§ 5. Потенциалы и поля

Теперь обратимся к некоторым идеям, связанным с потен­циальной энергией и с понятием поля. Пусть два больших тела А и В притягивают к себе третье малое тело с суммарной силой F. Мы уже отмечали в гл. 12, что сила притяжения частицы может быть представлена как произведение ее массы m на век­тор С, зависящий лишь от положения частицы:

F = mC.

Тяготение можно анализировать, считая, что в каждом месте пространства имеется вектор С, который «действует» на массу, помещенную в это место, но который присутствует там безот­носительно к тому, поместили ли мы туда массу или нет. Вектор С имеет три составляющие, и каждая из них является функцией от (х, y, z) — функцией положения в пространстве. Такую вещь мы называем полем и говорим, что тела А и В создают поле, т. е. «делают» вектор С. Когда тело помещено в поле, то сила дей­ствия на это тело равна его массе, умноженной на величину вектора поля в той точке, куда тело попало.

С потенциальной энергией можно сделать то же самое. Так как потенциальная энергия, интеграл от (Сила)•(ds), может быть записана в виде массы m, умноженной на интеграл от (Поле)•(ds) — это простое изменение масштаба, — то потен­циальную энергию U(x, у, z) тела, расположенного в точке (х, у, z), можно записать как произведение m на другую функ­цию. Назовем ее потенциалом .. Интеграл ∫C•ds равен

-, подобно тому как ∫F•ds=-U; они отличаются только

масштабом:

U= -∫F•ds=-m∫C•ds=m. (14.7)

Зная в каждой точке пространства эту функцию  (х, y, z), можно немедленно вычислить потенциальную энергию тела в любой точке, а именно U(x, у, z) — m (х, у, z). Теперь, как видите, это стало делом пустяковым. Но на самом деле это от­нюдь не пустяк, потому что иногда намного приятнее описать поле, задав распределение потенциала во всем пространстве, чем задавать С. Вместо трех сложных компонент векторной функции проще задать скалярную функцию . Кроме того, когда поле создается многими массами, величину  рассчиты­вать легче, чем три компоненты С: потенциалы—скаляры, их можно просто складывать, не заботясь о направлениях сил. А поле С, как мы сейчас увидим, легко восстановить, зная . Пусть у нас есть точечные массы m₁, m₂,... в точках 1, 2..., и мы хотим знать потенциал  в некоторой произвольной точке Р. Тогда он оказывается простой суммой потенциалов отдельных масс в точке Р:

Этой формулой, представляющей потенциал в виде суммы потенциалов отдельных масс, мы пользовались в предыдущей главе, чтобы вычислить потенциал сферического слоя (мы тогда сложили потенциалы всех поясков, на какие был нарезан слой). Итог расчета показан на фиг. 14.4.

Фиг. 14.4. Потенциал тяготею­щего сферического слоя радиусом а.

Потенциал отрицателен, ра­вен нулю на бесконечности, падает как 1/r, пока r не станет рав­ным а, и затем внутри слоя становится постоянным. Вне слоя потенциал равен —Gm/r (т— масса слоя), что полностью сов­падает с потенциалом точки с массой т, помещенной в центре сферического слоя. Но такое совпадение существует только для точек снаружи слоя, а во внутренних точках потенциал оказывается равным —Gm/a и больше не меняется! А когда потенциал постоянен, то поля нет: если потенциальная энергия не меняется, то сила отсутствует, потому что, когда мы дви­гаем тело из одной внутренней точки в другую, работа, выполняе­мая силой, в точности равна нулю. Почему? Да потому, что ра­бота передвижения тела из одной точки в другую равна минус изменению потенциальной энергии (или соответствующий ин­теграл от поля равен изменению потенциала). Но потенциальная энергия в обеих точках одинакова, значит, ее изменение равно нулю, и поэтому никакой работы при любых движениях внутри сферического слоя не производится. А это возможно лишь тогда, когда внутри слоя нет никаких сил.

В этих рассуждениях кроется ключ к вычислению силы или напряженности поля, когда потенциальная энергия известна.

Пусть потенциальная энергия тела в точке (х, у, z) дана, а мы хотим узнать, какая сила действует на него в этой точке. Для этого нужно знать потенциал не только в этой точке, но и в соседних. Почему? Попробуем вычислить x-компоненту силы (если мы это сумеем сделать, то точно таким же способом мы вычислим и у- и z-компоненты, определив тем самым всю силу). Если б мы сдвинули тело на малое расстояние x, то работа, произведенная силой над телом, равнялась бы x-компоненте силы, умноженной на x (если x достаточно мало), и должна была бы быть равна изменению потенциальной энергии при переходе от одной точки к другой:

W=-U=F_xx. (14.9)

Мы просто применили формулу ∫F•ds=-U для очень

малых расстояний. Теперь разделим на x и обнаружим, что сила равна

F_x=-u/x. (14.10)

