8.Операции навешивания кванторов. Операции навешивания кванторов относительно двуместных предикатов

Пусть на множестве М задан одноместный предикат p(x).

Определение. Будем говорить, что выражение вида на множествеM представляет собой истинное высказывание, тогда и только тогда, когда p(x) истинно для любого элемента xϵ M.

Из определения следует, что если p(x) истинно на множестве M, то высказывание тоже истинно на этом множестве;

и в случае, когда p(x) ложно на множестве M, то высказывание - тоже является ложным на данном множестве;

Определение. Будем говорить, что выражение на множествеM представляет собой истинное высказывание, тогда и только тогда, когда p(x) - истинно хотя бы для одного элемента из этого множества.

Определение. Выражение при ϵ M представляет собой высказывание (истинное высказывание) тогда и только тогда, когда– истинно для любого элементаxϵ M.

Определение. Выражение при ϵ M представляет собой высказывание (истинное высказывание) тогда и только тогда, когда– истинно для любого элементаx ϵ M.

Определение. Выражение при заданном ϵ M представляет высказывание (истинное высказывание), тогда и только тогда, когда- истинно хотя бы для одного элемента из множестваM.

Таким образом, операции навешивания кванторов (всеобщности и существования) к двуместным предикатам приводит к одноместному предикату, т.е.

(13) (14)

Если множество М, на котором рассматривается предикат р(х) является конечным множеством, т.е. M={, то высказывание видатождественно равно высказыванию, т.е. имеет место следующее равенство. (15)

Аналогично, если множество М, на котором рассматривается предикат р(х) является конечным множеством, т.е. M={, то высказывание видатождественно равно высказыванию, т.е. имеет место следующее равенство

. (16)

9.Примитивно рекурсивный предикат.

Определение. Функция называется представляющей функцией для предиката, если выполняются следующие условия:

1. , т.е. их область определения совпадают;

2. для любого набора из области определенияD

(17)

Определение. Предикат р(х) называется примитивно рекурсивным, если его представляющая функция является примитивно рекурсивной функцией.

Определение. Функция называется ПРФ относительно совокупности функций и предикатов, если она ПРФ относительно совокупности функций, где- представляющая функция предиката.

Определение. Предикат называется ПРФ относительно совокупности функций и предикатов, если представляющая функция предикатаp является примитивно рекурсивной относительно совокупности функций , где- представляющая функция предиката.

Теорема 2. Логические операции над предикатами сохраняют свойства примитивной рекурсивности предикатов.

10. Операция навешивания ограниченного квантора над предикатами

Пусть задан двуместный предикат p(x,y), где в общем случае .

Определение. Говорят, что предикат R(x,z) получен из предикат p(x,y) с применением операции навешивания ограниченного квантора существования, т.е. , если выполняется следующее равенство:

. (27)

Определение. Говорят, что предикат Q(x,z) получен из предиката p(x,y) с применением операции навешивания ограниченного квантора всеобщности, т.е. , если выполняется следующее равенство:

. (28)

Приведем пример. Пусть

.

Рассмотрим

и .

Очевидно

Теорема 3. Операция навешивания ограниченных кванторов существования и всеобщности сохраняет свойство примитивной рекурсивности функций относительно совокупности{p}.

Доказательство. Пусть задан предикат p(x,y) и –представляющая его функция и пусть

.

Представляющую функцию предиката R(x, z) обозначим через и покажем, что ее можно представить следующим образом

. (29)

Действительно:

1. пусть предикат .

Тогда по определению операции навешивания ограниченного квантора существования,

найдется такое, чтои, следовательно

. Отсюда следует, что .

2. Предположим, что предикат .

Тогда по определению операции навешивания ограниченного квантора существования, для любого набора (x,y), p(x,y)=л, следовательно и

.

Т. к. ранее у нас было доказано, что операция конечного произведения обладает свойством примитивной рекурсивности, то является примитивно рекурсивной относительно совокупности.

Пусть .

Аналогично доказывается случай, когда задана операция навешивания ограниченного квантора всеобщности. Легко можно доказать, что в качестве представляющей функции предиката Q(x,z) можно брать

(30)

и является ПРФ относительно совокупности. В виде упражнение докажите самостоятельно.

Пусть задана совокупность функций и совокупность предикатов.

_{Определение.} Ф-я f, наз-cя ПРФ относит-о заданной совокупности функций и предикатов, если она ПРФ относительно совок-ти, гдепредставляющая функция предиката,