Первый замечательный п на прямой, то векторы редел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределыии докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R= 1).

Точка K— точка пересечения луча с окружностью, а точкаL— с касательной к единичной окружности в точке (1;0). ТочкаH— проекция точкиKна осьOX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA— площадь сектораOKA)

(из : |LA| = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Вопрос № 27 Второй замечательный предел

 Второй замечательный предел:

или

Доказательство второго замечательного предела:

Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами:, где— это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то. Поэтому, согласно пределу, имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку −x=t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.

Вопрос № 28

СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть при x→aфункцииf(x)иg(x)являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

1. Если , тоf(x)называетсябесконечно малой высшего порядка, чемg(x)(относительноg(x)).

2. Если , то функцииf(x)иg(x)называютсябесконечно малыми одногопорядка.

3. Если , тоf(x)называетсябесконечно малой k-го порядка относительноg(x).

Если , то функцииf(x)иg(x)называютсяэквивалентными бесконечномалыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначатьf ≈ g.

Теорема о замене функции на эквивалентную под знаком предела

Под знаком предела

числитель или знаменатель можно заменить на эквивалентные.Доказательство. Пусть в точкех = х₀имеемf(x) ~ α(x). В этом случае

,

что и требовалось доказать.

Вопрос №29 Эквивалентность , связанная с первым заметательным пределом.

Как показывает приведённый выше пример 2.36, пределы отношения бесконечно малых можно упрощать, откидывая бесконечно малые слагаемые большего порядка и заменяя множители в числителе и знаменателе на эквивалентные бесконечно малые. Для того, чтобы этот способ вычисления пределов (точнее, раскрытия неопределённостей вида) можно было применять к возможно большему числу примеров, мы должны иметь достаточно большой запас известных пар эквивалентных бесконечно малых величин. Для наиболее употребительной базысоздадим такой запас в виде таблицы "стандартных" эквивалентных бесконечно малых.

Поскольку в этой таблице мы всегда будем рассматривать базу , для простоты записи обозначение этой базы будем пропускать и писать знаквместо.

1) . Эту формулу мы уже доказали и использовали в примерах. Эквивалентностьиприозначает в точности, что первый замечательный предел равен 1.

2) . Эта эквивалентность тоже была доказана выше в одном из примеров.

3) . Докажем эту эквивалентность:

4) . Докажите это в качестве упражнения, сделав заменуи применив предыдущую табличную формулу.

5) . Для доказательства воспользуемся формулой. Далее, имеем:

Это означает, что доказываемая эквивалентность имеет место.

6) (). Для доказательства этой эквивалентности сделаем такое преобразование:

Для вычисления предела правой части воспользуемся непрерывностью логарифма и вторым замечательным пределом:

и мы доказали формулу 6.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

).

7) (). Для доказательства сделаем заменуи выразимчерез:. Согласно формуле 6,при, откуда. Из непрерывности логарифма следует, чтои, значит,при. В этой формуле осталось лишь сменить обозначение переменногона, чтобы получить формулу 7.

В частном случае, при , получаем эквивалентность

).

При .

1)	.
2)	.
3)	.
4)	.
5)	.
6)	( ).
)	.
7)	( ).
)	.

Вопрос №31 Непрерывность функции в точке.

 Определение.Функцияf(x), определенная в окрестности некоторой точки х₀, называетсянепрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

 

Тот же факт можно записать иначе:

Определение.Если функцияf(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но не является непрерывной в самой точке х₀, то она называетсяразрывнойфункцией, а точка х₀– точкой разрыва.

Пример непрерывной функции:

                                                           y

 

                                               f(x₀)+

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-

 

0  x₀-   x₀ x₀+                   x

Пример разрывной функции:

 y

                                               f(x₀)+

                                                  f(x₀)

                                               f(x₀)-x₀x

 Определение.Функцияf(x) называется непрерывной в точке х₀, если для любого положительного числа>0 существует такое число>0, что для любых х, удовлетворяющих условию

верно неравенство                               .

 

           

Определение.Функцияf(x) называетсянепрерывнойв точке х = х₀, если приращение функции в точке х₀является бесконечно малой величиной.

 f(x) =f(x₀) +(x)

где (х) – бесконечно малая при хх₀.

