Prozorov_Vych_math_SLAU

31

octave:13>x0=x_next

x0 =

-0.20415

0.43425

1.04602

§ 2.4. Сходимость итерационных методов.

Существуют различные практические признаки сходимости итерационных

методов. Например, диагональное преобладание матрицы A:

X

то есть в каждой строке матрицы A диагональный элемент больше по абсолютной величине суммы модулей всех остальных. Диагональное преобладание матрицы исходной системы влечет за собой сходимость метода Якоби и Зейделя. Практически применимое условие сходимости итерационного метода (2.1.2)

Отметим, что норму матрицы можно ввести разными способами, (в конечномерном случае все нормы эквивалентны), но невыполнение условия (2.4.2) для какой-то нормы еще не означает расходимость итерационного метода, и для сходимости условие (2.4.2) можно проверять для одной нормы. Можно взять, например, следующее условие

Приведем критерий сходимости итерационного метода

Теорема 2.4.1. Если система (2.1.1) имеет единственное решение, то итерационный метод сходится к этому решению при любом начальном приближении, тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы B

по модулю меньше 1.

32

Пример 2.4.1. Матрицa

octave:1> B =[0.5 -0.6; 0.2 0.7]

B=

0.50000 -0.60000

0.20000 0.70000

не удовлетворяет условию (2.4.3), но ее собственные значения по абсолютной величине меньше 1. Это значит, что соответствующий итерационный процесс сойдется (проверить). Вычислить собственные значение можно командой

octave:2>eig(a) ans =

0.60000 + 0.33166i

0.60000 - 0.33166i

octave:3>abs(eig(a)) ans =

0.68557

0.68557

33

§ 2.5. Лабораторные задания

Лабораторная работа 1. Решение систем линейных алгебраических

уравнений (СЛАУ) прямыми методами.

a)Решить систему Ax = b, методом Гаусса с постолбцовым выбором главного элемента.

b)Выполнить LU разложение данной матрицы и с его помощью получить решение данной системы, а также вычислить определитель матрицы A.

c)Вычислить число обусловленности cond(A) и исследовать чувствительность данной системы к погрешностям исходных данных.

Варианты к 1, 2 заданиям