Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математическому_анализу

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

3) lim	[f ( x ) ± g ( x )]= lim					f ( x ) ± lim			g ( x )
x → x 0					x → x 0		x → x 0
4) lim		f ( x ) g ( x ) =			lim		f ( x ) lim		g ( x )
x → x 0					x → x 0		x → x 0
		f ( x )		lim	f ( x )		, если xlim→x	q( x ) ≠ 0
5) lim		f ( x )	=	x → x 0
5) lim		g ( x )	=	lim	g ( x )
x → x 0		g ( x )		lim	g ( x )	0
						0

x → x 0

Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводит к неопределенностям.

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей явля- ются:

1)сокращение на множитель, создающий неопределенность;

2)деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при х→ ∞ );

3)применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно

больших;

4) применение первого

замечательного предела lim

sin x

=1 и второго

x→0

замечательного предела lim

1 +

= lim (1 + x )

= e

x →∞

Кроме того, при вычислении пределов полезно запомнить следующее:

lim

f ( x )

=0, если

lim f ( x ) = c , limϕ( x ) = ∞ ,

т.е.

x→a ϕ( x )

x→a

∞

lim

f ( x )

= ∞ , если

lim f ( x ) = c ,limϕ( x ) = 0,

т.е.

= ∞

x→a ϕ( x )

x→a

lim

f ( x )

=0, если

lim f ( x ) = 0 , limϕ( x ) = с ,

т.е.

x→a ϕ( x )

x→a

lim

f ( x )

= ∞, если

lim f ( x ) = ∞ , limϕ( x ) = с , т.е.

∞

= ∞

x→a ϕ( x )

x→a

Может также понадобится таблица бесконечно малых в окрестности х0 функций, эквивалентных данным.

•	11
•

tgmx

sain

+ 1

− 1

arctg

x → 0

+ 1

− 1

при

1 −

2 x

cos

sin

arcsin

1 −

cos

x ~

Практическая часть:

1. Найти пределы функций:

1) lim

2x 2

− 5x − 3

приx

= 2; x0

= 3; x0

= ∞;

−

4x − 15

x → x 0 3x 2

2) lim

x − 1

− 7 − x

;

x →4

x − 4

3)lim 1 − cos x ; x →0 3x sin x

x + 3 x − 2

4) lim .

x →∞ x − 1

								Решение
1а)		lim			2x 2 − 5x − 3	=(так как функция непрерывна при х=2)=

		x → 2 3x 2 − 4x − 15
8 − 10 − 3	=		5	.

12 − 8 − 15		11
					2x 2 − 5x − 3		0
1б)		lim						.Разложим числитель и знаменатель на

		x →3 3x 2 − 4x − 15					0

множители.

•	12
•

2x 2 − 5x − 3 = 0; x

5 ± 25 + 24

5 ± 7

;

1,2

= 3, x

= −

. 2x 2 − 5x − 3 = 2(x − 3)(x +

) = (x − 3)(2x + 1).

3x 2 − 4x − 15 = 0;

4 ±

16 + 180

4 ± 14

;

1,2

= 3, x

= −

. 3x 2

− 4x − 15 = 3(x − 3)(x +

) = (x − 3)(3x + 5).

Получим lim

2x 2 − 5x − 3

= lim

(x − 3)(2x + 1)

x →3 3x2 − 4x − 15

x →3 (x − 3)(3x + 5)

2 (2 −

−

)

1в)

lim

− 5x − 3

= lim

x →∞ 3x

2 − 4x − 15 x →∞

4 15

−

)

x 2

x − 1 −

7 − x

lim

= (Домножим числитель и знаменатель на

x → 4

x − 4

сумму корней)

lim

(

x − 1 − 7 − x )(

x − 1 +

7 − x )

x → 4

(x − 4)(

x − 1 +

7 − x )

lim

x − 1 − (7 − x)

= lim

2(x − 4)

x → 4 (x − 4)(

x − 1 +

7 − x )

x → 4 (x − 4)(

x − 1 +

7 − x )

= lim

x →4

x − 1 + 7 − x

3 + 3

1 − cos x

2sin

2 x

sin

lim

3) x →0 3x sin x

3 x →0 x sin x

3 x →0

sin x

=2 1 1 = 1 .

