Вариант 4.
1. Доказать (указать
),
что
.
2. Вычислить пределы числовых последовательностей:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
2
.
3. По
эскизу графика описать поведение функции
на языке пределов в точках
и
и при стремлении аргумента функции к
.
–1 2
–2
4. Построить
график функции
,
если известно, что
, 
, 
,
, 
.
Дать каждому из пределов определение по Гейне (в терминах пределов последовательностей) и по Коши (используя понятие окрестности).
5. Исследовать
функцию на непрерывность, указать
характер точек разрыва. Найти асимптоты
графика функции. Построить график
функции: а)
;
б)
.
6. Доказать (найти
),
что
а)
; б)
.
7. При каких значениях
и
величины
и
при
являются бесконечно малыми: а) одного
и того же порядка; б) эквивалентными; в)
одна из них является бесконечно малой
более высокого порядка, чем другая?
8. Сравнить бесконечно
малые при
величины
и
.
9. Вычислить пределы функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и)
.
10. Найти постоянные
a
и b
из условия
.
Вариант 5.
1. Доказать (указать
),
что
.
2. Вычислить пределы числовых последовательностей:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
–2
.
3. По
эскизу графика описать поведение функции
на языке пределов в точках
и
и при стремлении аргумента функции к
.
0
1
1 x y –3
4. Построить
график функции
,
если известно, что
, 
, 
,
, 
.
Дать каждому из пределов определение по Гейне (в терминах пределов последовательностей) и по Коши (используя понятие окрестности).
5. Исследовать функцию на непрерывность, указать характер точек разрыва. Найти асимптоты графика функции. Построить график функции:
а)
; б)
6. Доказать (найти
),
что
а)
; б)
.
7. При каких значениях
и
величины
и
при
являются бесконечно малыми: а) одного
и того же порядка; б) эквивалентными; в)
одна из них является бесконечно малой
более высокого порядка, чем другая?
8. Сравнить бесконечно
малые при
величины
и
.
9. Вычислить пределы функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и)
.
10. Найти постоянные a и b из условия
Вариант 6.
1. Доказать (указать
),
что
.
2. Вычислить пределы числовых последовательностей:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
.
3. По
эскизу графика описать поведение функции
на языке пределов в точках
и
и при стремлении аргумента функции к
.
2
–3
4. Построить
график функции
,
если известно, что
, 
, 
,
, 
.
Дать каждому из пределов определение по Гейне (в терминах пределов последовательностей) и по Коши (используя понятие окрестности).
5. Исследовать
функцию на непрерывность, указать
характер точек разрыва. Найти асимптоты
графика функции. Построить график
функции: а)
;
б)
.
6. Доказать (найти
),
что
а)
; б)
.
7. При каких значениях
и
величины
и
при
являются бесконечно малыми: а) одного
и того же порядка; б) эквивалентными; в)
одна из них является бесконечно малой
более высокого порядка, чем другая?
8. Сравнить бесконечно
малые при
величины
и
.
9. Вычислить пределы функций:
а)
; б)
;
в)
; г)
;
д)
; е)
;
ж)
; з)
;
и)
.
10. Найти постоянные
a
и b
из условия
.