1.Основные понятия теории алгоритмов.

под алгоритмом понимается – единый метод решения определенного класса однотипных задач, обладающий свойствами дискретности, определенности, массовости, результативности и оперирующий конструктивными объектами.

Дискретность:

Процесс построения величин, задаваемый алгоритмом, протекает в дискретном времени следующим образом: в начальный момент задается исходная конечная система величин, а в каждый следующий момент система величин, получается по определенному закону из системы величин, имевшихся в предыдущий момент времени.

Детерминированность (определенность)– система величин, получаемых в любой, отличный от начального, момент времени, однозначно определяется системой величин, полученных в предшествующие моменты времени.

Элементарность шагов – закон получения последующей системы величин из предшествующей должен быть простым и локальным.

Эффективность (результативность)– каждый шаг работы алгоритма должен заканчиваться результатом.

Массовость алгоритма – начальная система величин может выбираться из некоторого потенциально бесконечного счетного множества Х.

Конструктивность – объекты из Х, над которыми работает алгоритм, должны быть конструктивными.

Конструктивный объект –это такой объект, который может быть набран весь целиком и представлен нам для рассмотрения.

Конструктивные объекты

• булевы функции

• формулы алгебры логики

• натуральные и рациональные числа

• матрицы с натуральными или рациональными элементами

• многочлены от неизвестных с рациональными коэффициентамии т.п.

Неконструктивные объекты

любые действительные числа, представление которых в десятичной записи ни для какого n ϵN не может быть целиком представлено для рассмотрения.

Например, число е и π не являются конструктивными объектами.

2.Примитивно рекурсивные функции. Базис элементарных функций. Операции подстановки и примитивной рекурсии.

Теория рекурсивных функций включает следующие классы функций: класс примитивной рекурсивной функции (ПРФ), класс общерекурсивной функции (ОРФ) и класс частично рекурсивной функции (ЧРФ).

Образование теории рекурсивных функций:

1. задается базис элементарных функций,

2. определяются специальные операции над функциями,

3. В результате применения определенного количества операций к элементарным функциям, строятся соответствующие классы функций: класс ПРФ, ОРФ и ЧРФ.

Примитивно рекурсивные функции (ПРФ)

Определение. Элементарными функциями называются:

1). Функции константы , гдеn=0,1,2,… q=0,1,2,….

2). Функции следования S(x)=x+1

3). Функции выбора , где 1≤m≤n.

Все элементарные функции - всюду определенные и алгоритмически вычислимые.

Имеется небольшое число операций над элементарными функциями, переводящими вычислимые функции снова в вычислимые.

Операция подстановки

Пусть задана функция и функции

.

Определение. Говорят, что функция f получена из этих функций с применением операции подстановки, если выполняется следующее равенство:

f .

и обозначается f=S(g,,гдеS–означает операции подстановки.

Операция примитивной рекурсии

Пусть задана функция g и функция.

Определение. Говорят, что функция получена из функциийg и с помощью операции примитивной рекурсии, если выполняются следующие равенства:

.

Это опред-е имеет смысл, когда n≠0, при этом запис-ся:

или сокращенно, f=R(g,h), где R–означает операцию примитивной рекурсии.

В случае, когда n=0 операция примитивной рекурсии примет вид: φ(0)=,

и обозначается:φ=R(