Моисеев - Задачник-практикум по алгебре
.pdf26.
27.
28.
|
|
n |
n −1 ... |
3 |
2 |
|
|
a1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n |
n −1 ... |
3 |
a2 |
a1 |
|
|
|
|
|
||||
|
... |
... ... ... ... ... |
|
. |
|
|
|
||||||||
|
|
n |
an−1 ... |
a3 |
a2 |
a1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
an |
an−1 ... |
a3 |
a2 |
a1 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
1 |
... |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
1 |
... |
1 |
0 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
1 |
... |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 ... |
n - 2 |
n -1 |
n |
|
|
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
-1 |
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
||
|
0 |
-1 |
1 ... |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
. |
||
|
... ... ... ... ... |
|
|
|
... ... |
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
0 ... |
-1 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|||
|
0 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
-1 |
1 |
|
|
||||
|
1 |
3 |
5 |
... 2n -1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
2 |
5 |
... 2n -1 |
|
|
|
|
|
|
||
29. |
1 |
3 |
4 |
... 2n -1 |
|
. |
|
|
|
|
||
|
... ... ... ... |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
3 |
5 |
... 2n - 2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
b1 |
|
0 |
0 |
... |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
-a a-b1 |
b2 |
0 |
... |
|
|
0 |
0 |
|
|
||
30. |
0 |
-a |
|
a-b2 |
b3 |
... |
|
|
0 |
0 |
|
. |
... ... |
|
... ... ... ... |
... |
|
||||||||
|
|
|
||||||||||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
... a-bn−1 |
bn |
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
... |
|
|
-a |
a-bn |
|
|
Задание 22. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.
|
æ |
2 |
1 1 1 |
|
|
|
6ö |
|
|
|
|
|
|
|
æ1 2 3 |
4 |
|
|
|
|
|
1ö |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ç |
1 |
2 1 1 |
|
|
|
7 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
÷ |
|
||||
1. |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
5. |
ç1 4 9 16 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||
ç |
1 |
1 2 1 |
|
|
|
7 |
÷. |
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
÷. |
|
||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç1 8 27 64 |
|
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è |
1 |
1 |
1 2 |
|
|
|
4 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è1 16 |
81 |
256 |
|
|
|
0 |
ø |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
æ |
3 |
5 |
- 3 2 |
|
12 ö |
|
|
æ1 1 1 |
1 |
|
|
|
|
0 ö |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
4 |
- 2 5 3 |
|
27 |
÷ |
|
|
ç |
|
|
-1 |
|
7 |
÷ |
|
|||||||||||||||
2. |
ç |
|
÷ |
|
6. |
ç1 2 3 |
|
÷ |
|
||||||||||||||||||||||
ç |
7 |
8 |
-1 5 |
|
40 |
÷. |
|
ç |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|
ç1 3 2 |
|
- 4÷ |
|
||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è |
6 |
4 |
5 3 |
|
41 |
ø |
|
|
è1 1 -1 |
-1 |
|
0 |
ø |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
æ |
3 |
3 |
4 - 5 |
|
9 ö |
|
æ2 - 5 3 - 4 |
|
-11ö |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
ç |
5 |
- 7 8 |
|
|
|
|
2 |
|
18 |
÷ |
|
ç |
3 - 4 5 1 |
|
|
|
|
- 6 |
÷ |
|||||||||||
3. |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
7. |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||||
ç |
4 |
5 |
- 7 - 3 |
|
- 5 |
÷. |
ç |
5 - 9 4 |
-1 |
|
- |
17 |
÷. |
||||||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||||||||||
|
ç |
7 |
8 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
- 2 |
÷ |
|
ç |
4 - 6 3 1 |
|
- |
10 |
÷ |
||||||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
è |
|
ø |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
æ1 1 1 1 |
|
3ö |
|
|
|
|
|
|
|
æ1 -1 4 -1 |
|
5 ö |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
9 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
0 1 |
5 |
- 4 |
|
-1 |
÷ |
||||||||||
4. |
ç1 2 3 4 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
8. |
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||||
ç |
|
|
|
|
7 |
÷. |
|
|
|
|
|
ç |
1 0 - 3 0 |
|
- 5 |
÷. |
|||||||||||||||
|
ç1 5 2 3 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è1 4 5 2 |
|
5 |
ø |
|
|
|
|
|
|
|
è |
1 5 |
0 |
- 2 |
|
0 |