Конечно, это не совсем точно. На самом деле нам нужно перейти в (14.10) к пределу при x, стремящемся к нулю, потому что (14.10) точно соблюдается только для бесконечно малых x. Мы узнаем в правой части (14.10) производную U по х и хотим написать -dUldx. Но U зависит и от х, и от у, и от z, и для такого случая математики придумали другое обозначение, которое рас­считано на то, чтобы напоминать нам, что надо быть очень ос­торожным, дифференцируя такую функцию. Этот символ напо­минает, что только х считается изменяющимся, а у и z — нет. Вместо d они просто пишут «6 навыворот», или д. (По-моему, когда начинаешь изучать дифференциальные исчисления, то вообще лучше работать с д, а не с d; d всегда хочется сократить, а вот на д как-то рука не поднимается!) Итак, они пишут dU/dx, а иногда в припадке строгости, желая быть очень бдительными, они ставят за дх скобку с маленькими у, z внизу (dU/dx)_yz, что означает: «Продифференцируй U по х, считая у и z по­стоянными». Но мы чаще всего не будем отмечать, что осталось постоянным, из контекста это всегда можно понять. Но зато всегда будем писать д вместо d как предупреждение о том, что эта производная берется при постоянных значениях прочих переменных. Ее называют частной производной, т. е. производ­ной, для вычисления которой меняют часть переменных, х.

Итак, мы обнаруживаем, что сила в направлении х равна минус частной производной U по х:

F_x=-дU/дx (14.11)

Точно так же и сила в направленииу получается дифференци­рованием U по у при постоянных х и z, а третья составляющая силы опять-таки есть производная по z при х и у постоянных:

Вэтом и состоит способ получать силу из потенциальной энер­гии.Поле получается из потенциала в точности так же:

Заметим, кстати, что существует и другое обозначение (впро­чем, пока оно нам не понадобится). Так какС есть вектор с компонентами х, у, z, то символы д/дх, д/ду, d/dz, дающие х-, у-, z-компоненты поля, чем-то напоминают векторы. Матема­тики изобрели знаменитый символ , или grad, называемый «градиентом»; это не величина, а оператор, он делает из скаляра вектор. У него есть три составляющие: x-компонента этого grad есть д/дх, y-компонента — д/ду, а z-компонента— d/dz, и мы можем позабавиться, переписав наши формулы в виде

Глядя на ; мы мгновенно узнаем, что наши уравнения вектор­ные; но на самом деле уравнение (14.14) означает в точности то же, что и (14.11) и (14.12); просто это другой способ записи. Не желая писать каждый раз три уравнения, мы пишем одно лишь U.

Еще один пример полей и потенциалов связан с электри­чеством. В этом случае сила, действующая на неподвижное тело, равна заряду, умноженному на поле: F = qЕ. (В x-составляющую силы входят, вообще говоря, и члены, которые зависят от маг­нитного поля. Но из уравнения (12.10) легко увидеть, что сила, действующая на частицу со стороны магнитных полей, всегда направлена поперек поля и поперек ее скорости. Благодаря этому свойству магнетизм не производит никакой работы над движущимся зарядом, потому что сила перпендикулярна пере­мещению. Значит, вычисляя кинетическую энергию в электри­ческом и магнитном полях, можно пренебречь вкладом магнит­ного поля, так как оно не изменяет кинетической энергии.) По­ложим, что имеется только электрическое поле. Тогда мы можем рассчитать энергию или произведенную работу точно таким же способом, как и для тяготения: вычислить величину , равную минус интегралу от Е•ds от произвольной фиксированной точки Р до точки, в которой вычисляется потенциал; тогда потенци­альная энергия в электрическом поле равна просто произведе­нию заряда на эту величину :

(r) = -E•ds,

U=q.

В качестве примера рассмотрим две параллельные метал­лические пластины с поверхностным зарядом  (на единицу площади) каждая. Такая штука называется плоским конден­сатором. Мы уж убедились раньше, что снаружи пластин сила равна нулю, а между ними существует постоянное электрическое поле. Оно направлено от плюса к минусу и равно /₀ (фиг. 14.5).

Фиг. 14.5. Поле между параллель­ными пластинами.

Мы хотим знать, какую работу надо совершить, чтобы перенести заряд от одной пластины к другой. Работа равна интегралу от (Сила.)•(ds). Его можно записать как произведение заряда на значение потенциала на пластине 1 минус та же величина на пластине 2:

W=∫F•ds= q(₁-₂).

Интеграл здесь легко вычислить, так как сила постоянна, и если обозначить толщину конденсатораd, то интеграл равен

Разница в потенциалах = d/₀ называется напряжением и  измеряют в вольтах. Когда мы говорим, что пара пластин заряжена до определенного напряжения, мы хотим этим сказать, что разность электрических потенциалов двух пластин равна стольким-то вольтам. У конденсатора, сделанного из двух параллельных пластин с поверхностным зарядом ±, напряжение (или разность потенциалов этой пары пластин) равно d/₀.