:

4tg2x 3tgx

 

0.

5sin2x 3sin x

 

 

 

 

 

 

Ответ: arctg

3

 

2 n,

n Z.

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3ctg2x 4ctgx

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

5cos2x 4cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arcctg

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34.

Решите уравнение:

cos4x

 

sin 4x

.

 

 

 

 

 

cos2x

 

 

 

sin 2x

 

 

 

 

Ответ:

 

 

n

,

n Z.

 

 

 

 

2

35.

Решите уравнение:

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4cosx ctgx 4ctgx sin x 0.

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: arccos

 

 

2 n,

n Z.

 

 

 

3

36.Решите уравнение:

3sin2x tgx 4cos2 x 7sin x 1.

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

37. Решите уравнение:

cos2x 1 sin x 0. ctgx 1

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

38. Решите уравнение:

cos2x cosx 1 0. 2sinx 3

Ответ: k, 2 2 n, k, n Z.

23

39.Решите уравнение:

 

 

cos2x sin x

1

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cosx

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: k;

5

2 n;

k, n Z.

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

40. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

2 2cos2 x

 

 

 

sin x

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

k,

2

2 k, k Z.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

41. Решите уравнение:

 

2 2sin2 x

3cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

ctgx

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

k,

 

2 n,

k, n Z.

 

 

26

42.Решите уравнение:

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

 

 

 

 

x

 

3tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

2cosx 1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: k,

 

2 k, k Z.

 

 

 

43. Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin4x sin2x cos3x

2sinx 1

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin2x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

5

2 k, 2 k,

5

2 k,

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

3

 

 

k Z.

44. Найдите все значения x, при каждом

из которых выражения sin 4x и tg2x

cos4 x sin4 x принимают равные значеtg2x

ния.

Ответ: ( 1)k k , k Z. 12 2

45. Решите уравнение:

cos2x sin3x 2cosx.

 

 

Ответ:

 

2 k,

3

 

 

2 n, k,n Z.

 

 

2

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

sin x sin

 

 

 

sin 2x

cosx 0.

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

k,

 

2 m,

 

2

 

2 (2n 1),

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

k,m,n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

47. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

cosx cos

 

 

 

cos2x

sin x 0.

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

4 k, m,

4

2 (2n 1),

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

k,m,n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48. Решите уравнение: cos2x cosx 0. 1 sin x

Ответ: 2 k, 2 n, k,n Z. 3

49. Решите уравнение:

cos2x 2 3sin x

1 cosx

0

Ответ: 2 k, 2 n, k,n Z.

26

50.Решите уравнение:

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin

 

x sin

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

 

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

51. Решите уравнение:

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6sin2 x 5sin x 1

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Ответ:

 

 

2 n; arcsin

 

2 n;.

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

n Z .

52. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6cos3x cos2

x cosx

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

2 n, arccos

1

2 n,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

n Z.

53. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2sin3x 3sin2

 

x sin x

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

5

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

54. Решите уравнение:

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos3x 3cos2

 

 

x cosx

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55. Решите уравнение:

 

 

tg3x tgx

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Ответ:

2 k,

2 n,

 

k,n Z.

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

56.

Решите уравнение:

ctg3x ctgx

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 k,

k Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

57.

Решите уравнение:

 

9sin x 3

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

5

 

2 k,

k Z.

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9cos x 3

 

 

 

 

58.

Решите уравнение:

2

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

23tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

2 k,

k Z.

 

 

59.

Решите уравнение:

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

2

 

 

 

 

sin

25 x2

 

x2 25.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 0.

60. Решите уравнение:

(sin2x) 4 x2 0.

Ответ: 2; 2; ; ; 0. 2 2

61. Решите уравнение

(cos3x 1) 6 5x x2 0.

Ответ: 1; 6; 0; 2 ; 4 . 3 3

62. Решите уравнение:

sin0,8x 4 x2 2 x2 3.

Ответ: 5 . 8

63. Решите уравнение:

5cosx cos2x 2sin x.

Ответ: 2 n, n Z. 3

64. Решите уравнение:

(2sin x 1)( cosx 1) 0.

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

65. Решите уравнение:

(2cosx 1)( sin x 1) 0.

Ответ:

 

2 k,

2

2 n,

k,n Z.

 

 

2

3

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

15

www.alexlarin.narod.ru

66. Решите уравнение:

(2cos2 x 9cosx 4) 2tgx 0.