3 2 2 6

Применили следствия из первого замечательного предела.

x + 3

x − 2

∞

lim

(1 ).Применим второй замечательный предел.

x →∞ x − 1

Сделаем замену

x + 3

= 1 + z; z =

x → ∞, z → 0.

x − 1

. Получим

x − 1 =

. x =

+ 1

•	13
•

lim x + 3 x − 2

x →∞ x − 1

	4	−1
			4 .
= lim (1 + z) z = e
z →0

Решите самостоятельно:

1. lim

(x3

− 2x −1)(x + 1)

2. lim

− 3x − 2

. 3. lim

(x 2

+ 3x + 2)

x 4 + 4x 2 − 5

x + x 2

x→−1

x→−1 x3 + 2x 2

− x − 2

lim

(2x 2 − x − 1)2

. 5. lim

1 + 2x − 3

. 6.

lim

1 − x

−

x→1 x3 + 2x 2 − x − 2

x→4

x − 2

x→−8

2 + 3 x

x −1

ln(1 + sin x)

1 − cos10(x + π )

lim

. 8.

lim

9. lim

x 2

e x

x→1 3

−1

x→0 sin 4(x − π )

x→0

− 1

10.

lim

3x 2

− 5x

. 11. lim

x 2 − 1

. 12.

lim

x 2 − x + 1 −1

x→0

sin 3x

x→1 ln x

x→1

ln x

13.

lim

1 + cos 3x

14.

lim

1 − sin 2x

x→π

sin 2 7x

x→π / 4 (π − 4x)2

Задания для самосоятельного решения:

1. Найти пределы функций:

1) lim

4 x 2

− 7 x − 2

1) lim

2x2 + 5x − 3

2 x

− x − 6

+ 5x + 6

x → x 0

x → x

x − 2

2 ) lim

;

2) lim

x −1 − 9 − x

;

+ 2 − 6 − x

x → 2

x − 5

x →5

arctg

3 x

cos x − cos3 x

3 ) lim

;

3)lim

;

5 x

x → 0

2x sin x

x →0

x +

2 x + 5

4 ) lim

4) lim(2x − 3) x −2 .

x → ∞ x −

x→∞

2. Вычислить:

sin 2x 1+ x 1). lim .

x→0 x

2 + x x

2). lim . x→0 3 − x

sin 4x 2 /( x+2)

3). lim . x→0 x

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва

1.Классификация точек разрыва.

2.Исследование функции на непрерывность

Теоретическая часть Непрерывность функции. Точки разрыва,

классификация точек разрыва.

Рассмотрим вопрос о непрерывности функции, для этого проанализируем рисунки

•	14
•

1−4.

(а)		(а)
0	а	0
	Рис.1	а

0	(x)
0
	0
Р	Р

На каждом рисунке изображен график некоторой функции у=f(х).

На рис.1 в точке а функция не является непрерывной, так как в этой точке не существует значения функции f(а).На рис.2 значение функции в

точке а	существует, но lim f ( x ) не существует.Рис.3: в точке а значение
	x→а
функции	f(х) не существует и lim f ( x ) = ∞ . Рис.4: функция f(x) имеет в
	x→а

точке а значение и конечный предел, причем lim f ( x ) = f(a) .

x→а

Функция f(х) называется непрерывной в точке, если она в этой точке определена и существует конечный предел, равный значению функции в этой точке.

Функция является непрерывной на некотором промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если в некоторой точке нарушено хотя бы одно условие непрерывности, то данная точка называется точкой разрыва функции. Точки разрыва функции могут быть 1 или 2 рода. Перед классификацией точек разрыва введем понятие односторонних пределов функции:

lim f ( x ) =lim f ( x ) -предел функции в точке а слева;

x→a−0	x→a
	x<a

lim f ( x ) =lim f ( x ) -предел функции в точке а справа.

x→a+0	x→a
	x>a

•	15
•

			Точки	разрыва
		1рода			2 рода
	Устранимый		Неустранимый		Хотя бы один
	разрыв	разрыв (скачок):			из
lim f ( x ) = lim f ( x ) ≠ f ( x0 )		lim f ( x )≠ lim f ( x ) о			односторонних
x→a−0	x→a+0	x→a−0	x→a+0		пределов не
x→a−0	x→a+0
оба односторонних
оба односторонних		дносторонние			существует или
предела существуют,		пределы конечны,			равен∞ (рис3.)
конечны и равны		но не равны между			равен∞ (рис3.)
конечны и равны		но не равны между
между собой, но не		собой (рис.2)
равны значению
функции в этой точке
	(рис.1)

Практическая часть:

1. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции:

	1 − x	при x ≤ 1

f (x) =	(1 − x)2	при 1 < x ≤ 3.

x при x > 3

Решение

Функция непрерывна в интервалах (-∞, 1), (1, 3), (3,+∞). Проверим функцию на непрерывность в точках х0=1 и 3. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

lim f (x) =	lim f (x) = f (x	0 ) .
x → x 0 − 0	x → x 0 + 0

1) х0=1

lim	f (x) = lim(1 − x) = 0;
x →1−0	x →1
lim	f (x) = lim(1 − x)2 = 0;
x →1+ 0	x →1

f (1) = 1 − 1 = 0.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=1. 2) х0=3.

•	16
•

lim	f (x) = lim (1 − x)2 = 4;
x →3− 0	x →3
lim	f (x) = lim x = 3;
x →3+ 0	x →3

f (3) = (1 − 3)2 = 4.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3.