ø |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
31
|
æ |
1 |
2 |
- 4 |
3 |
|
-11 |
ö |
|
|
|||||||
|
ç |
3 |
1 |
- 5 |
1 |
|
-16 |
÷ |
9. |
ç |
|
÷ |
|||||
ç |
1 |
1 |
-1 |
- 3 |
|
0 |
÷. |
|
|
ç |
|
÷ |
|||||
|
ç |
0 |
3 |
0 |
5 |
|
- 2 |
÷ |
|
è |
|
ø |
|||||
|
|
|
æ |
2 |
3 |
- 2 |
- 3 |
|
|
|
- 3ö |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
1 |
2 |
1 |
-1 |
|
|
|
1 |
÷ |
|
|||||||||
10. |
ç |
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||
ç |
1 |
0 |
-1 |
|
6 |
|
|
|
6 |
÷. |
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|||||||||||||
|
ç |
0 |
2 |
0 |
|
5 |
|
|
|
5 |
÷ |
|
||||||||
|
è |
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
9 |
|
ö |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ç |
3 |
4 |
-1 |
-1 |
|
|
|
16 |
÷ |
||||||||||
11. |
ç |
|
|
|
÷ |
|||||||||||||||
ç |
1 |
3 |
-1 |
-1 |
|
|
|
8 |
|
÷. |
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
5 |
- 3 |
6 |
|
3 |
|
|
|
|
12 |
÷ |
||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ |
2 |
-1 |
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
ö |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
3 |
3 |
3 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
÷ |
||||||||
12. |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
||
|
ç |
3 |
-1 |
-1 |
2 |
|
|
|
-1÷ |
|||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
è |
3 |
-1 |
3 |
|
-1 |
|
|
-1ø |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
2 |
1 |
4 |
|
8 |
|
|
|
|
|
-1ö |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
1 |
3 |
- 6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
÷ |
|||||||
13. |
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||
ç |
3 |
- 2 |
2 |
|
- 2 |
|
|
|
|
8 |
÷. |
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
2 |
-1 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
4 |
÷ |
||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ |
2 |
3 |
11 |
5 |
|
|
2 |
|
|
ö |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
ç |
1 |
1 |
5 |
2 |
|
|
1 |
|
|
÷ |
|
|
|
||||||
14. |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷. |
|
|
|
||||
|
ç |
2 |
1 |
3 |
2 |
|
|
- 3÷ |
|
|
|
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||
|
è |
1 |
1 |
3 |
4 |
|
|
- 3ø |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
æ |
2 |
5 |
4 |
1 |
|
|
20 |
ö |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
1 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
11 |
÷ |
|
|
|
||||||
15. |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||
ç |
2 |
10 |
9 |
7 |
|
|
|
|
40 |
÷. |
|
|
|
|||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
3 |
8 |
9 |
2 |
|
|
|
|
37 |
÷ |
|
|
|
||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
æ3 |
- 2 |
5 |
|
1 |
|
|
|
-17ö |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
2 |
- 3 |
1 |
|
5 |
|
|
|
- 3 |
÷ |
|||||||||
16. |
ç |
|
|
|
|
÷. |
||||||||||||||
|
ç |
1 |
2 |
0 |
|
- 4 |
|
|
|
- 3 |
÷ |
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
1 |
-1 |
- 4 |
|
9 |
|
|
|
22 |
|
÷ |
||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||||
|
æ |
1 |
1 |
- 6 |
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ö |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
3 |
-1 |
- 6 |
|
|
- 4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
÷ |
|||||
17. |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
ç |
2 |
3 |
|
9 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
÷. |
||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
è |
3 |
2 |
|
3 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
- 7ø |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
æ |
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ö |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ç |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- 1 - 1 - 2 |
|
|
- 4 |
÷ |
||||||
18. |
ç |
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||||||
ç |
2 |
3 |
-1 |
|
|
-1 |
|
|
|
- 6 |
÷. |
||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||||||
|
ç |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
- 1 |
|
|
- 4 |
÷ |
||||||
|
è |
|
|
|
|
|
|
|
|
ø |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
1 |
2 |
|
3 |
|
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
ö |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
2 |
-1 |
