Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математическому_анализу

.pdf

Скачиваний:

159

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Теорема: Если f(x;y) –непрерывна на кусочно-регулярной кривой r (BC ), то интеграл от этой функции по любой координате существует и имеет место формула:

∫ f (x; y)dx = ∫ f (ϕ(t );ψ (t ))ϕ ′(t )dt

BC	α
	β

∫ f (x; y)dx = ∫ f (ϕ(t );ψ (t ))ψ ′(t )dt.

BC α

Замкнутый контур

Для замкнутого контура является принципиальным вопрос выбора направления, так как начальная и конечная (·) совпадают. Положительным называется направление, при котором наблюдатель, идущий по контуру в этом направлении, видит контур слева от себя. Противоположное направление – отрицательное.

Практическая часть:

1. Вычислить интеграл:

Где L – верхняя половина эллипса

, пробегаемая по ходу

часовой стрелки.

Воспользуемся

параметрическими

уравнениями

эллипса:

Подс

тавляя в интеграл и учитывая направление обхода (откуда cледует, что t меняется от

2. Вычислить:

По дуге винтовой линии при изменении t от 0 до 2

•	111
•

Сначала найдем дифференциалы переменных:

Выразим подинтегральное выражени через t, сводя исходный интеграл к определенному:

Даны функции

и точки А(9,4),

В(9,0), С(0,4). Вычислить криволинейный интеграл

Где:

1)L – отрезок ОА;

2)L – ломанная ОВА;

3)L – ломанная ОСА;

4)L – парабола, соединяющая точки О(0,0) и А(9,4) и симметричная относительно оси Оу.

5)Проверить выполнение условия Грина.

3.Вычислить интеграл

Взятый вдоль различных путей, соединяющих точки О (0,0), А(2,1),

В(2,0), С(0,1):

4. Даны функции

и точки

А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

Где:

1)L – отрезок ОА;

2)L – параболас осью симметрии Оу и проходящая через точки О и А;

3)L – парабола, проходящаячерез О и А с осью симметрии Ох;

•	112
•

4)L –ломанная ОВА;

5)L – ломанная ОСА;

4. Вычислить:

Где

линия

–

задана

уравнениями

5. Даны функции

и точки

А(3,6), В(3,0), С(0,6). Вычислить криволинейный интеграл

Где:

1)L – отрезок ОА;

2)L – ломанная ОВА;

3)L – ломанная ОСА;

4)L – парабола, симметрическая относительно оси Оу и проходящая через точки О и А;

5)Проверить выполнение условия Грина.

Отреок ОА может быть записан в виде и

1)Используем свойство аддитивности, вычисляя отдельно интеграл по отрезкам ОВ и ВА. Тогда:

А)ОВ: здесь откуда:

b) BA: и

Таким образом:

•	113
•

2)Этот интеграл вычислим аналогично предыдущемую А) ОС: т.е. dx=0), откуда

Б) СА:

Окончательно

3)Подставив координаты точки А(3;6) в равенство найдем уравнение данной параболы . При этом

Имеем:

Т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.

Задания для самосоятельного решения: 1. Вычислить:

2. Вычислить:

•	114
•

Криволинейные интегралы первого рода. Связь между различными интегралами

1.Криволинейный интеграл первого рода.

2.Формула Грина.

3.Интегрирование полного дифференциала.

Теоретическая часть:

Криволинейный интеграл первого рода.

Пусть К – некоторая кусочно-гладкая плоская кривая:

x = x(t ), y = y(t ) t [α , β ], dS = dx 2 + dy 2 - дифференциал дуги;

α ≤ β dt 0 dS = x2 + y 2 .

Если f(x,y) – непрерывна на К, то под её криволинейным интегралом

первого рода понимается интеграл вида: ∫ f (x, y)dS =∫ f (x(t), y(t)) x2 + y2 dt.

