ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ФОРМУЛЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Вычисление вектора по координатам его концов

Проекции вектора AB можно вычислить по координатам начала (точка А) и конца (точка В) использую следующую формулу:

ABx = Bx − Ax AB y = By − Ay

Вычисление координат конца вектора

Координаты конца (точка В) вектора AB можно вычислить по координатам начала (точка А) и проекциям вектора АВ использую следующую формулу:

Bx = Ax + ABx By = Ay + AB y

Вычисление модуля вектора

Модуль вектора A (длину) можно вычислить по теореме Пифагора:

A = Ax2 + A2y

Вычисление расстояния между двумя точками

Расстояние D между двумя точка A и B можно вычислить по теореме Пифагора:

D = (Ax − Bx )2 +(Ay − By )2

Вычисление площади треугольника

Площадь S треугольника со сторонами a, b и с можно вычислить по формуле Герона:

S = p(p −a)(p −b)(p −c)

где p = a +2b +c

Вычисление скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов A и B можно вычислить по следующей формуле:

(A , B )= AxBx + AyBy

Вычисление угла между векторами

Угол ϕ между векторами A и B можно вычислить по следующей формуле:

cosϕ = (A , B )

A B

Поворот вектора на заданный угол

Проекции вектора B , повёрнутого относительно вектора A на угол ϕ , можно вычислить по следующей формуле:

Bx = Ax cosϕ − Ay sinϕ By = Ax sinϕ + Ay cosϕ

Вычисление вектора, перпендикулярного заданному вектору

Проекции вектора B , перпендикулярного вектору A , можно вычислить по следующей формуле:

Bx = −Ay By = Ax

Не трудно видеть, что скалярное произведение (A , B )векторов A и B в этом случае равно нулю

Умножение вектора на число

Умножение вектора A на число К можно выполнить по следующей формуле:

Bx = KAx By = KAy

Нетрудно видеть, что вектор B в К раз длиннее вектора A и параллелен вектору A

Вычисления прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнение прямой Ax + By +C = 0 , проходящей через точки (x1 , y1 ) и (x2 , y2 ) имеет вид:

Откуда легко получить:

(y1 − y2 )x + (x2 − x1 )y + (y2 (x1 − x2 )− x2 (y1 − y2 ))= 0

Вычисление коэффициентов прямой, перпендикулярной заданной прямой

Две прямые A1 x + B1 y +C1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 = 0 перпендикулярны друг другу, если:

A1 B2 = −A2 B1

Прямая A2 x + B2 y +C2 = 0 проходит через точку (x1 , y1 ), если:

C2 = −A2 x1 − B2 y1

Вычисление детерминанта

Детерминант матрицы размером 2×2 можно вычислить по следующей формуле:

Пересечение двух прямых

Задачу нахождения точки пересечения двух прямых на плоскости можно свести к решению двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера:

Вычисления прямой, перпендикулярной заданному вектору и проходящей через заданную точку

C = −Ax0 − By0

Вычисления прямой, параллельной заданному вектору и проходящей через заданную точку

C = −Ax0 − By0