Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Оренбургский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Практикум_по_математическому_анализу

.pdf

Скачиваний:

149

Добавлен:

14.02.2015

Размер:

4.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
3 2 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Площадь найдем по формуле S = ∫[f 2 (x) − f1(x)]dx a

8	8		x 3 8

∫

S =

+ 10 − x 2

+ 5x + 6]dx =

(6x

+ 16 − x 2 )dx = 3x

2 + 16x −

−2

3 − 2

512

520

(кв.ед.).

= 192 + 128 −

− 12

− 32 +

= 340 −

= 166

Ответ: Искомая площадь 166 2/3 (кв. ед.).

Вычислить

площадь

фигуры,

ограниченной

кардиоидой

r = 3(1 + cos ϕ).

Решение Сделаем чертеж

90
135		45
180			0
0 2	4	6	8
225		315
270

Площадь фигуры в полярной системе координат найдем по формуле:

ϕ 2

S = 12 ∫r 2 (ϕ)dϕ.

	ϕ1
•	91
•

Найдем

				2π						2π
S =			1	∫(1 + cos ϕ)2 dϕ =					1	∫(1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)dϕ =
S =			2	∫(1 + cos ϕ)2 dϕ =					2	∫(1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)dϕ =
		0						0
					2π			2π					cos 2ϕ		2π		π
=	1	(ϕ + 2 sin ϕ)			2π	+	1	∫(1 + cos 2ϕ)dϕ = π +			1	(ϕ +	cos 2ϕ	)	2π	= π +	π	=	3	π.
					0										0
	2				0		4				4		2		0		2		2
								0

Ответ: Длина кардиоиды равна 3 π (кв. ед.)

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды x=a(t-sint), y=a(1-cost); (0≤t≤2π) и осью ОХ.

Решение:

Сделаем чертеж:

х Площадь фигуры найдем по формуле:

	t 2
	S = ∫y(t) x' (t)dt.
	t1
2π	2π

или S = ∫a(1 − cos t) a(1 − cos t)dt = a 2 ∫(1 − 2 cos t + cos2 t)dt =

0 0

2π	1 + cos 2t
= a 2 ∫(1 − 2 cos t +	1 + cos 2t	)dt = a 2	(	3	t − 2 sin t +

	2			2
0

cos 2t ) 2π = 3πa 2 .

Ответ: S=3π а2 (кв. ед.)

Задания для самосоятельного решения:

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y=x2-3x+2 и y=-2x+8.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой r = 2 sin 4ϕ. .

Длина дуги плоской кривой, объем тела вращения

1. Вычисление длины дуги плоской кривой.

•	92
•

2. Вычисление объема тела вращения.

Теоретическая часть:

Вычисление длины дуги плоской кривой

Для длины дуги незамкнутой плоской кривой без кратных точек (точек самопересечения) используют выражения:

b
l = ∫	1 + [f ′(x)]2 dx -		в	декартовой системе	координат;	f(x) –
a
непрерывно дифференцируема на [a,b].
β
l = ∫		ρ 2 + [ρ′]2 dϕ - в полярной системе координат; ρ = ρ(ϕ ) имеет
α
непрерывную производную ϕ [α , β ].
T
T		(xt′)2 + ( yt′)2 dt -
l = ∫		(xt′)2 + ( yt′)2 dt -		при параметрическом	задании	кривой,
t0
производные от х и у по t			непрерывны на [t0,T].

Вычисление объема тела вращения

Если Т – тело вращения, полученное от вращения вокруг ОХ криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х=а; х=b; у=0 и у=f(x),

то это тело регулярно, причем S (x) = πf 2 (x)dx и

V = π ∫ f 2 (x)dx.

Практическая часть:

1. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной кривыми y = 3 1 − x 2 , x =
фигуры, ограниченной кривыми y = 3 1 − x 2 , x =					1 − y. и
осью OY, (x ≥ 0, y ≥ 0).
		Решение:
Для построения чертежа, выясним, что это за линии.
y = 3		, y2 = 9 − 9x 2 , 9x 2 + y2 = 9,	x 2	+	y2	= 1.
	1 − x 2		x 2		y2		Это	уравнение
	1 − x 2						Это	уравнение
12				32
эллипса с полуосями а=1, b=3.

x = 1 − y , x 2 = 1 − y, y = 1 − x 2 . Это уравнение параболы с вершиной в точке (0, 1), ветви параболы направлены вниз. Сделаем чертеж:

•	93
•

3
2
1
0	0.5	1
1
2
3

Объем тела вращения найдем по формуле

	b
	V = π∫[y22 (x) − y12 (x)]dx,
	a
1	1

V = π∫[9 − 9x 2 − (1 − x 2 )2 ]dx = π∫(8 − 7x 2 − x 4 )dx =

0									0
			x5
π(8x −	7	x3 −		)	1 = π(8 −	7	−	1	) = π	82	≈ 17,174 (куб. ед)

3			5		0	3	5		15

Ответ: Объем тела вращения равен π 82 ≈ 17,174 (куб. ед.)

2. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = (x − 2)3 от

точки А(2,0) до точки В(6,8). Решение

Сделаем чертеж

Длину дуги линии, заданной параметрически, найдем по формуле:

L = ∫ 1 + ( f '(x))2 dx

				a
f '(x) = ((x − 2)3 / 2 )'=			3	(x − 2)1 / 2 ;
f '(x) = ((x − 2)3 / 2 )'=				(x − 2)1 / 2 ;
Найдем			2		9x − 14
1 + ( f '(x))2 = 1 +	9	(x − 2) =			9x − 14	=	9	x −	7	=	9	(x −	14	).
1 + ( f '(x))2 = 1 +		(x − 2) =				=		x −		=		(x −		).
4			4			4		2		4		9

Получим

•	94
•

													(x −	14		3 / 2
		6					6								)		6
	3	6		14		3	6	14 1 / 2			3			9	)			40			4
	3	∫		14		3	∫(x −	14 1 / 2			3			9				40		3 / 2	4		3 / 2
L =			x −		dx =				)	dx =							=(		)		− (	)		=
L =	2		x −	9	dx =	2		9	)	dx =	2	3/ 2					=(	9	)		− (	)		=
	2	2		9		2	2	9			2	3/ 2					2	9			9
		2					2

8 (1010 − 1) ≈ 9,073 (лин.ед.) 27

Ответ: Длина дуги равна 8 (1010 − 1) ≈ 9,073 (лин. ед.).

3. Вычислить длину дуги кардиоиды r=2(1-cosϕ). Решение:

Сделаем чертеж:

90
135		45
180			0
0 1	2	3	4
225		315
270

Длина дуги в полярной системе находится по формуле:

ϕ2

L = ∫r(ϕ)2 + r' (ϕ)2 dϕ.

ϕ1

Найдем r′(ϕ)=2sinϕ; r(ϕ)2+r′(ϕ)2=4(1-cosϕ)2+4sin2ϕ=4-8cosϕ+4cos2ϕ+4sin2ϕ=8(1-cosϕ)

		ϕ	2π	ϕ		cos		ϕ	2π
			2π					ϕ	2π
= 4 sin	2		. ТогдаL = ∫2 sin					2
	2							2
	2				dϕ = −2					= 4	+ 4	= 8.
	2			2	dϕ = −2		1		0	= 4	+ 4	= 8.
			0			2			0
						2

Ответ: Длина дуги кардиоиды равна 8 (ед.).

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной параболами

Сделаем чертеж:

•

y = x 2 ,		y =	x.
Решение:
1
0.5
0	0.5		1
0.5
1
	95

Объем тела вращения найдем по формуле

V = π∫[y22 (x) − y12 (x)]dx, или

1	x 2		x5		1
V = π∫[x − x 4 ]dx = π(	x 2	−	x5	)	1	= π(	1	−		1	) =			3	π.
V = π∫[x − x 4 ]dx = π(	2	−	5	)	0	= π(	2	−		5	) =		10		π.
0
Ответ: Объем тела вращения равен										3		π ≈ 0,942 (куб. ед.)
Ответ: Объем тела вращения равен									10			π ≈ 0,942 (куб. ед.)
									10

5. Вычислить длину дуги полукубической параболы y = (x − 2)3 от точки А(2,0) до точки В(6,8).

Задания для самосоятельного решения:

1. Вычислить длину астроиды x=cos3t, y=sin3t (0≤t≤2π).

2.Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми у=х2, х=у.

Несобственные интегралы

1.Исследование на сходимость несобственного интеграла первого рода.

2.Исследование на сходимость несобственного интеграла второго рода

Теоретическая часть:

Несобственные интегралы

Определение: Пусть f(x) определена на [а, +∞) и для любого b≥a существует

b	b

∫ f (x)dx, тогда lim∫ f (x)dx называется несобственным интегралом
a	b →+∞ a

первого рода от f(x). Если этот предел конечен, то интеграл называется сходящимся, если бесконечен или вовсе не существует – расходящимся.

		+∞
Обозначение таких интегралов:		∫ f (x)dx.
		a
Определение: Пусть f(x) определена и интегрируема в [a, b-ε],
		b −ε
ε : 0 < ε < b − a и	неограниченна в [b − ε ,b].limε →0 ∫ f (x)dx		называется
		a
несобственным	интегралом	второго рода. Интеграл	называется
•		96
•

сходящимся, если этот предел конечен, и расходящимся, если предел

бесконечен или не существует. Обозначается: ∫ f (x)dx.