		K		α
Если кривая К задана y = y(x), x [a,b],
	b
то ∫ f (x, y)dS = ∫ f (x, y(x)) 1+ y 2 (x)dx.
K	a
Допустим, что К имеет массу. Пусть ∆S – некоторая дуга кривой К,
содержащая точку М, а ∆m – масса этой дуги. Тогда отношение					m	-
					S
средняя плотность ∆S, а (M )= lim	m	- линейная плотность дуги в (·)М.
средняя плотность ∆S, а (M )= lim		- линейная плотность дуги в (·)М.
S →M	S
Если µ = f(x,y) – рассматривать как			линейную плотность		дуги	в

текущей точке М(х,у), то dm = µdS – есть масса элементарной дуги ∆S и

интеграл	m = ∫ dS -масса линии –				физический смысл криволинейного
	K
интеграла I-го рода.
	Свойства криволинейного интеграла I-го рода.
1) ∫ = + ∫
K +	K −
2) K = K1 K 2 ∫ = ∫+ ∫ .
	K1 K2 K1	K2
			Формула Грина.
	∂Q		∂P		∫
	∫∫				∫	P(x; y)dx	+ Q(x; y)dy
		−		dxdy =		P(x; y)dx	+ Q(x; y)dy
	D ∂x		∂y		λ		,
							,

P,Q – непрерывны вместе со своими частными производными.

•	115
•

Теорема: Криволинейный интеграл по дуге АВ не зависит от пути интегрирования интеграл по любому замкнутому контуру, проходящему через (·) А и В был равен 0.

Теорема: Пусть в области Д – односвязной заданы две функции P(x;y),

	∂P	∂Q
Q(x;y) – непрерывны			- непрерывны в области D следующие
	∂y
		∂x

три утверждения эквивалентны:

1) ∫P(x; y)dx +Q(x; y)dy = 0, (λ ) Д

2) P(x; y)dx +Q(x; y)dy = dF (x; y):

( F (x; y) опред. в D: dF = P(x; y)dx + Q(x; y)dy )

∂Q ∂P 3) ∂x = ∂y .

Восстановление функции по её дифференциалу:

	∂P		∂Q
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = dF (x, y)		=		, F (x, y)− ?
P(x, y)dx + Q(x, y)dy = dF (x, y)		=		, F (x, y)− ?
	∂y
	∂y		∂x
B (x, y )

F (x, y)= ∫Pdx + Qdy.

A(x0 , y0 )

Таблица

1. Криволинейный интеграл 1-го рода.

∫ f(x,y)ds

2. Сведение К1. к определённому:

1) y = f (x) a ≤ x ≤ b

∫ f(x,y)ds = ∫ f (x, f (x)) 1 + f 2 (x)dx

l	b

2) x = x(t), y = y(t) α ≤ t ≤ β

∫ f(x,y)ds = ∫ f (x(t), y(t)) x& 2 (t) + y& 2 dt

l α

3. Криволинейный интеграл 2-го рода.

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy

4. Сведение К-2 к определённому: 1) y = f (x) x [α , β ]

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = α∫[P(x, f (x)) + Q(x, f (x))]f ′(x)dx

l β

2) x = x(t), y = y(t) t [α , β ]

•	116
•

∫P(x, y)dx + Q(x, y)dy = α∫[P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t)) y′(t)]dx

l	β
5. Сведение К-2 к К-1:
∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∫[P(x, y)Cosα (x, y) + Q(x, y)Sinα (x, y)]ds
l	l

где α (x, y) - угол между направляющей касательной к l(v) и

положительным направлением OX. 6. Формула Грина

∫		∂Q		∂P
∫		∫∫
	P(x, y)dx + Q(x, y)dy =		−		dxdy
∂D		D ∂x		∂y

Практическая часть:

1. Вычислить криволинейный интеграл

Где L – контур треугольника АВО с вершинами А(1,0), В(0,1), О(0,0) (рис. 43).

Поскольку

То остается вычислить криволинейный интеграл по каждому из отрезков АВ, ВО и ОА:

1)(АВ): так как уравнение прямой АВ имеет вид

Отсюда, учитывая, что х меняется от 0 до 1, получим:

2) (ВО): рассуждая аналогично, находим

•	117
•

3) (OA): .

4) Окончательно:

2. Вычислить криволинейный интеграл

Где L – окружность х2+у2=ах (а>0).

Введем

полярные

координаты

Тогда,

поскольку

х2+у2=r2,

уравнение

окружности

примет

вид

а дифферинциал дуги

При этом

Следовательно,

3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными

Где L – дуга кривой, заданной параметрически

Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:

Теперь выразим через t дифферинциал dl:

Таким образом:

•	118
•

4. Показать, что интеграл

Не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и

вычислить его.
Проверим условие Грина. Положим	Тогда

И значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки О (0,0) и В (10,10). Отрезок ОВ можно задать так: При этом dy=dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу: