Задания 2.1 / ОПЕРАЦИИ С МАТРИЦАМИ
.pdfОПЕРАЦИИ С МАТРИЦ А МИ
В MS Excel встроено множество функций, каждая из которых предна-
значена для выполнения специальных типов вычислений. При выполнении операций над матрицами, решении систем линейных уравнений, решении за-
дач планирования по модели межотраслевого баланса можно применять сле-
дующие функции Excel:
МУМНОЖ – умножение матриц;
ТРАНСП – транспонирование матрицы;
МОПРЕД – вычисление определителя матрицы;
МОБР – вычисление обратной матрицы.
Транспонирование
Транспонированной называется матрица (А ), в которой столбцы ис-
ходной матрицы (А) заменяются строками с соответствующими номерами. В сокращенной записи, если А=(аij), то А = (аji).
Для осуществления транспонирования в MS Excel используется встро-
енная функция ТРАНСП (из категории Ссылки и массивы мастера функ-
ций), которая позволяет применять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.
Синтаксис функции: ТРАНСП(массив). Здесь массив – это транспони-
руемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Рассмотрим эту проце-
дуру на примере.
Пример 1. В диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 2 5
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
А |
|
|
|
|
|
. |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
0 |
|
|
|
Необходимо получить транспонированную матрицу.
Решение.
1. Выделяем блок ячеек под транспонированную матрицу (5 2). На-
пример, А4:В8.
2. Активизируем на панели инструментов Стандартная пиктограмму
Вставка функции .
3. В появившемся диалоговом Мастер функций в рабочем поле Кате-
гория выберем Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция – имя функ-
ции ТРАНСП (рис. 1).
Рисунок 1 - Пример выбора вида функции
4. В поле ввода Массив (указателем мыши) зададим диапазон транспо-
нируемой матрицы А1:Е2 (рис. 2).
Рисунок 2 - Пример заполнения диалогового окна функции ТРАНСП В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица:
|
1 |
6 |
|
|
|
|
2 |
7 |
|
|
|
|
||
А |
|
3 |
8 |
. |
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
|
|
|
5 |
0 |
|
|
|
|
Вычисление определителя матрицы
Важной характеристикой квадратных матриц является их определи-
тель. Определитель матрицы – это число, вычисляемое на основе значений элементов массива.
Существуют специальные правила для вычисления определителей с учетом их свойств. При применении программы Excel в использовании этих приемов нет необходимости.
В MS Excel для вычисления определителей квадратных матриц исполь-
зуется функция МОПРЕД из категории Математические.
Функция имеет следующий синтаксис: МОПРЕД(массив). Здесь мас-
сив – это числовой массив, в котором хранится матрица с равным числом строк и столбцов. При этом массив может быть задан через интервал ячеек,
например, А1:С3, или как массив констант, например, {1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы встроенными средствами Excel.
|
1 |
2 |
3 |
|
Пример 2. В диапазон ячеек А1:С3 введена матрица: |
|
|
|
|
А |
0 |
2 |
3 . |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
3 |
Необходимо вычислить ее определитель.
Решение.
1. Табличный курсор установим в ячейку, в которой требуется полу-
чить значение определителя, например в А4.
2.В диалоговом окне мастера функций выбираем функцию МОПРЕД.
3.В диалоговом окне функции в поле ввода Массив вводим диапазон исходной матрицы (рис. 3). В результате в ячейке А4 появится значение оп-
ределителя матрицы – 6.
Рисунок 3 - Пример вычисления значения определителя матрицы
Нахождение обратной матрицы
Для каждого числа а 0 существует обратное число а-1, и для квадрат-
ных матриц вводится аналогичное понятие. Обратные матрицы обычно ис-
пользуются для решения систем уравнений с несколькими неизвестными.
Матрица А-1 называется обратной по отношению к квадратной матрице
А, если при умножении этой матрицы на данную как слева, так и справа по-
лучается единичная матрица:
А А 1 А 1 А Е .
Существуют специальные алгоритмы для вычисления обратных мат-
риц.
В MS Excel для нахождения обратной матрицы используется встроен-
ная функция МОБР из категории Математические мастера функций.
Рассмотрим пример нахождения обратной матрицы.
Пример 3. Пусть в диапазон ячеек А1:С3 введена матрица
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
А |
0 |
2 |
3 . |
|
1 |
0 |
|
|
3 |
Необходимо получить обратную матрицу.
Решение. Необходимо выделить блок ячеек под обратную матрицу,
например, А5:А7.
С помощью мастера функций активизировать функцию МОБР. В поле ввода Массив указать диапазон исходной матрицы А1:С3. В результате в диапазоне появится обратная матрица1 (рис. 4).
Рисунок 4 - Результат вычисления обратной матрицы
Умножение матриц
Произведение матриц определено, если число столбцов первой матри-
цы равно числу строк второй.
Пусть А = (аij)m n, B = (bij)n p, тогда размерность произведения А В рав-
на m p.
Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц (ассоциативности, дистрибутивности, тран-
зитивности, операции с константой). Однако имеются и специфические свой-
ства операций умножения матриц.
1.Умножение матриц некоммутативно – АВ ≠ ВА.
2.Если Е – единичная матрица, то ЕА = А; ВЕ = В.
3.Из того, что А В = 0, не следует, что А = 0 или В = 0.
Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функ-
ция МУМНОЖ.
Синтаксис: МУМНОЖ (массив1; массив2), где массив1 и массив2 –
это перемножаемые массивы.
1 Если обратная матрица не появилась в указанном диапазоне, то следует установить курсор в строку формул и нажать Ctrl+Shift+Enter.