Свойства непрерывных функций.

1) Сумма, разность и произведение непрерывных в точке х₀функций – есть функция, непрерывная в точке х₀.

2) Частное двух непрерывных функций – есть непрерывная функция при условии, чтоg(x) не равна нулю в точке х₀.

            3) Суперпозиция непрерывных функций – есть непрерывная функция.

Это свойство может быть записано следующим образом:

Если u=f(x),v=g(x) – непрерывные функции в точке х = х₀, то функцияv=g(f(x)) – тоже непрерывнаяфункция в этой точке.

            Справедливость приведенных выше свойств можно легко доказать, используя теоремы о пределах.

Непрерывность некоторых элементарных функций.

            1) Функция f(x) =C,C=const– непрерывная функция на всей области определения.

            2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. Таким образом, функция этого вида непрерывна на всей области определения.

            3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Докажем свойство 3 для функции y=sinx.

Запишем приращение функции y=sin(x+x) –sinx, или после преобразования:

Действительно, имеется предел произведения двух функций и . При этом функция косинус – ограниченная функция прих0 , а т.к.

предел функции синус , то она является бесконечно малой прих0.

Таким образом, имеется произведение ограниченной функции на бесконечно малую, следовательно это произведение, т.е. функция у – бесконечно малая. В соответствии с рассмотренными выше определениями, функция у =sinx– непрерывная функция для любого значения х = х₀из области определения, т.к. ее приращение в этой точке – бесконечно малая величина.

Аналогично можно доказать непрерывность остальных тригонометрических функций на всей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элементарные функции непрерывны на всей своей области определения.

Вопрос №32 Определение точек разрыва и их классифифкация.

            Рассмотрим некоторую функцию f(x), непрерывную в окрестности точки х₀, за исключением может быть самой этой точки. Из определения точки разрыва функции следует, что х = х₀является точкой разрыва, если  функция не определена в этой точке, или не является в ней непрерывной.

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.

            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа.

 

 

 

 

                                                                                 х₀

            Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной слева.

 

 

 

                                                                     х₀

            Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва функцииf(x), если f(x) не определена в точке х₀или не является непрерывной в этой точке.

            Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функцияf(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х₀, достаточно того, что она определена слева и справа от нее.

Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 – го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 – го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже.

Определение.Точка х₀называетсяточкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функцияf(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен.

Вопрос №33 Свойства функций, непрерывных в точке

Поскольку точки непрерывности функциизадаются условием, то часть свойств функций, непрерывных в точке, следует непосредственно из свойств пределов. Сформулируем их в виде следующей теоремы.

Теорема 3.1Пусть функции инепрерывны в точке. Тогда функции,,непрерывны в точке. Если, то функциятакже непрерывна в точке.

Предложение 3.3Рассмотрим множество всех функций, определённых в некоторой фиксированной окрестности точкии непрерывных в этой точке. Тогда это множествоявляется линейным пространством, то есть замкнуто относительно сложения и умножения на постоянные:

        Доказательство.     Действительно, постоянныеи-- это непpеpывные функции (в любой точке); по пpедыдущей теоpеме тогда непpеpывны в точкепpоизведенияи. Но тогда по этой же теоpеме непpеpывна в точкеи сумма.

        Теорема 3.2Пусть функции f и ,g таковы, что существует композиция ,. Пусть функциянепрерывна в точке, а функциянепрерывна в соответствующей точке. Тогда композициянепрерывна в точке.

        Доказательство.     Заметим, что равенствоозначает, что прибудет. Значит,

(последнее равенство следует из непрерывности функции в точке). Значит,

а это равенство означает, что композиция непрерывна в точке.

Заметим, что, очевидно, в предыдущих двух теоремах можно было бы заменить базу на односторонние базыилии получить аналогичные утверждения для непрерывности слева или справа:

        Теорема 3.3Пусть функции инепрерывны слева (справа) в точке. Тогда функции,,непрерывны слева (соотв. справа) в точке. Если, то функциятакже непрерывна слева (спpава) в точке.

 Теорема 3.4Пусть функция непрерывна слева (справа) в точке, а функциянепрерывна в точке. Тогда композициянепрерывна слева (соотв. справа) в точке.