Сделаем чертеж

		7
		6
		5
		4
		3
		2
		1
2	1	0	1	2	3	4	5	6
		1
		2

2. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

cos x		при x < 0
		при 0 ≤ x < 3 .
f (x) = x
	2 − 6x	при x ≥ 3
x

Решение

Функция непрерывна в интервалах (-∞, 0), (0, 3), (3,+∞). Проверим функцию на непрерывность в точках х0=0 и 3. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

lim f (x) =	lim f (x) = f (x 0 ) .
x → x 0 − 0	x → x 0 + 0

1) х0=0

lim	f (x) = lim cos x = cos 0 = 1;
x →0 − 0	x →0
lim	f (x) = lim x = 0;
x →0 + 0	x →0

f (0) = 0.

Следовательно функция разрывна в точке х0=0. 2) х0=3.

lim	f (x) = lim x = 3;
x →3−0	x →3
lim	f (x) = lim (x 2 − 6x) = 9 − 18 = −9;
x →3+ 0	x →3

f (3) = 32 − 6 3 = −9.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

•	17
•

					4
					3
					2
					1
6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6
					1
					2
					3
					4
					5
					6
					7
					8
					9
					10

3. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции

2 cos x		при x ≤ 0
		при 0 < x < 3 .
f (x) = 2	− x
	2 − 6x + 10	при x ≥ 3
x

Решение

lim f (x) =	lim f (x) = f (x 0 ) .
x → x 0 − 0	x → x 0 + 0

1) х0=0

lim	f (x) = lim 2 cos x = 2 cos 0 = 2;
x → 0 − 0	x →0
lim	f (x) = lim (2 − x) = 2;
x → 0 + 0	x →0

f (0) = 2 cos 0 = 2.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=0. 2) х0=0.

lim	f (x) = lim (2 − x) = −1;
x →3− 0	x →3
lim	f (x) = lim (x 2 − 6x + 10) = 9 − 18 + 10 = 1;
x →3+ 0	x →3

f (3) = 32 − 6 3 + 10 = 1.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

•	18
•

						10
						9
						8
						7
						6
						5
						4
						3
						2
						1
6	5	4	3	2	1	0	1	2	3	4	5	6
						1
						2

4. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

1 − 2x

f (x) = 2tgx + 1

x − 3 при

при x < 0

при 0 ≤ x < π . 4

x ≥ π

Решение

Функция непрерывна в интервалах (-∞, 0), (0, π/4), (π/4,+∞). Проверим функцию на непрерывность в точках х0=0 и π/4. Воспользуемся определением непрерывности функции f(x) в точке х0

lim f (x) =	lim f (x) = f (x 0 ) .
x → x 0 −0	x → x 0 + 0

1) х0=0

lim	f (x) = lim (1 − 2x) = 1;
x →0−0	x →0
lim	f (x) = lim (2tgx + 1) = 1;
x →0+ 0	x →0

f (x 0 ) = f (0) = 1.

Следовательно функция непрерывна в точке х0=0. 2) х0=π/4.

•	19
•

lim			f (x) = lim (2tgx + 1) = 3;
x →	π	− 0	x →	π

4			4
lim			f (x) = lim (x − 3) =			π	− 3;

x →	π	+ 0	x →	π	4

4			4

f (x 0 ) = f ( π) == π − 3.

Следовательно функция разрывна в точке х0=3. Сделаем чертеж

32 1

3		2	1	0	1	2		3	4

Задания для самосоятельного решения:

1. Доказать, что функция f (x) непрерывна в точке x0 .

1.f (x) = 5x 2 − 1, x0 = 6.

2.f (x) = 4x 2 − 2, x0 = 5.

2. Найти точки разрыва функции, Построить график этой функции


1 − 2x		при x < 0
					π
				при 0 ≤ x <	π
f (x) = 2tgx	+ 1					.
f (x) = 2tgx	+ 1				4	.
					4
	при x ≥		π
x − 3
x − 3
			4

3. Найти точки разрыва функции, построить график этой функции

	1 − x	при x ≤ 1

f (x) =	(1 − x)2	при 1 < x ≤ 3.

x при x > 3

•	20
•

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.201510.59 Mб131Практикум Метрология для бакалавров 20.doc
#
14.02.20155.95 Mб106Практикум по БЖ 1 (новый).doc
#
14.02.2015131.91 Кб43практикум по БФУ.docx
#
12.09.201972.13 Mб257практикум по вет. микробиологии и иммунологии.doc
#
14.02.2015647.17 Кб103Практикум.doc
#
14.02.20154.1 Mб149Практикум_по_математическому_анализу.pdf
#
21.09.201953.76 Кб11Практическое занятие по почвам 1.doc
#
14.02.201555.24 Кб26Практичні роботи Стоянова.doc
#
14.02.2015213.09 Кб25прд отчет.docx
#
12.03.201662.57 Кб82Пред Пр КУРСААААЧ.docx
#
15.07.2019167.94 Кб1Предпринимательство.doc