Массив С, который получается в результате умножения матриц, опре-
деляется следующим образом: С aijbij , где i – номер строки, а j – номер
столбца.
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. Пусть матрица |
А |
3 |
2 |
0 |
1 |
введена в диапазон А1:D3, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
а матрица |
|
|
- в диапазон А4:В7. Найти произведение этих матриц. |
||||||||
В |
10 |
0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
1. Выделите блок ячеек под результирующую матрицу (в данном при-
мере размерность итоговой матрицы - 3 2). Например, F1:G3.
2. Активизируйте Мастер функций. В диалоговом окне в поле Кате-
гория выберите Математические, а в поле Функция – имя функции
МУМНОЖ.
3. В диалоговом окне функции в рабочее поле Массив1 введите диапа-
зон исходной матрицы А, а в рабочее поле Массив2 – диапазон матрицы В
(рис. 5). После этого нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.
Рисунок 5 - Пример заполнения рабочих полей диалогового окна МУМНОЖ
4. В результате в выделенном диапазоне появится результат произве-
71 |
7 |
|
|
|
|
|
|
дения исходных матриц: С А В |
5 |
14 |
. |
|
16 |
0 |
|
|
|
Пример 5. Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, Р3 и
использует сырье двух типов S1, S2. Нормы расхода сырья характери-
|
3 |
2 |
|
|
|
зуются матрицей |
|
|
|
|
где каждый элемент показывает, сколько |
А |
1 |
4 |
, |
||
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продук-
ции. |
План |
выпуска |
продукции |
задан |
матрицей-строкой |
В 100 |
130 90 . Необходимо определить затраты сырья для планового |
выпуска продукции.
Решение. Для нахождения затрат сырья необходимо вычислить произ-
ведение матриц В*А.
Последовательность действий в данном случае будет, как и в предыду-
щем примере. В результате получим матрицу-строку затрат сырья для плано-
вого выпуска продукции (то есть произведение матриц) |
В* А 880 900 . Та- |
ким образом, для выполнения плана необходимо S1 = 880 |
единиц сырья пер- |
вого типа и S2 = 900 единиц сырья второго типа. |
|
Упражнения
|
|
|
|
4 |
|
1. Найдите произведение матриц А В, где А 1 2 |
3 , |
В |
|
5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2.Найдите произведение матриц В А из упражнения 1.
3.Найдите определитель матрицы В А из упражнения 2.
|
2 |
3 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
4. Найдите произведение матриц С=А Е, где |
А |
4 |
1 |
3 . |
|
|
|
7 |
2 |
0 |
|
|
|
|
5.Проверьте, верно ли найдена обратная матрица в упражнении 5.
6.Предприятие выпускает продукцию трех видов: Р1, Р2, Р3 и исполь-
зует сырье двух типов S1, S2. Нормы расхода сырья характеризуются матри-
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цей |
А |
1 |
4 |
|
, где каждый элемент показывает, сколько единиц сырья j-го |
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
|
типа расходуется на производство единицы продукции. Стоимость единицы
каждого вида сырья задана матрицей-столбцом |
|
50 |
|
. Определите стои- |
С |
|
|
||
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
мость затрат сырья на единицу продукции.
7. Ателье выпускает три вида изделий: брюки, юбки и жилеты, исполь-
зуя два вида тканей: шерстяную и подкладочную. Нормы расхода тканей ха-
рактеризуются матрицей А.
Брюки, юбки, жилеты |
Ткань |
Цена за 1 м (руб.) |
|||||
|
|
|
|
|
|||
1,2 |
0,9 |
0,75 |
шерстяная |
450 |
|||
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,7 |
0,6 |
0,5 |
|
|
|
|
подкладочная |
130 |
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Определить: 1) количество метров тканей (D), необходимое для сле-
дующего выпуска изделий
|
|
|
|
|
|
|
150 |
|
Брюки |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
В 160 |
|
|
Юбки |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Жилеты |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) общую стоимость тканей ( |
|
|
|
130 . |
|||||||||||
S), если |
известна цена 1м С 450 |
||||||||||||||
8. Какие из матриц можно перемножить? Найдите эти произведения. |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
|
1 3 2 0 |
|
|
|
2 0 |
|
|
1 |
|
D 2 1 1 |
0 . |
|
|||
А |
|
, В |
|
|
, |
С , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 1 1 2 |
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Вычислите: (А В) С; А (В С). |
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 2 0 |
|
1 |
|
0 |
1 |
0 2 1 |
|
|
||||||
В |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
А |
, |
|
1 |
|
1 , С |
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 1 2 |
|
|
2 |
1 |
3 |
1 1 0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
Покажите, |
что |
|
для |
указанных матриц |
верно |
утверждение: |
(А В) С АС ВС.
|
0 |
3 |
|
1 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
В |
|
1 |
1 |
|
0 |
2 |
1 |
|||
А |
1 , |
|
, С |
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
0 |
2 |
|
|
|||
11. Вычислите: |
А В |
|
3 |
4 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
|
||
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислите: В*А из упражнения 10.
Найдите матрицы обратные данным.
|
|
2 |
4 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
А |
1 |
2 |
4 |
. |
|
|
|
3 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
А |
4 |
1 |
5 |
. |
|
|
|
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
0 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
17. |
А |
2 |
3 |
2 |
. |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Вычислить определитель матрицы
|
2 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
||||
19. |
А |
3 |
1 |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
7 |
12 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
А |
3 |
2 |
2 |
. |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
А |
2 |
3 |
|
4 |
. |
|
|
|
3 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
5 |
|
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
А |
2 |
4 |
|
4 |
. |
|
|
|
1 |
13 |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
А |
4 |
0 |
1 . |
|
|
|
3 |
2 |
0 |
|
|
|
|