Ответ: k,

 

2 n,

k,n Z.

 

3

 

 

67. Решите уравнение:

(2sin2 x 9sin x 5)11tgx 0.

Ответ: k,

5

2 n,

k,n Z.

 

 

6

 

 

 

 

68. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

cosx.

 

 

3 4cos2x

2

 

Ответ: arccos

6

2 n, n Z.

6

 

 

69. Решите уравнение:

5 2sin x 6sin x 1.

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

70. Решите уравнение:

sin x cosx 1 2sin2 x .

Ответ: 2 k, n, k,n Z. 4

71. Решите уравнение:

 

sin x cosx 0.

 

Ответ: k,

 

 

 

 

 

2 n, k,n Z.

2

72. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

cos2x

2

 

 

Ответ: ( 1)n 1

 

n, n Z.

 

73. Решите уравнение:

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2x 2sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 2 k,

3

2 n,

k,n Z.

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

74. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin 2x 2cos

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2 k,

2 n,

k,n Z.

 

 

24

75.Решите уравнение:

10cos2 x cosx 3

0

 

 

 

(5sin x 4)

tgx

 

Ответ: 2 2 k, arccos3 2 n, 3 5

k,n Z.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

76. Решите уравнение:

 

 

2sin

2 x 5sin x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 k,

5

2 k,

k N.

 

 

66

77.Решите уравнение:

 

2cos

2 x 5cosx 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

2 k,

 

2 k,

k N.

 

 

33

78.Решите уравнение:

4sin2 x 8cosx 7 0.

ctgx

Ответ: 2 2 k, k Z. 3

79. Решите уравнение:

4cos2 x 8sin x 7 0.

tgx

 

Ответ:

5

2 k,

k Z.

 

6

 

 

80. Решите уравнение:

4cos2 x 8sin x 7 0.

tgx

 

Ответ:

5

2 k,

k Z.

 

6

 

 

81. Решите уравнение:

3cos2x 7cosx 3 0. sin x

Ответ: 2 n, n Z. 2

82. Решите уравнение: 4cosx 3 0 tgx

Ответ: arccos3 2 n, n Z . 4

83. Решите уравнение: 6sin x 5 0. cosx

Ответ: arcsin 5 2 n, n Z. 6

25.12.2010

16

www.alexlarin.narod.ru

84. Решите уравнение:

(2y 7 )(4y 7 )(8y 7 ) 0.

cosy

Ответ: 7 . 4

85. Решите уравнение:

(2y 9 )(4y 9 )(13y 9 ) 0. cosy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

9

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

86. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4cos

2 x

 

 

 

 

 

x

sin

x

 

 

2

 

 

 

 

sin

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 k, 2arctg2 2 n,

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k,n Z.

87. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

3

cos

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

x

 

 

 

Ответ: 2 n, n Z. 4

88. Решите уравнение: logcos x sin x 1.

Ответ: 2 k, k Z. 4

89. Решите уравнение: logsin x 3cosx 1

Ответ: 2 k, k Z. 3

90. Решите уравнение

log3 sin x log3 cosx log3(1 cos60 ).

Ответ: 2 n, n Z. 4

91. Решите уравнение

log 3 (2sin2 x 1) log 3 sin x.

Ответ: 2 n, n Z. 2

92. Решите уравнение:

log 5 cosx log 5 (1 2cos2 x).

Ответ: 2 n, n Z. 3

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

93. Решите уравнение:

(2cos2 x 7cosx 3)log41( sin x) 0.

Ответ: 2 n, 2 n, n Z.

32

94.Решите уравнение:

(2sin2 x 7sin x 3)log14 ( cosx) 0.

Ответ: 5 2 n, 2 n; n Z. 6

95. Решите уравнение:

cosx(2cosx 1)(2cosx

3)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log6( 3tgx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

96. Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x(2sin x 1)(

 

 

sin x 1)

 

0.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lg(tgx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

5

 

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

97. Решите уравнение:

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3)log13 (2sin2 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log31( 2cosx)

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

98. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2cosx 1)log13 (3tg2 x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

log31 (2sinx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

2

 

 

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

99. Решите уравнение:

log

2 (2sin x)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

5

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

100. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log5( 2cosx)

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

101. Решите уравнение:

log

7(

 

 

 

 

3tgx)

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

7

2 n,

n Z.