Практическая часть:

1. Вычислите несобственные интегралы.

∞

∫ dx a) 3х

Решение:

Подынтегральная функция непрерывна в промежутке [1; ∞). По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования

∞ dx

− 1

х2 3

lim

dx =

lim

lim N

− 1

= ∞.

∫3

N →∞ ∫

N →∞

2 N →∞

Таким образом, несобственный интеграл расходится.

б) ∫3xdx− 2

Решение:

Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=2/3. По определению

2					2						2
2					2
∫			dx				dx		1
			dx	= lim			dx	=	1	lim ln \| 3x − 2 \|			=
				= lim				=		lim ln \| 3x − 2 \|			=
		3x − 2 ε→ +0			∫3x − 2 3 ε → +0						2	3	+ ε
2					2	+ ε						3
2					2	+ ε
3					3
=	1		lim	(ln 4 − ln(3ε)) = +∞.
=			lim	(ln 4 − ln(3ε)) = +∞.
	3 ε →+0

То есть интеграл расходится.

2. Вычислите несобственные интегралы.

∞

dx a) ∫1 (3 − 4x) 2

Решение:

∞

+ 1

= lim

= lim −

−

lim

∫1 (3 − 4x)2

N→∞ ∫1 (3 − 4x)2

N→∞

3 − 4x

4 N→∞ 3

− 4N

Таким образом, несобственный интеграл сходится и равен 1 .

•	97
•

					0	dx
					b) ∫	dx
					b) ∫	x + 1
					−1	x + 1
					−1
					Решение:
Подынтегральная функция терпит разрыв в точке х=-1. По
определению
0	dx		0	dx			0
0			0
		= lim			= lim ln \| x + 1 \|			=

−1 x + 1			−1+ε x + 1				− 1 + ε
∫		ε→+0	∫		ε→+0

= lim (ln1 − ln ε) = +∞.

ε→+0

То есть интеграл расходится.

3. Вычислите несобственные интегралы.

∞	dx	1	dx		∞			2
a) ∫		b) ∫			c) ∫		dx	d) ∫	dx
	2x − 3		( 1 − x )	3		2	+ 2x + 5		(x − 2)	5
2		0			−1 x			1

Задания для самосоятельного решения:

Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:

∞

∫

xdx

∫

; ∫x e− x

dx ;

;

(x 2 + 1)2

(x + 3)

1 − x 3

− 4

Двойной интеграл, его вычисление

1.Переход от двойного интеграла к повторному.

2.Смена порядка интегрирования.

3.Вычисление повторных интегралов.

Теоретическая часть:

Определение: Двумерной интегральной суммой от данной функции f(x, y), распространённой на область S, называется сумма произведений площадей

элементарных	областей	Si		на	значение
	n
f (xi , yi ), (xi , yi ) Si. (∑ f (xi , yi )P( Si))
	i=1
	n	Si) = ∫∫ f (x, y)dS, не зависит ни от способа
Определение: lim ∑ f (xi , yi )P(		Si) = ∫∫ f (x, y)dS, не зависит ни от способа
	d →0 i=1	S
разбиения S, ни от выбора точек (xi , yi ) Si.
		b
Принципиальной разницы между ∫			и ∫∫	нет. Различия связанны с
		a	S
					b
изменением размерности рабочего пространства,				поэтому те свойства ∫ ,

•	98
•

которые не зависят от размеренности пространства, переносятся на случай двойного интеграла без изменений.

Теорема: ∫∫ f (x, y)dxdy f (x, y) - ограниченна в S.

Теорема:

∫∫

d →0

− s) = 0.

(x, y)dxdy lim(S

Свойства двойного интеграла.

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫[f1 (x, y) + f2 (x, y)]dxdy = ∫∫ f1 (x, y)dxdy + ∫∫ f2 (x, y)dxdy.

∫∫αf (x, y)dxdy = α ∫∫ f (x, y)dxdy.

f (x, y) ≥ 0, (x, y) S ∫∫ f (x, y)dxdy ≥ 0.

f (x, y) ≥ g (x), (x, y) S ∫∫ f (x, y)dxdy ≥ ∫∫g (x, y)dS.

/ ∫∫ f (x, y)dxdy / ≤ ∫∫/ f (x, y) / dxdy.

m ≤ f (x, y) ≤ M , (x, y) S m P(S ) ≤ ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ M P(S ).

∫∫ f (x, y)dxdy = M P(S ).

