Prozorov_Vych_math_SLAU

21

Еще один пример нормы

Все эти нормы встроены в язык Octave: команда norm(a; p). Норма позволяет ввести расстояние между векторами, то есть сравнивать векторы. Рас-

§ 1.3. Обусловленность СЛАУ

Обычно матрица системы или ее правая часть заданы с некоторой погрешностью, поэтому необходимо знать, как эта погрешность может сказаться на численном решении задачи. Остановимся на случае, когда матрица задана

Таким образом, число обусловленности показывает во сколько раз относительная погрешность правой части может возрасти в решении.

Пример 1.3.1. Рассмотрим следующую матрицу

22

octave:1> a a =

2.6313e-05 2.6399e+03 5.5784e+03

5.7701e-05 2.3510e-05 9.1372e-05

4.3202e-05 2.6872e+03 -1.9127e+03

Выберем вектор точное решение:

octave:2>x=[1;1;1] x =

1

1

1

Подбираем по точному решению правую часть.

octave:3>b=a*x

b=

8.21834184454532e+03

1.72583201686432e-04

7.74500326991914e+02

Решаем систему встроенным методом Гаусса.

octave:4>x=a \ b x =

1

1

1

octave:5>b1=b b1 =

8.21834184454532e+03

23

1.72583201686432e-04

7.74500326991914e+02

возмущаем правую часть

octave:6>b1(1)=b1(1)+0.001 b1 =

8.21834284454532e+03

1.72583201686432e-04

7.74500326991914e+02

Находим измененное решение.

octave:7>x1=a\b1 x1 =

0.999999748769187

1.000000095445405

1.000000134093709

Кажется, что изменение первой компоненты вектора b влечет за собой небольшое изменение решения (решение почти 1). На самом деле нужно вычислять именно относительные погрешности, что и показывает дальнейшее.

Изменим теперь вторую компоненту вектора b.

octave:8> b1(2)=b1(2)+0.001 b1 =

8.21834284454532e+03

1.17258320168643e-03

7.74500326991914e+02

octave:9> x1=a\b1

24

x1 =

18.330643871686586

0.999999843500222

1.000000171576927

Считаем абсолютную погрешность решения

octave:10>norm(x-x1);

относительную

octave:11>otnX=norm(x-x1)/norm(x);

то же самое для правой части

octave:12>norm(b-b1); otnB=norm(b-b1)/norm(b);

теперь их отношение

octave:13>otnX/otnB ans = 58404095.6051131

Во столько раз относительная погрешность правой части возросла в решении. Число обусловленности данной матрицы, вычисленнное стандартной функцией, равно,

octave:14>cond(a) ans = 1.0760e+08

с другой стороны, определитель этой матрицы равен

octave:15>det(a) ans = 1156.3.

25

Глава 2. Итерационные методы решения СЛАУ

Метод Гаусса, как и LU разложение, относится к прямым методам, это означает, что вычисления проводятся по точным формулам, и если отбросить ошибки округления, то ответ, в принципе, должен получится точный. Другую группу методов составляют итерационные, при помощи которых решение находится с помощью итераций, то есть последовательно. Если итерационный метод сходится, то каждое последующее приближение поправка к предыдущему. Применение итерационного метода дает ответ с определенной точностью.

§ 2.1. Метод простых итераций

Допустим, что СЛАУ записана в форме

то есть из системы, записанной в виде Ax = b, каким-то образом выделен вектор неизвестных x в левой части. Задав начальное приближение x0, можно по формулам (2.1.1) вычислить следующее x1 и так далее. Общая формула

octave:1> B=[2.1 1.2; -1 0.2]

B=

2.10000 1.20000

-1.00000 0.20000

26

octave:2> с=[-3.4 2.8] c =

-3.4000 2.8000

Теперь проведем вычисления, используя две переменные x0 текущий вектор, x_next следующий. В качестве начального вектора возьмем вектор правых частей c.

octave:3> x0=c x0 =

-3.4000 2.8000

octave:4> x_next=B*x0+c x0 =

-7.1800 6.7600

octave:5>x0=x_next;

octave:6> x_next=B*x0+c x_next =

-10.366 11.332

Следующие итерации

octave:7> x0=x_next;

octave:8> x_next=B*x0+c x_next =

-11.570

15.432

27

octave:9> x0=x_next;

octave:10> x_next=B*x0+c x_next =

-9.1785 17.4567

Точное решение системы (2.1.3) вектор [2; 1]. Видно, что итерационный метод к нему не сходится.

Рассмотрим еще один пример.

octave:1> B=[0.5 0.1; 0.3 0.4] B =

0.50000 0.10000

0.30000 0.40000

octave:2> c=[0.4; 0.3] c =

0.40000

0.30000

octave:3> x0=c x0 =

0.40000

0.30000

Приведем последующие итерации x=0.400000 0.300000

28

x=0.630000 0.540000 x= 0.769000 0.705000 x=0.855000 0.812700 x= 0.908770 0.881580 x=0.942543 0.925263 x= 0.963798 0.952868 x=0.977186 0.970287 x= 0.985622 0.981270 x= 0.990938 0.988195

В этом случае метод сходится (точное решение [1; 1]). Достигнутую после 10 итераций точность можно грубо оценить количеством цифр после запятой, которые различаются в двух последних итерациях. Видно, что точность найденного решения порядка 0:01.

§ 2.2. Метод Якоби

Систему, записанную в виде Ax = b, приводим к виду (2.1.1) так: первое уравнение системы разрешаем относительно переменной x1, второе относительно переменной x2 и т. д. Покажем эти вычисления на примере.

Пример 2.2.1. Решить систему

8

>

>>2x1 + 0:5x2 + 1:2x3 = 1;

>

<

>0:6x1 + 2x2 + x3 = 2;

>

>

>

:0:5x1 + 0:5x2 + 2:5x3 = 5:

Преобразуем в систему

>

>

:

29

§ 2.3. Метод Зейделя

Отличается от предыдущего метода тем, что, вычисляя, как в методе Якоби x1, подставляем его во второе уравнение, находим x2 , подставляем x1,x2 в

третье и т. д. Матричная запись

>

:

Жирным шрифтом выделены те слагаемые, которые отличают методы Зейделя и Якоби.

Вычислим несколько итераций по методу Якоби

octave:1> B=[0 -0.25 -0.6; 0.3 0 -0.5;0.2 0.2 0 ];

octave:2> c=[0.5;1;1];

octave:3> x0=c;

octave:4> x_next=B*x0+c; pogr=norm(x0-x_next) pogr = 0.96695

Величина pogr показывает точность, достигнутую после каждой итерации

octave:5> x0=x_next x0 =

-0.35000 0.65000 1.30000

octave:6> x_next=B*x0+c; pogr=norm(x0-x_next) pogr = 0.47977

30

octave:7> x0=x_next x0 =

-0.44250 0.24500 1.06000

Воспользуемся теперь формулами Зейделя

octave:8> x0=c;

octave:9>x_next=x0;

octave:10>for i=1:3 x_next(i)=B(i,:)*x_next+c(i); endfor; pogr=norm(x0-x_next)

pogr = 1.0434

octave:11>x0=x_next x0 =

-0.35000 0.39500 1.00900

Обратите внимание на то, что вместо обычного матричного умножения x_next = B ¤ x_next + c в методе Зейделя используется цикл, в силу того, что вектор x_next должен вычисляться постепенно: сначала его первая компонента, которая затем используется для вычисления x_next(2) и так далее.

octave:12> for i=1:3 x_next(i)=B(i,:)*x_next+c(i); endfor; pogr=norm(x0-x_next)

pogr = 0.15551