 

 

 

 

 

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

102. Решите уравнение

1 3sin x sin2 x cosx.

Ответ: 2 n, n Z.

103. Решите уравнение:

1 4cosx cos2 x sin x .

Ответ: 2 n, n Z. 2

104. Решите уравнение:

x2 (2 5 )x 6 2 4sin(x 13 ) 0

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 2 .

105. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 (3 )x 6 2 9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

 

 

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 3 .

106. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log

3

 

x2

1

x

49

 

 

sin x cos x 2

 

2 16 .

Ответ: 1. 4

107. Решите уравнение: |sin 2x| cosx.

Ответ: n, 2 k, n,k Z.

26

108.Решите уравнение: ctgx|sin x| 0,5.

Ответ: 2 2 k, 2 n, k,n Z.

33

109.Решите уравнение:

|cosx| cosx 2sin x.

Ответ: 2 k, 5 2 n, k,n Z. 4

110. Решите уравнение:

4|sin x| 2cos2x 3.

Ответ: n, n Z. 6

111. Решите уравнение:

sin x

 

2

 

cosx

 

2

 

.

2

 

 

 

 

 

2

 

 

Ответ: 2 n, n Z. 4

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

112. Найдите все решения уравнения

sin 2x cosx|cosx|

из промежутка [0;2 ].

Ответ:

 

,

3

, arctg

1

, arctg

1

.

 

 

 

 

2

 

 

2

2

2

 

113. Решите уравнение:

sin 2x 2sin x 2. |cosx|

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

114. Решите уравнение:

(3cos0,5x 4)2

cos2 0,5x 6cos0,5x 9 1.

Ответ: 2 n, n Z.

115. Решите уравнение:

(3sin x 4)2

sin2 x 6sin x 9 7 23.

Ответ: ( 1)n 1 n; n Z. 3

116. Решите уравнение:

(2sin 0,2x 3)2

sin2 0,2x 2sin0,2x 1 2.

Ответ: 5 n; n Z.

117. Решите уравнение:

2|cosx| 3cosx 4|sin x| 5sin x 0.

Ответ: arctg

5

 

2 n,

 

2 k,

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

4

 

118. Решите уравнение:

 

 

 

 

n,k Z.

 

 

 

 

 

 

4|cosx| 6cosx 5|sin x| 3sin x 0.

Ответ:

arctg

5

2 n, arctg5 2 k,

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n, k Z.

119. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

cos

22

 

 

 

3

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

Ответ: 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

120. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11x

 

 

33

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

sin

 

 

 

 

.

 

 

 

2

 

 

 

3

 

 

 

Ответ: 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25.12.2010

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

 

 

 

 

121. Решите уравнение:

2cos( x )

x2

6x 11.

122. Решите уравнение:

Ответ: 3.

 

 

 

 

 

sin x

 

x2 4x 7.

3

2

Ответ: –2.

123. Решите уравнение:

cosx 1 x2 4 x 4 2 .

Ответ: 2 .

124.Решите уравнение:

x2 x 2 sin x 1.

4

Ответ: . 2

125.Решите уравнение:

x2 6x 10 sin 3 x.

2

Ответ: 3.

126.Решите уравнение:

x2 4x 5 cos4 x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: –2.

127. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

3

 

2

2cosx

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

2.

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: .

128. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin x

x2

 

 

x

2

 

 

3.

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

129. Решите уравнение:

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin(2x3 2x2

3x 0,2)

arcsin(3x2

2x 0,2) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: 0; 1.

130. Решите уравнение arccos(2x3 5x2 x 0,2)

arccos(2x 4x2 0,2) .

Ответ: 0.

131. Решите уравнение:

arctg(4x2 8x 9) arctg16x2 0.

Ответ: –0,5; 0,9.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

132. Решите уравнение:

(x2 5x 6) arcsin x 0. 2

Ответ: 0; 2.

133.Решите уравнение:

(x 2)(2x2 7x 3) arccos x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

Ответ: –2; 0,5; 2.

134. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14sin2 x cos4x 10 0.

 

Ответ:

 

k, k Z.

 

 

135. Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x sin5x cos4x.

 

Ответ:

 

 

 

k, k Z.

10

 

 

 

136. Решите уравнение:

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx cos5x cos6x .

 

 

 

Ответ:

 

 

 

k, k Z.

