
Практикум_по_математическому_анализу
.pdf



2)Этот интеграл вычислим аналогично предыдущемую А) ОС: т.е. dx=0),
откуда
Б) СА:
Окончательно
3)Подставив координаты точки А(3;6) в равенство найдем уравнение данной параболы
. При этом
Имеем:
Т.е. условие Грина не выполняется. Этот факт, а также вычисления в пунктах 1)-4) этой задачи показывают, что данный криволинейный интеграл второго рода зависит от пути интегрирования.
Задания для самосоятельного решения: 1. Вычислить:
2. Вычислить:
• |
114 |
• |
|

Криволинейные интегралы первого рода. Связь между различными интегралами
1.Криволинейный интеграл первого рода.
2.Формула Грина.
3.Интегрирование полного дифференциала.
Теоретическая часть:
Криволинейный интеграл первого рода.
Пусть К – некоторая кусочно-гладкая плоская кривая:
x = x(t ), y = y(t ) t [α , β ], dS = dx 2 + dy 2 - дифференциал дуги;
α ≤ β dt 0 dS = x2 + y 2 .
Если f(x,y) – непрерывна на К, то под её криволинейным интегралом
β
первого рода понимается интеграл вида: ∫ f (x, y)dS =∫ f (x(t), y(t)) x2 + y2 dt.
|
|
K |
|
α |
|
|
|
Если кривая К задана y = y(x), x [a,b], |
|
|
|
|
|
||
|
b |
|
|
|
|
|
|
то ∫ f (x, y)dS = ∫ f (x, y(x)) 1+ y 2 (x)dx. |
|
|
|||||
K |
a |
|
|
|
|
|
|
Допустим, что К имеет массу. Пусть ∆S – некоторая дуга кривой К, |
|||||||
содержащая точку М, а ∆m – масса этой дуги. Тогда отношение |
m |
- |
|||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
средняя плотность ∆S, а (M )= lim |
m |
- линейная плотность дуги в (·)М. |
|
||||
|
|
||||||
S →M |
S |
|
|
|
|
|
|
Если µ = f(x,y) – рассматривать как |
линейную плотность |
дуги |
в |
текущей точке М(х,у), то dm = µdS – есть масса элементарной дуги ∆S и
интеграл |
m = ∫ dS -масса линии – |
физический смысл криволинейного |
||||||
|
K |
|
|
|
|
|
|
|
интеграла I-го рода. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Свойства криволинейного интеграла I-го рода. |
|||||||
1) ∫ = + ∫ |
|
|
|
|
|
|
||
K + |
K − |
|
|
|
|
|
|
|
2) K = K1 K 2 ∫ = ∫+ ∫ . |
|
|
|
|||||
|
K1 K2 K1 |
K2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
Формула Грина. |
|
|||
|
∂Q |
|
∂P |
∫ |
|
|
||
|
∫∫ |
|
|
|
P(x; y)dx |
+ Q(x; y)dy |
||
|
|
|
− |
|
dxdy = |
|
||
|
D ∂x |
|
∂y |
λ |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
P,Q – непрерывны вместе со своими частными производными.
• |
115 |
• |
|



3) (OA): .
4) Окончательно:
2. Вычислить криволинейный интеграл
|
|
|
|
Где L – окружность х2+у2=ах (а>0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Введем |
|
|
|
|
|
полярные |
координаты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
Тогда, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
поскольку |
|
х2+у2=r2, |
уравнение |
окружности |
|
примет |
вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а дифферинциал дуги |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода от функции с тремя переменными
Где L – дуга кривой, заданной параметрически
.
Перейдем в подынтегральном выражении к переменной t. Имеем для подынтегральной функции:
Теперь выразим через t дифферинциал dl:
Таким образом:
• |
118 |
• |
|

4. Показать, что интеграл
Не зависит от пути интегрирования, соединяющего точки (0,0) и (10,10), и
вычислить его. |
|
Проверим условие Грина. Положим |
Тогда |
И значит, данный интеграл действительно не зависит от пути интегрирования. Для вычисления данного интеграла в качестве пути интегрирования возьмем простейший, т.е. отрезок, соединяющий точки О (0,0) и В (10,10). Отрезок ОВ можно задать так: При этом dy=dx, и интеграл легко сводится к определенному интегралу:
5. Проверить, является ли выражение
Полным дифферинциалом некоторой функции U(x,y) и если да, то
найти эту функцию. |
|
Обозначим |
Тогда |
Таим образом, условие |
Грина |
|||||
|
имеет место при |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, данное выражение есть полный дифферинциал некоторой функции U(x,y), которая может быть найдена как криволинейный интеграл
Где (x0,y0) – произвольная фиксированная точка плоскости Оху, не
лежащаяна оси Ох (так как |
|
|
|
). П оложим (x0,y0)=(0,1), а в качестве пути |
|
||||
|
||||
|
|
|
||
• |
119 |
|||
• |
|
|
|
|