Если

f(x,y)

– непр на S, то

(с, d ) S : f (c, d ) = M .

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy, где S = S1 S2 .

∑

∫∫

d →0

dxdy = limσ

= lim

P( Si)

= lim P(S ) = P(S ).

Вычисление двойного интеграла по прямоугольнику.

Теорема:

∫∫

1) f (x, y), (x, y) S

пр.

f (x, y)dxdy

∫dx∫ f (x, y)dy = ∫∫ f (x, y)dxdy,

2) x [a, b] ∫ f (x, y)dy = I (x)

Sпр.

где Sпр. : {(x, y) : x [a, b] y [c, d ]}.

Теорема: (о вычислении двойного интеграла по криволинейной области). f(x,y) интегрирована в D: {a ≤ x ≤ b,

y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) } x [a, b] I (x) =

y2 ( x ) b y2 ( x )

= ∫ f (x, y)dy ∫dx ∫ f (x, y)dy =

y1 ( x )	a y1 ( x )
= ∫∫ f (x, y)dxdy.
D

•	99
•

Таким образом, если область D стандартна относительно оси ОY (a

	b	y2 ( x)
≤ x ≤ b) ^ y1 (x) ≤ y(x) ≤ y2 (x)), то ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dx		∫ f (x, y)dy.
D	a	y1 ( x)

Если область D стандартна относительно оси ОХ, т.е. c ≤ y ≤ d, x1 ( y) ≤ x ≤ x2 ( y), то по аналогии получим:

	d	x2 ( y )
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫dy		∫ f (x, y)dx.
D	c	x1 ( y )

Если область D нестандартная, то её разбивают на конечное число областей S1 , S2 ,..., Sn стандартных относительно осей координат Ох и Oy и на

основании свойств пределов полагают

∫∫	= ∫∫	+ ∫∫	+ ... + ∫∫
D	s1	s2	sn
Двойной интеграл в полярных координатах.
Пусть в ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dS
S	S
Желаем перейти к полярным координатам r и φ, полагая x = cosφ; y
= rsin φ. Область интегрирования S разобьём на элементарные области				Sij с
помощью координатных линий	r = rj	(окружности) и ϕ = ϕ j (лучи). Введём
обозначения rj = rj+1 ; ϕ j = ϕi+1 − ϕi .		Т.к.	Sij с точностью до б.м.	более

высокого порядка малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rj ϕi и rj P( Sij )≈ rj ϕi rj . Область

неправильной формы, примыкающая к границе проигнорируем, т.к. при измельчении разбиения их суммарная площадь стремиться к нулю. Выберем

M ij Sij - где M ij - вершина области	Sij	с координатами M ij (rj ,ϕi	).
в ПДСК xij = rj cosϕi , yij	= rj	sin ϕi f (xij , yij ) = f (rj cosϕi ; rj sin ϕi )
∫∫ f (x, y)dxdy = limσ ,	не	зависит от добавления	слагаемых
i=1...n	не	зависит от добавления	слагаемых
S
σ =1...n
d →0
б.б.в.п.м., где
d = max{dij } ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (rCosϕ, rSinϕ )rdϕdr , где dS=rdrdφ
S		S

– двумерный элемент площади в полярных координатах.

Для вычисления этого двойного интеграла заменим его повторным.

Пусть S:

α ≤ ϕ ≤ β , r1 (ϕ )≤ r ≤ r2 (ϕ ), где r1(ϕ ) и r2 (ϕ ) - однозначные, непрерывной функции на [α,β]. Тогда по аналогии с прямоугольными

координатами имеем:

βr2 (ϕ )

∫∫F (r,ϕ )dϕdr = ∫dϕ ∫F (r,ϕ )dr, где F(r,φ) = rf(rCosφ,rSinφ).

S	α	r1 (ϕ )
•		100
•

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1510 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.02.201510.59 Mб131Практикум Метрология для бакалавров 20.doc
#
14.02.20155.95 Mб106Практикум по БЖ 1 (новый).doc
#
14.02.2015131.91 Кб43практикум по БФУ.docx
#
12.09.201972.13 Mб257практикум по вет. микробиологии и иммунологии.doc
#
14.02.2015647.17 Кб103Практикум.doc
#
14.02.20154.1 Mб149Практикум_по_математическому_анализу.pdf
#
21.09.201953.76 Кб11Практическое занятие по почвам 1.doc
#
14.02.201555.24 Кб26Практичні роботи Стоянова.doc
#
14.02.2015213.09 Кб25прд отчет.docx
#
12.03.201662.57 Кб82Пред Пр КУРСААААЧ.docx
#
15.07.2019167.94 Кб1Предпринимательство.doc