- 2 |
|
|
- 3 |
|
|
|
|
|
|
|
8 |
÷ |
|||||
19. |
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||||||||||
ç |
3 |
2 |
-1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
÷. |
|||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
è |
2 |
- 3 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
- 8ø |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
æ |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
5 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
20. |
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ç |
3 |
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
÷. |
|
|
|
|||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ç |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
- 5 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
æ |
0 |
1 |
- 3 |
|
4 |
|
|
|
- 5 |
ö |
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
ç |
1 |
0 |
- 2 |
|
3 |
|
|
|
- 4 |
÷ |
|
|||||||||
21. |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
||||||||||||||
ç |
3 |
2 |
0 |
- 5 |
|
12 |
÷. |
||||||||||||||
|
ç |
|
÷ |
|
|||||||||||||||||
|
ç |
4 |
3 |
- 5 |
|
0 |
|
|
|
5 |
|
÷ |
|
||||||||
|
è |
|
|
|
|
|
ø |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
æ |
2 |
-1 |
|
3 |
|
|
2 |
|
4 |
ö |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
ç |
3 |
3 |
|
3 |
|
|
2 |
|
6 |
÷ |
|
|
||||||||
22. |
ç |
|
|
|
|
÷ |
|
|
|||||||||||||
ç |
3 |
-1 |
-1 |
|
|
2 |
|
6 |
÷. |
|
|||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
||||||||||||||
|
ç |
3 |
-1 |
|
3 |
|
-1 |
|
6 |
÷ |
|
|
|||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
æ1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 |
ö |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ç |
|
2 |
3 |
4 |
|
|
|
2 |
÷ |
|
|
|
|
|
||||||
23. |
ç1 |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
ç |
|
3 |
6 |
10 |
|
|
5 |
÷. |
|
|
|
||||||||||
|
ç1 |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||||
|
è1 |
4 |
10 |
20 |
|
|
9 |
ø |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
æ |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
12 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ç |
3 |
5 |
7 |
1 |
|
|
0 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24. |
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ç |
5 |
7 |
1 |
3 |
|
|
4 |
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ç |
7 |
1 |
3 |
5 |
|
|
16 |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
è |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
32
|
æ |
1 |
1 1 |
1 |
|
|
|
0 ö |
|
|
æ |
2 |
-1 3 0 |
|
3 ö |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
0 |
1 1 |
1 |
|
|
|
-1 |
÷ |
|
|
ç |
3 |
1 - 5 0 |
|
0 |
÷ |
|||||||||
25. |
ç |
|
|
|
÷ |
|
28. |
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||
ç |
1 |
2 |
3 0 |
|
|
|
- 4 |
÷. |
|
ç |
4 |
-1 1 0 |
|
3 |
÷. |
|||||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
||||||||||||||||
|
ç |
0 |
1 2 |
3 |
|
|
|
0 |
÷ |
|
|
ç |
1 |
3 -13 2 |
|
- 2 |
÷ |
|||||||||
|
è |
|
|
|
ø |
|
|
è |
|
ø |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
æ |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 ö |
|
|
æ |
2 |
-1 1 -1 |
|
1 ö |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
-1 |
÷ |
|
|
ç |
2 |
-1 0 - 3 |
|
2 |
|
÷ |
||||||||
26. |
ç |
|
|
÷ |
|
29. |
ç |
|
|
÷ |
||||||||||||||||
ç |
1 |
1 |
3 |
1 |
|
|
2 |
÷. |
|
ç |
3 |
0 -1 1 |
|
- 3 |
÷. |
|||||||||||
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
÷ |
|||||||||||||||||
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
||
|
è |
1 |
1 |
1 |
4 |
|
|
- 3ø |
|
|
è |
2 |
2 - 2 5 |
|
- 6 |
ø |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
æ |
2 |
-1 3 - 4 |
|
- 8 ö |
|
æ |
1 |
2 3 4 |
|
11ö |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
ç |
3 |
1 -1 2 |
|
|
2 |
÷ |
|
ç |
2 |
3 4 1 |
|
12 |
÷ |
|
|
|
|
||||||||
27. |
ç |
|
|
÷ |
30. |
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
||||||||||||||
ç |
4 |
3 |
|
4 |
|
2 |
|
-12 |
÷. |
ç |
3 |
4 1 2 |
|
13 |
÷. |
|
|
|
||||||||
|
ç |
|
|
|
÷ |
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ç |
1 |
-1 -1 2 |
|
|
6 |
÷ |
|
ç |
4 |
1 2 3 |
|
14 |
÷ |
|
|
|
|
||||||||
|
è |
|
|
ø |
|
è |
|
ø |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Задание 23. Выяснить, является ли группой алгебра áG, ·ñ.
1.G = R; a·b = ab+a+b.
2.G = R; a·b = 2ab+a+b.
3.G = R\{–1}; a·b = ab+a+b.
4.G = R\{– 12 }; a·b = 2ab+a+b.
5.G = R+; a·b = 
a2 + b2 .
6.G = R; a·b = 3+a+b.
7.G = R*; a·b = 3ab.
8.G = R*; a·b = 7ab.
9.G = R; a·b = ab+2a+2b+8. 10. G = R2; (a, b)·(c, d) = (ac, bd).
11.G = R*; a·b = 13 ab.
12.G = R\{1}; a·b = –ab+a+b.
13.G = R´ R*; (a, b)·(c, d) = (a+c, bd).
14.G = R*´Q; (a, b)·(c, d)=( 12 ac, b+d).
15.G = R; a·b = –ab+a+b.
16. G = R\{ 12 }; a·b = –2ab+a+b.
17. G = 2Z; a·b = 12 ab.
18. G = Z; a·b = –3ab+a+b.
19. G=R\{1}; a·b =2ab+2a+2b+1. 20. G = R\{–1}; a·b = ab+a+b+1. 21. G = R; a·b = 5+a+b.
22. G = R; a·b = 5ab. 23. G = R; a·b = π +a+b.
24. G = R; a·b = 5ab+a+b.
25. G = R\{5}; a·b = –5ab+a+b.
26. G = R*; a·b = a+b .
ab
27.G = R*; a·b = aab+b .
28.G = R; a·b = 3
a3 + b3 .
29.G = R; a·b = 5
a5 + b5 .
30.G = R+; a·b = 4
a4 + b4 .
Задание 24. Доказать, что подмножество Н группы á R2; +ñ является подгруп- пой. Описать строение смежных классов группы по подгруппе Н. Дать геомет- рическую интерпретацию Н и смежным классам. Сформулировать правило сложения элементов фактор-группы R2 /H. Доказать, что R2 /H изоморфна адди- тивной группе действительных чисел.
33
1.H = {(α1; α2 ) : α1 + α2 = 0}.
2.H = {(α1; α2 ) : 2α1 − α2 = 0}.
3.H = {(α1; α2 ) : α1 + 3α2 = 0}.
4.H = {(α1; α2 ) : α1 + 2α2 = 0}.
5.H = {(α1; α2 ) : 3α1 − 2α2 = 0}.
6.H = {(α1; α2 ) : 2α1 + 3α2 = 0}.
7.H = {(α1; α2 ) : 4α1 − α2 = 0}.
8.H = {(α1; α2 ) : α1 + 14 α2 = 0}.
9.H = {(α1; α2 ) : 2α1 + 3α2 = 0}. 10. H = {(α1; α2 ) :5α1 + α2 = 0}. 11. H = {(α1; α2 ) : 2α1 + α2 = 0}. 12. H = {(α1; α2 ) : 2α1 − 3α2 = 0}. 13. H = {(α1; α2 ) : α1 + 4α2 = 0}. 14. H = {(α1; α2 ) : α1 + 5α2 = 0}. 15. H = {(α1; α2 ) : 4α1 + 2α2 = 0}.
Задание 25
16.H = {(α1; α2 ) : 2α1 + 5α2 = 0}.
17.H = {(α1; α2 ) : − α1 + 5α2 = 0}.
18.H = {(α1; α2 ) : 3α1 + 5α2 = 0}.
19.H = {(α1; α2 ) :5α1 − 3α2 = 0}.
20.H = {(α1; α2 ) : 3α1 − 3α2 = 0}.
21.H = {(α1; α2 ) : 3α1 + 4α2 = 0}.
22.H = {(α1; α2 ) : α1 − 6α2 = 0}.
23.H = {(α1; α2 ) : 25 α1 + α2 = 0}.
24.H = {(α1; α2 ) : 3α1 − 5α2 = 0}.
25.H = {(α1; α2 ) :5α1 − 4α2 = 0}.
26.H = {(α1; α2 ) : 4α1 + 5α2 = 0}.
27.H = {(α1; α2 ) : − 3α1 − 3α2 = 0}.
28.H = {(α1; α2 ) : 7α1 − α2 = 0}.
29.H = {(α1; α2 ) : 3α1 + 6α2 = 0}.
30.H = {(α1 ; α2 ) : 2α1 + 7α2 = 0}.
∙Составить таблицу Кэли для циклической группы G порядка n.
∙Cуществует ли в G подгруппа H порядка n1? n2?
∙Если существует, то составить таблицу Кэли для нее и для ее фактор-группы.
1. |
10; 2, 3. |
11. |
10; 5, 6. |
2. |
9; 3, 6. |
12. |
18; 9, 10. |
3. |
18; 3, 4. |
13. |
20; 5, 6. |
4. |
12; 3, 5. |
14. |
21; 4, 7. |
5. |
14; 2, 3. |
15. |
20; 9, 10. |
6. |
8; 4, 5. |
16. |
11; 2, 9. |
7. |
15; 5, 6. |
17. |
12; 6, 7. |
8. |
16; 7, 8. |
18. |
14; 7, 8. |
9. |
15; 4, 5. |
19. |
15; 3, 4. |
10. |
21; 2, 3. |
20. |
16; 8, 10. |
|
|
34 |
|
21. |
12; 8, 3. |
26. |
15; 3, 6. |
|
22. |
18; 9, 10. |
27. |
14; 7, 8. |
|
23. |
20; 5, 6. |
28. |
12; 4, 7. |
|
24. |
16; 8, 9. |
29. |
18; 6, |
12. |
25. 14; 3, 7. |
30. |
16; 6, |
4. |
|
Задание 26. Заданы группы áR2; +ñ и áR; +ñ. Функция f отображает R2 в R. Является ли f гомоморфизмом групп? Если является, то найти его ядро.
1. |
f (a1; a2) = a1+a2. |
16. |
f (a1; a2) = 2a1+5a2. |
||||
2. |
f (a1; a2) = 2a1–a2. |
17. |
f (a1; a2) = –a1+5a2. |
||||
3. |
f (a1; a2) = a1+3a2. |
18. |
f (a1; a2) = 3a1+5a2. |
||||
4. |
f (a1; a2) = a1+2a2. |
19. |
f (a1; a2) = 5a1–3a2. |
||||
5. |
f (a1; a2) = 3a1–2a2. |
20. |
f (a1; a2) =–3a1+3a2. |
||||
6. |
f (a1; a2) = 2a1+3a2. |
21. |
f (a1; a2) = 3a1+4a2. |
||||
7. |
f (a1; a2) = 3a1–a2. |
22. |
f (a1; a2) = a1–6a2. |
||||
8. |
f (a1; a2) = a1+ |
1 |
a2. |
23. |
f (a1; a2) = a1+ |
2 |
a2. |
|
|
||||||
|
4 |
|
|
5 |
|
||
9. |
f (a1; a2) = 3a1+2a2. |
24. |
f (a1; a2) = 3a1–5a2. |
||||
10. |
f (a1; a2) = 5a1+a2. |
25. |
f (a1; a2) = 5a1–4a2. |
||||
11. |
f (a1; α2) = 2a1+a2. |
26. |
f (a1; a2) = 4a1+3a2. |
||||
12. |
f (a1; a2) = a1+2a2. |
27. |
f (a1; a2) = 3a1+3a2. |
||||
13. |
f (a1; a2) = a1+4a2. |
28. |
f (a1; a2) = 7a1–a2. |
||||
14. |
f(a1; a2) = a1+5a2. |
29. |
f (a1; a2) = 3a1+6a2. |
||||
15. |
f (a1; a2) = 4a1+2a2. |
30. |
f (a1; a2) = –2a1+7a2. |
||||
Задание 27. Доказать неизоморфность алгебр.
1.áR*; ×ñ и áR; +ñ.
2.áZ; ×ñ и áZ; +ñ.
3.áQ; +ñ и áQ; ×ñ.
4.áQ; +ñ и áN; +ñ.
5.áQ; +ñ и áQ*; ×ñ.
6.áQ*; ×ñ и áQ; ×ñ.
7.áR; ×ñ и áR*; ×ñ.
8.áR*; ×ñ и áR; +ñ.
9.áR; ×ñ и áR; +ñ. 10. áR*; ×ñ и áQ*; ×ñ.
11.áN; +ñ и áZ; +ñ.
12.áZ; +ñ и áR+; ×ñ.
13.áR*; ×ñ и áQ; +ñ.
