Задание 4

Задание 4. Построить математическую модель задачи:

Для изготовления сплава из меди, олова и цинка в качестве сырья используют два сплава тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью. Данные об этих сплавах приведены в таблице:

Компоненты сплава	Содержание компонентов в %
	Сплав №1	Сплав №2
Медь	10	10
Олово	10	30
Цинк	80	60
Стоимость 1 кг	4	6

Полученный сплав должен содержать не более 2 кг меди, не менее 3 кг олова, а содержание цинка может составлять от 7,2 до 12,8 кг. Определить количество сплавов каждого вида, обеспечивающее получение нового сплава с минимальными затратами на сырьё.

Решение:

Обозначим - количество сплавов №1 и №2, входящие в новый сплав. Тогда новый сплав будет включать в себя % компонента – медь, % компонента – олово, и % компонента – цинк. Так как содержание в сплаве меди должно быть не более 2 кг, олова – не менее 3 кг, а цинка от 7,2 до 12,8 кг, (кроме того , то получим систему ограничений:

(1)

Общие затраты на сырьё составят:

F=

Итак, экономико-математическая модель задачи: изготовить сплав X=, удовлетворяющий системе ограничений (1), при котором функция F принимает минимальное значение:

F=

Так как у нас участвуют всего две переменные, мы можем решить его графическим методом.

Определим область допустимых решений, заданную ограничениями-неравенствами.

График:

Мы определили область допустимых решений, выясним где эту область покидает линия уровня целевой функции. Для этого начертим .

Точка A(0;0,2), D (0;0,12), B (0,1;0,06), C (0,03;0,09).

Для нахождения минимального значения целевой функции, нам необходимо перемещать линию уровня в направлении убывания (направление указано на графике). Поэтому, мы рассмотрим точку C , так как она ближайшая точка из области допустимых решений к линии уровня.

Следовательно,

Ответ: необходимо 0,03 % сплава №1 и 0,09 % сплава №2 для получения нового сплава с минимальными затратами на сырьё.