1.7 Анализ дифференциального уравнения автогенератора

При определении условий самовозбуждения, как правило, интересуются лишь начальной стадией процесса, когда колебания в автогенераторе только что возникли, их амплитуды очень малы и транзистор можно рассматривать как линейный элемент. Учитывая малость напряжений и то, что при этом используются очень небольшие участки вольтамперных характеристик транзистора, которые можно считать линейными, вместо уравнения (14) можно записать:

, (18)

где – крутизна характеристики транзистора.

Тогда правая часть уравнения (15) принимает вид

и уравнение (17) превратится в линейное дифференциальное уравнение:

. (19)

Введя обозначение

(20)

и учитывая, что , окончательно получим

. (21)

Это дифференциальное уравнение аналогично дифференциальному уравнению свободных колебаний простого колебательного контура (10). Поэтому общее решение уравнения (21) имеет тот же вид:

,

где – начальная амплитуда напряжения на колебательном контуре автогенератора.

Однако вместо величины в решение дифференциального уравнения автогенератора входит величина, которая зависит не только от параметров колебательного контураL, С, r, но и от параметров автогенератора – транзистора (S) и цепи обратной связи (М). Кроме того, если в колебательном контуре значение всегда положительно, то в автогенераторе в зависимости от его параметров величинаможет быть как положительной, так и отрицательной. Это приводит к тому, что решение дифференциального уравнения автогенератора может существенно отличаться от решения дифференциального уравнения свободных колебаний простого колебательного контура.

Рисунок 9 – Временные диаграммы напряжений в автогенераторе при различных значениях величины эквивалентного затухания колебательного контура

Выбрав такое направление наводимой ЭДС, чтобы можно получить в зависимости от параметров автогенератора три значения, соответствующие трем принципиально разным решениям уравнения (21):;;.

При колебания в автогенераторе будут затухающими. Если автогенератор вывести из состояния статического равновесия любым внешним воздействием, то через некоторое время колебания в нем прекратятся (рисунок 9 а). Процессы в таком автогенераторе качественно совпадают со свободными колебаниями в простом колебательном контуре.

При колебания в автогенераторе становятся незатухающими (рисунок 9, б). Случайно возникшие в автогенераторе колебания будут долгое время оставаться неизменными. Однако такой автогенератор не будет самовозбуждаться.

Наконец, при колебания в автогенераторе будут нарастающими (рисунок 9, в). Этот случай является наиболее интересным, так как только при условии состояние статического равновесия автогенератора оказывается неустойчивым и в автогенераторе создаются благоприятные условия для самовозбуждения.

Таким образом, условие или

(22)

является условием самовозбуждения автогенератора.

1.8 Стационарный режим работы автогенератора

На начальной стадии работы автогенератора за счет усилительных свойств -цепи в контур поступает больше энергии, чем необходимо для компенсации потерь и колебания нарастают. Если бы параметры усилительного устройства были постоянными, т. е. усилитель был бы линейным, процесс роста колебаний продолжался бы теоретически неограниченно, до тех пор, пока возросшие ток или напряжение не привели бы к выходу из строя одного из элементов схемы. Получить колебания с постоянной амплитудой при постоянных параметрах-цепи невозможно. С увеличением амплитуды параметры-цепи должны меняться так, чтобы вызвать вначале замедление, а потом и прекращение роста колебаний. Это означает, что-цепь должна обладать нелинейными свойствами. Обычно нелинейным элементом является тот же электронный прибор, который используется для усиления – транзистор или лампа, а переменным параметром –крутизна управляющей характеристики , которая уменьшается с увеличением амплитуды напряжения на входе. С уменьшением крутизны падают усилительные свойства транзистора, в контур поступает все меньше и меньше энергии и, наконец, наступает энергетический баланс, при котором в контур поступает ровно столько энергии, сколько расходуется на сопротивлении r; контур становится консервативным, а колебания становятся незатухающими.

Процесс генерации можно расчленить на три стадии:

– начало генерации (самовозбуждение);

– генерация незатухающих колебаний, т. е. установившийся (стационарный) процесс;

— нарастание колебаний, т. е. переходный процесс.

Для исследования первой стадии можно использовать линейную трактовку процесса, для третьей — квазилинейную и только при изучении второй стадии необходимо рассматривать задачу на основе нелинейной теории.

При изучении стационарного режима генератора считаются известными характеристики и параметры всех элементов схемы. Определению подлежат условия, при которых имеют место стационарный режим, и зависимости амплитуды и частоты генерируемых колебаний от значений параметров схемы.

При появлении колебаний, когда их амплитуда мала, усиление -цепи относительно велико. С ростом амплитуды колебаний благодаря изменению параметров нелинейного элемента-цепи ее усиление уменьшается и, наконец, при некотором значении амплитуды остается постоянным; в цепи устанавливается стационарный режим. В этом режиме амплитуда не меняется, а колебания имеют форму, мало отличающуюся от синусоидальной. Последнее означает, что в установившемся режиме-цепь ведет себя как линейная. Рассмотрим установившийся процесс подробнее.

Система, составленная из нелинейного и избирательного линейного 4-полюсников, ведет себя как линейная по отношению к мгновенным значениям и как нелинейная по отношению к амплитудным значениям. Такие системы называются квазилинейными. Пусть входное напряжение . Через нагрузку нелинейного 4-полюсника (усилителя) протекает несинусоидальный ток . Выходное напряжение , снимаемое с контура, можно представить как:

Здесь – модуль комплексного сопротивления контура, а – угол сдвига по фазе между соответствующими составляющимии_к и i на n-й гармонике.

Известно, что сопротивление контура велико только для тока той частоты, которая совпадает с резонансной частотой контура. Тогда всеми гармониками (кроме первой) выходного напряжения по сравнению с напряжением частоты можно пренебречь. Таким образом, напряжение на выходе контура имеет вид:

Оно будет гармоническим, т. е. таким, каким оно было бы, если бы характеристика нелинейного преобразователя была линейной.

Коэффициент передачи рассматриваемой системы согласно (1) имеет вид:

. (23)

Так как по условию контур настроен на частоту внешнего воздействия; его сопротивление имеет чисто активный характер и . Амплитуда напряжения на контуре равна . Поэтому можно записать, что, гдеR_э0 – резонансное сопротивление контура.

Отношение амплитуды первой гармоники тока к амплитудеU входного напряжения в радиотехнике принято называть средней крутизной характеристики. Средняя крутизна является функцией амплитуды входного напряжения, т. е.

(24)

Средняя крутизна является основной характеристикойквазилинейного метода.

Рассмотрим зависимость подробнее.

На рисунке 10 а изображена вольтамперная характеристика нелинейного элемента (зависимость ). Начало координат на графике выбрано так, что ось ординат проходит через рабочую точку. Справа показана форма тока при двух значениях амплитуды входного напряжения. При малых амплитудах ток совпадает по форме с приложенным напряжением; при больших амплитудах колебания выходят за пределы линейного участка характеристики и форма тока оказывается несинусоидальной.

На рисунке 10 б справа изображены первые гармоники токов, соответствующих малой и большой амплитудам входных напряжений. Слева обычным графическим способом получены характеристики, которыми обладал бы нелинейный преобразователь, если бы ток не содержал высших гармонических составляющих. Этот график, с одной стороны, показывает, что пренебрежение высшими гармоническими составляющими эквивалентно линеаризации характеристики нелинейного преобразователя. При данной постоянной амплитуде входного напряжения (в рассматриваемом случае при или ) нелинейный 4-полюсник может рассматриваться как линейный элемент. С другой стороны, из графика следует, что нелинейные свойства 4-полюсника по отношению к амплитуде сохраняются. При изменении амплитуды входного напряжения меняется наклон линеаризованной характеристики, т. е. меняется ее крутизна. Крутизна линеаризованной характеристики, т. е. крутизна по первой гармонике тока, и является средней крутизной. Из рисунка 10 б видно, что она находится как отношение амплитуды первой гармоники тока к амплитуде входного напряжения.

Рисунок 10 – Пояснение понятия квазилинейной цепи:

а) характеристика реального нелинейного элемента и форма протекающего через него тока; б) характеристика и форма тока квазилинейного элемента

Характер зависимости средней крутизны от амплитуды напряжения определяется видом характеристики нелинейного элемента и положением рабочей точной на ней. Рассмотрим два частных случая.

Рисунок 11 – а) ВАХ усилителя с рабочей точкой на линейном участке;

б) соответствующая этой ВАХ и положению рабочей точки зависимость средней крутизны от амплитуды входного напряжения

Пусть в первом случае характеристика нелинейного элемента имеет вид, изображенный на рисунке 11 а. Рабочая точка А выбрана в области наибольшей крутизны. Во втором случае характеристика нелинейного элемента имеет тот же вид, что и в предыдущем, но рабочая точка А расположена в области нижнего изгиба характеристики (рисунок 12 а).

Рисунок 12 – К определению средней крутизны в схеме со смещением:

а) ВА характеристика нелинейного элемента; б) график средней крутизны

С помощью математического анализа можно получить зависимости средней крутизны от амплитуды входного напряжения для этих двух случаев. [2] Кривые представлены на рисунках 11 б и 12 б.

Таким образом, положение рабочей точки на ВАХ влияет на характер зависимости средней крутизны транзистора от входного напряжения (рисунок 13). Это позволяет учесть нелинейный характер автогенератора, т.е. средняя крутизна является параметром, который позволяет использовать для анализа работы автогенератора квазилинейный метод.

Рисунок 13 – Зависимость при различных напряжениях смещениях Е