14.áR; ×ñ и áQ; ×ñ.
15.áR; ×ñ и áQ*; ×ñ.
16.áR*; ×ñ и áQ; ×ñ.
17.áZ; +ñ и áQ; +×ñ.
18.áZ; +ñ и áQ*; ×ñ.
19.áZ; ×ñ и áQ; +ñ.
20.áZ*; ×ñ и áQ* ×ñ.
21.áZ*; ×ñ и áQ; ×ñ.
22.áR* +; ×ñ и áZ; +ñ.
23.áZ; +ñ и áQ; ×ñ.
24.áR; +ñ и áZ; +ñ.
35
25.áR; ×ñ и áZ; +ñ.
26.áR*; ×ñ и áZ; +ñ.
27.áR; +ñ и áQ*; ×ñ.
28.áR; +ñ и áQ; +ñ.
29.áR; ×ñ и áQ; ×ñ.
30.áZ; ×ñ и áQ; ×ñ.
Задание 28. Доказать свойства колец и полей.
1. |
a–b = a+(–b), |
|
1 |
|
= a−1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
ac |
|
|
|
|
||||
2. |
–(a+b) = (–a)+( –b), |
× c = |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||
3. 0–a = –a, |
a |
+ |
c |
= |
ad + bc |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
b |
|
|
bd |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. –(a–b) = b–a, |
|
a |
= 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
c |
|
ad − bc |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. a–b = c–d Þ a+d = b+c, |
- |
= |
. |
||||||||||||||||||
b |
d |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bd |
|||||||
6.a+d = b+c Þ a–b = c–d, ab × dc = bdac .
7.(a–b)+c = (a+c) –b, -ab = - ab .
8.(a+c) –(b+c) = a–b, ac + bc = a +c b .
9.–(–a) = a, acbc = ab .
10.0×a = 0, ac - bc = a −c b .
11.a–a = 0, ad = bc Þ ab = dc .
12.(–a)b = –ab, ab = a ×b−1.
13.a(–b) = –ab, ab : dc = adbc .
14.(a–b) –(c–d) = (a+d) –(b+c), (ab)–1 = a–1b–1.
15.(a–b)+(c–d) = (a+c) –(b+d), a–1 единственный.
16.(a–b)(c–d) = (ac+bd) –(bc+ad), – ab = −ba .
17.(a–b)c = ac–bc, (a–1)–1 = a.
18.a(b–c) = ab–ac, a0 = 0.
19.(–1)a = –a, ab = dc Þ ad = bc.
36
20. 0 единственный, |
æ a ö−1 |
= |
b |
. |
||
ç |
|
÷ |
|
|||
|
a |
|||||
|
è b ø |
|
|
|||
21.–a единственный, (–a)–1 = –(a–1).
22.a+c = b+c Þ a = b, a2 = a Þ a = 0 a = 1.
23.a–c = b–c Þ a = b, a–1 = a Þ a = 1 a = –1.
24.c–a = c–b Þ a = b, a2 = 1 Þ a = 1 a = –1.
25.a = –b Þ b = –a, 1 единственный.
26.a–0 = a, ab = 0 Þ a = 0 b = 0.
27.–0 = 0, –a = (–1) a.
28.a–(b+c) = (a–b) –c, a1 = a.
29.a–(b–c) = (a+c) –b, -a1 = -a.
30.a–(b+c) = (a–b) –c, ab = ab Þ b = 1 b = –1.
Задание 29. Доказать свойства упорядоченных колец и полей.
1.a < b Û a–b < 0.
2.a < 0 Û –a > 0.
3.a < bÙc < d Þ a+c < b+d.
4.a < bÙ nÎN Þ na < nb.
5.0 < a < bÙ0 < c < d Þ ac < bd.
6.0 < a < b Ù nÎN Þ an < bn.
7.a < b Ùc < 0 Þ ac > bc.
8.a ¹ 0 Þ a2 > 0.
9.a > 0 Þ a > –a.
10.a < 0 Þ a < –a.
11.a > –a Þ a > 0.
12.a < –a Þ a < 0.
13.ac > bcÙ c < 0 Þ a < b.
14.ac > bcÙ c > 0 Þ a > b.
15.ab > 0 Þ (a > 0Ùb > 0)Ú(a < 0Ùb< 0).
16.ab > 0 Û ab > 0.
17.a > 0 Þ a–1 > 0.
18.a–1 > 0 Þ a > 0.
19.a < 0 Þ a–1 < 0.
20.a–1 < 0 Þ a < 0.
21.a < bÙc > d Þ a–c < b–d.
22.a < bÙc > d Þ c–a > d–b.
23.ab = a
b.
24.ab = 
ab
.
25.a + b £ a + b.
26.a + b ³ a - b.
27.a - b £ a + b.
28.a - b ³ a - b.
29.a - b ³ b - a .
30.ab = a
- b.
Задание 30. Доказать, что áR; Å, Äñ поле, если операции Å и Ä задаются следующим образом:
1.a Å b = a+b–2, aÄ b = ab–2a–2b+6.
2.a Å b = a+b–2, aÄ b = 12 ab–a–b+4.
37
3.aÅb = a+b–2, aÄ b = 13 (ab–2a–2b+10).
4.a Å b = a+b+3, aÄ b = ab+3a+3b+6.
5.a Å b = a+b–2, aÄ b = 2ab–4a–4b+10.
6.a Å b = a+b+1, aÄ b = 12 (ab+a+b–1).
7.a Å b = a+b+2, aÄ b = ab+2a+2b+2.
8.a Å b = a+b–1, aÄ b = 12 (ab–a–b+3).
9.a Å b = a+b+1, aÄ b = 2ab+2a+2b+1.
10.a Å b = a+b–2, aÄ b = 3ab–6a–6b+14.
11.a Å b = a+b+1, aÄ b = 3ab+3a+3b+2.
12.a Å b = a+b+3, aÄ b = 2ab+6a+6b+15.
13.a Å b = a+b–1, aÄ b = 2ab–2a–2b+3.
14.aÅb = a+b–2, aÄ b = 13 (2ab–4a–4b+14).
15.a Å b = a+b+ 14 , aÄ b = 4ab+a+b.
16.a Å b = a+b–1, aÄ b = ab–a–b+2.
17.a Å b = a+b–3, aÄ b = 3(ab–3a–3b+10).
18.a Å b = a+b–3, aÄ b = ab–3a–3b+12.
19.a Å b = a+b+2, aÄ b = 12 (ab+2a+2b).
20.a Å b = a+b+1, aÄ b = 13 (ab+a+b–2).
21.a Å b = a+b+1, aÄ b = ab+a+b.
22.a Å b = a+b–1, aÄ b = 3ab–3a–3b+4.
23.a Å b = a+b+2, aÄ b = 13 (ab+2a+2b–2).
24.a Å b = a+b–3, aÄ b = 2ab–6a–6b+21.
25.a Å b = a+b+3, aÄ b = 3ab+9a+9b+24.
26.a Å b = a+b+3, aÄ b = 13 (ab+3a+3b).
27.a Å b = a+b–3, aÄ b = 13 ab–a–b+6.
28.a Å b = a+b+2, aÄ b = 2ab+4a+4b+6.
29.a Å b = a+b–1, aÄ b = 13 (ab–a–b+4).
30.a Å b = a+b+2, aÄ b =3ab+6a+6b+10.
Задание 31. Доказать, что отображение f: R ® R является изоморфизмом áR; +, × ñ и áR; Å, Äñ, где áR; Å, Äñ то же, что в задании 30. Пользуясь этим, дать новое до- казательство тому, что áR; Å, Äñ – поле.
1. |
f(x) = x+2. |
3. |
f(x) = 3x+2. |
2. |
f(x) = 2x+2. |
4. |
f(x) = x–3. |
38
5.f(x) = 12 x+2.
6.f(x) = 2x–1.
7.f(x) = x–2.
8.f(x) = 2x+1.
9.f(x) = 12 x–1. 10. f(x) = 13 x+2.
11.f(x) = 13 x–1.
12.f(x) = 12 x–3.
13.f(x) = 12 x+1.
14.f(x) = 23 x+2.
15.f(x) = 14 (x–1).
16.f(x) = x+1.
Задание 32. Изобразить геометрически.
1.{z: z ≤ 3Ù Im z £ 2}.
2.{z: arg z = 2 Ù z − i ≤ 5}.
3.{z: 1 £ arg z £ 2 Ù Re z = –5}.
4.{z: –1 £ Re z £ 3 Ù π3 £ arg z £ 53π }.
5.{z: –4 £ Re z £ 3 Ù Im z = 5}.
6.{z: z − 2 = z + 2i }.
7.{z: z + 1 − 3i = 4 Ù Re z > 1}.
8.{z: Re z = 3 Ù Im z = –5}.
9.{z: z + 3 − 2i ≤ 4 Ù 23π £ arg z £ 34π }. 10. {z: Re z < 2 Ù π7 £ arg z £ 37π }.
11. {z: π3 £ arg z £ 23π Ù 2 £ Im z £ 4}. 12. {z: arg z = 56π Ù 4 £ z + 3 − 2i £ 5}.
13.{z: z − 2 + 3i ³ 2 Ù –6 £ Im z £ 1}.
14.{z: –3 £ Re z £ 2 Ù –2 £ Im z £ 3}.
15.{z: z + 2 − 3i > z − 4 − 3i }.
16. {z: arg z = π4 Ú z + 3 + 4i = 5 }.
17.{z: z = –2w Ù w = 1}.
18.{z: z + 3 + z − 3 ≤ 8}.
17.f(x) = 13 x+3.
18.f(x) = x+3.
19.f(x) = 2x–2.
20.f(x) = 3x–1.
21.f(x) = x–1.
22.f(x) = 13 x+1.
23.f(x) = 3x–2.
24.f(x) = 12 x+3.
25.f(x) = 13 x–3.
26.f(x) = 3x–3.
27.f(x) = 3x+3.
28.f(x) = 12 x–2.
29.f(x) = 3x+1.
30.f(x) = 13 x–2.
39
19.{z: z − 2 − z + 2 = 2 }.
20.{z: z −1 = z + 1 = z − 2i }.
21.{z: z = 2w–1+3i w = 2 }.
22.{z: zz+−11 ≤ 1}.
23.{z: z − 4 ≤ z + 4i }.
24.{z: z −1 + 2i =5 π4 < arg z < π }.
25.{z: z − 2 = z − 6 − 4i }.
26.{z: z − 4 −i = z −6 −5i π4 < arg z < π2 }.
27. {z: |
π |
< arg z < |
π |
|
|
z − 5 − 5i |
|
= 4}. |
|
|
|
||||||||
|
|
||||||||
|
6 |
3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
28.{z: z − 5 − 5i ≤ 4 Re z > 7}.
29.{z: z = 1+3i+w arg w = π4 }.
30.{z: z = iw 0≤ Im w ≤ 2 0≤ Re w ≤ 4}.
Задание 33. Записать числа в тригонометрической форме.
1.–6+6 
3 i, cos α2 +isin(π − α2 ).
2.–2, –2(cos π3 +isin π3 ).
3.2i, sin π6 +icos π6 .
4.–2i, cos π4 –isin π4 .
5.1+i, 2cos 74π –2isin 74π .
6.1–i, –cos 17π +isin 17π .
7.–1+i, sin 65π +i(1+cos 65π ).
8.–1–i, –1+cos 109π +isin109π
9.1+i 
3 , –cos12π –isin12π
10.–1+i 
3 , sin 25π +i(1–cos 25π ).
11.–1–i 
3 , ctgα+i, α( π, 2π ).
12.1–i 
3 , 1+cos40o +isin40 o .
13.
3 +i, 1+itgα, α( π2 , π ).
14.– 
3 +i, tgα–i, α (0, π2 ).
15.
3 –i, sinα+i(1+cosα), α (0, π).
16.– 
3 –i, sinα–icosα.
17.– 23 +i 23 , 1–cosα+isinα, α(0, π ).
18.12 −i 23 , –cosα +isinα.
19.
23 −i 
23 , –sinα+icosα.
20.12 (−
3 + i), 1+cosα–isinα, α(2π,4π ).
21.–10(1+i 
3 ), 1+cos 109π +isin109π
22.–2( 
3 +i), –2cos π3 +2isin π3 .
23.– 12 (1 + i
3) , –5cos π8 –5isin π8 .
24.–6(1–i 
3 ), sin 45π +i(cos 45π –1).
25.– 23 (1+ i), –sinα–icosα.
26.5–5i, –sinα+i(1+cosα), α( π, 2π ).
27.2– 
3 –i, –3sinα+3icosα.
28.–12+12i, –sinα–i(1+cosα), α(2π, 4π ).
29.2+ 
3 –i, –1+cosα–isinα, α(2π, 4π ).
30.2+ 
3 +i, ctgα–i, α(0, π).
40