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

137. Укажите все корни уравнение

sin 2x

 

sin x 0,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

принадлежащие отрезку

 

 

;

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

Ответ: 1,25 , , 0,75 , 0, 0,75 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, 1,25 .

138.

Укажите наибольший корень урав-

нения cos2x 3sin x 2, принадлежащий

отрезку [ 3 ; ].

 

 

 

 

 

 

Ответ:

7

.

 

 

 

139.

 

6

 

Укажите наименьший корень урав-

нения cos2x 2 3cosx,

 

принадлежа-

щий отрезку [ 2,5 ; 0,5 ].

 

 

Ответ:

7

.

 

 

 

140.

Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

cos3x cos2x 1.

 

Ответ: 2 k, k Z.

141.

Решите уравнение

 

 

 

 

 

sin3x cos2x 1.

 

Ответ:

 

2 k, k Z.

 

2

 

 

 

 

 

25.12.2010

19

www.alexlarin.narod.ru

 

 

 

 

142. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)2

16 4 sin2 x.

143. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: –1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3sin x tgx 3tgx 2cosx 0.

Ответ: ( 1)k 1 arcsin0,4 k, k Z.

144. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

log3 (cosx) log3 ( sin x).

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

2 k, k Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

145. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

.

146. Решите уравнение: sin

 

 

 

 

3 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

27 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

147. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosx

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

 

 

7x 3 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

3

, 1,

 

 

2 k,

 

2 n,

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

148. Решите уравнение:

 

 

 

 

 

 

n,k Z,n 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x

 

 

 

 

 

3x

 

 

 

 

7x 4 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:1,

 

 

4

,

2

2 k,

 

2 n,

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n,k Z, n 0.

149. Решите уравнение:

sin3x 1 2sin 4xcosx .

Ответ: 3 2 k, 7 2 n, 3 2 m, 10 10 2

n,k,m Z.

150. Решите уравнение:

1 2sin3xsin7x cos10x .

Ответ: k; k Z.

Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Отбор корней в тригонометрических уравнениях

151. Решите уравнение:

cos2t 3sin 2t cost.

Ответ: 2 n, arctg6 2 k, n,k Z.

152. Решите уравнение:

5sin 2t cos2t sint .

Ответ: 2 n, arctg0,1 2 k, n,k Z. 2

153. Решите уравнение:

log2 (x2 4x 8) sin 5 x cos x . 4 2

Ответ: 2.

154. Решите уравнение:

log3 (x2 4x 13) cos x sin x . 4

Ответ: –2.

155. Решите уравнение:

| cos((x 2)cosx)|

1 |log4 (9x2 39x 43) |.

Ответ: 2.

156. Решите уравнение:

|sin x| sin xcosx.

Ответ: n, n Z.

157. Решите уравнение:

cosx cos3x |sin 2x|.

Ответ: n, 2 k, n,k Z.

26

158.Решите уравнение:

sin x sin3x |cos2x|.

Ответ:

 

 

k

,

5

2 n,

 

2 m,

 

2

 

 

4

 

6

6

 

n,k,m Z.

159. Найдите все решения уравнения

cosx 1 8cos2 x 5 4 2

на отрезке [ ; ].

Ответ: arccos1 . 4

25.12.2010 www.alexlarin.narod.ru

160. Найдите значение выражения cos2 , если удовлетворяет условию

sin4 3 .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

3

 

;

 

3

 

;

1

;

1

.

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

2

2

 

161. Найдите значение выражения sin3 ,

если

 

 

 

 

удовлетворяет

 

 

условию

sin6

 

 

3

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

;

 

 

 

;

1

;

1

.

 

 

 

 

 

 

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

2

 

162.Решите уравнение:

1 cos2x 3cos x 2 .

Ответ: 2 2 n; n Z.

163. Решите уравнение:

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 .

1 cosx cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

Ответ: ( 1)n 1

 

 

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

164. Решите уравнение:

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2cos2

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

0.

 

 

(2cosx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) sin x

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

3

2 n, n Z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

165. Сколько различных корней имеет уравнение

(cos2 x sin2 x)1 x2 0?

Ответ: 4.

166. Сколько различных корней имеет уравнение

(sin x 1)log0,5 (1 x2 ) 0?

Ответ: 2.

167. Сколько различных корней имеет уравнение

x2 21 x(sin3xcos6x sin xcos8x) 0?

Ответ: 127.

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности